一維大地電磁貝葉斯反演研究

郭 曼，吳姿穎，張晶晶，陳姝霓，曾志文，丁文偉，郝冬冬

（1.東華理工大學，江西南昌330013；2.楊凌龍翔數字科技有限公司，陜西咸陽712000）

在地球物反演過程中解的多解性是必然存在的，貝葉斯反演理論為解決解的多解性提供了思路。王文濤[1]針對地震數據中地震參數的非線性問題，采用貝葉斯反演基于模擬退火算法進行采樣，實現了地震儲層的不確定性評估。趙巒嘯等[2]結合貝葉斯框架中不同的地球物理信息進行水庫倒塌實現定量評估。楊迪坤等[3]將數據空間的不確定性轉移到大地電磁反演中的模型空間，利用概率分布來反映模型參數的可能性。郭榮文等[4]利用改進的自適應純模擬退火算法（AS?SA）實現了一維磁層貝葉斯反演，利用Metroplois-Hasing采樣獲得了有關地基介質不確定度的信息。史學東等[5]通過在一維大地電磁反演中使用貝葉斯方法獲得了模型參數與參數之間的相關性，得出來其實數據本身除了含有地電模型信息，還有其他有用的反演信息。陳曉等[6]采用模擬退火算法對貝葉斯框架下的大地電磁和地震數據進行聯合反演，利用物性參數的后驗概率分布來表達反演結果，并取得了較好的效果。但在實現過程中沒有對不同物性參數對貝葉斯反演結果的影響進行系統的討論，鑒于此，本文基于非?？焖俚哪M退火算法討論各參數對一維MT貝葉斯反演結果的影響進行討論。

1 貝葉斯反演理論

在地球物理反演中，貝葉斯反演理論框架于1987年Tarantola就提出了結合數據信息和模型信息的模型后驗概率的公式：

式中：p(m)——模型m的先驗概率;

p(m|d)——在模型m下的條件概率，也稱似然函數;

p(d)——觀測數據模型全空間概率；

σ(m|d)——在觀測數據d下模型m的后驗概率。

在計算后驗概率分布時，p(d)可視為一個常數僅起正則化因子的作用。那么后驗概率分布可進一步表述為：

上式P(d|m)P(m)稱為后驗概率分布的核，實際勘探中的觀測數據總會存在一定的噪音,同時反演的模型結果也會有誤差,如果假設這些噪音和誤差的分布均為高斯分布時,后驗概率分布就可表述為：

計算出樣本模型的后驗概率分布后可以按如下公式來求取模型參數的均值[1]：

2 相關參數對后驗概率密度分布的影響

為了討論各參數對貝葉斯反演理論的影響，設計如圖1所示5層地質模型：計算頻點在對數區間取40個。反演過程中，非常快速地模擬退火算法（VFSA）的初始溫度為10℃,降溫系數為0.96，每個溫度進行10次擾動，進行500次降溫。取真實值的±30%作為擾動區間，最終得到反演結果。

本文選取一個初始擾動模型作為對比模型，進行研究相關參數的變化對后驗概率分布提取的影響，物性參數如表1所示，各參數反演后驗概率分布如圖2所示。

2.1 先驗概率P（m）的影響

假若先驗概率分布P（m）滿足高斯分布，則所涉及的2個關鍵參數為先驗均值和方差。為了討論先驗概 率P（m）的影響，本文以上述模型為例設計如下方案。

圖1 理論模型

表1 參數未改變原始參考模型

圖2 各參數反演后驗概率分布

方案一：保持先驗方差不變，通過改變單個先驗均值和改變所有先驗均值試驗先驗均值影響，該方案的后驗概率密度分布如圖3所示；

方案二：保持先驗均值不變，通過改變單個先驗方差和改變所有先驗方差試驗先驗方差影響；該方案的后驗概率密度分布如圖4所示。

2.1.1 先驗均值的影響

（1）單個均值的改變。以模型的第四層厚度為例，先驗均值為4500Ω·m，先驗方差為850000。將先驗均值從 4500Ω·m 增大至 5500Ω·m 和 7500Ω·m ，先驗方差保持不變?？梢钥闯?，先驗均值為5500Ω·m時除在真實值附近有峰值，在5500Ω·m附近也形成了極高的的峰值。先驗均值再變大至7500Ω·m則后驗概率密度分布大都集中于5000Ω·m。這是由于擾動取值范圍是2800～5200Ω·m的緣故，所以后驗概率分布受先驗影響較大。在先驗方差確定的情況下，后驗概率密度分布在先驗均值附近集中。當先驗均值偏離真實值較大時，后驗概率密度分布呈現多峰。

圖3 各均值改變后概率分布

（2）改變模型所有參數的先驗均值。見表2，后驗概率密度分布參見圖3。參考對比模型圖2，若是給定的先驗均值相對真實值越小，其后驗概率分布會在真實值左邊靠近給定的先驗均值范圍分布。相反相對真實值越大，其真實值右邊靠近給定的先驗均值范圍分布?？梢缘贸鱿闰灳禃绊懞篁灨怕史植?，其模型可能取值范圍分布會偏向于先驗區間。當先驗信息取高斯分布時，最好是能均值能接近于真實值的效果才最好。

2.1.2 先驗方差的影響

（1）單個方差的改變。仍以第四層厚度模型為例：方差由850000減至85000和8500，經驗證得出，方差越小其后驗概率峰值分布會在真實值右邊偏離。方差增大至85000000和8500000000，經驗證得出，峰值區間依然靠近真實值附近。

（2）改變模型所有參數的方差。見表3，后驗概率密度分布參見圖4?？梢钥闯觯合闰灧讲畋碚髁讼闰灨怕拭芏绕x先驗均值的偏離度。方差較大時對后驗概率分布的提取基本影響不大；較小時則會壓制均值兩邊分布比重，增大均值附近的分布比重形成密集分布，所以當先驗均值的可信性不高時，應設置較大的先驗方差。

表2 先驗均值改變前后對比值

表3 先驗均值改變前后對比值

圖4 方差改變后后驗概率分布

2.2 溫度的影響（初始溫度T=1℃）

從圖5可以看出，溫度增高至T=10℃，大量干擾模型被接受，其分布形態越來越明顯，峰值區間基本是在真實值附近。繼續增高溫度至T=1000℃，接受高能量模型更多，但峰值區間卻越來越不能凸顯。

圖5 T=10℃

圖6 T=0.1℃

從圖6可以看出，當降低溫度至T=0.1℃，許多原本被接受收的模型消失了，雖然可以大致反映出后驗概率分布，但局部值有凸顯出來。當溫度降溫繼續降低至T=0.05℃，模型采樣樣本越來越少，效果加劇。也就是說高溫狀態雖然采樣比較充分但是會接受較多的高能量解，這會影響后驗概率的提取和定量評價，導致后驗概率密度分布不集中；而在低溫狀態則會出現采樣不足的現象。結合模擬退火算法全局尋優的特點以及貝葉斯反演采樣的充足性，應舍棄高溫時接受的電阻率模型，從中溫開始接受樣本發揮各自的優點。

3 結論

本文基于模擬退火算法實現一維大地電磁貝葉斯反演。模型試驗表明：貝葉斯反演理論可實現大地電磁反演解的定量評價。除此，相關參數的選取對后驗概率密度分布具有一定的影響。具體而言，對于均值和方差，當均值和模型真實值存在一定偏差時，方差應選取較大值才可對參數后驗概率密度分布影響較小。對于溫度，高溫采樣充分，但會接受較多的高能量解，這會影響后驗概率的提取和定量評價，導致后驗概率密度分布不集中。低溫則會采樣不足?？紤]到模擬退火算法的全局尋優特點以及貝葉會采樣不足，所以應舍棄過高溫和過低溫，從中溫開始接受樣本。

[1] 王文濤.地震儲層評價與預測的貝葉斯反演方法研究[D].中國地質大學（武漢）,2008.

[2] 趙巒嘯.貝葉斯框架下基于疊前地震數據的巖性（流體）預測[D].上海：同濟大學,2010.

[3] 楊迪坤，胡祥云.含噪聲數據反演的概率描述[J].地球物理學報，2008，51(3):901-907.

[4] 郭榮文.貝葉斯MT反演的非線性和不確定度分析[D].中南大學,2011.

[5] 史學東,柳建新,郭榮文，等.大地電磁法的1D無偏差貝葉斯反演[J].物探化探計算技術，2012（4）：371-379.

[6] 陳曉,李文喬,郭曼,等.大地電磁測深和重力數據貝葉斯聯合反演[J].科學技術與工程,2016，16(15):30-35.