例談幾何畫(huà)板軌跡功能在動(dòng)態(tài)變化類(lèi)問(wèn)題中的應(yīng)用

陳永康

探索滿(mǎn)足某種條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡歷來(lái)被認(rèn)為是教學(xué)和初數(shù)研究中的難點(diǎn)，特別是軌跡問(wèn)題需要判斷軌跡的形狀、大小和位置，確定它們往往更多地依賴(lài)于探究者的學(xué)識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和想象力，并且常局限于幾種基本軌跡（點(diǎn)、線、線段、圓、圓弧等），其復(fù)雜性使教師往往詞窮，探究者不時(shí)陷入困惑中。《幾何畫(huà)板》可以較好地幫助我們解決這一問(wèn)題。《幾何畫(huà)板》是一種動(dòng)態(tài)幾何演示軟件，它可以使圖形在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中保持相關(guān)元素既定的幾何關(guān)系不變。借助于《幾何畫(huà)板》的軌跡跟蹤功能，我們可以快捷地獲得欲求軌跡的基本信息和模擬圖形，這給教學(xué)和研究帶來(lái)很大的幫助。以下借助于《幾何畫(huà)板》的探索軌跡功能，通過(guò)兩個(gè)基本作圖，例談《幾何畫(huà)板》探索軌跡在動(dòng)態(tài)變化類(lèi)問(wèn)題中的應(yīng)用。

一、單重運(yùn)動(dòng)

動(dòng)點(diǎn)在某一確定的約束條件下運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)之為單重運(yùn)動(dòng)。一般地說(shuō)，約束條件通常有關(guān)于量的刻畫(huà)和關(guān)于位置關(guān)系的刻畫(huà)，根據(jù)《幾何畫(huà)板》軌跡跟蹤功能的運(yùn)用原理，我們首先作出一個(gè)在僅滿(mǎn)足量的約束條件的路徑上運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，稱(chēng)之為主動(dòng)點(diǎn)（控制點(diǎn)），另作一個(gè)關(guān)于位置關(guān)系約束條件的點(diǎn)，稱(chēng)之為被動(dòng)點(diǎn)（被控制點(diǎn)），再讓被動(dòng)點(diǎn)跟蹤主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化，那么當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)在路徑上運(yùn)動(dòng)時(shí)，被動(dòng)點(diǎn)將畫(huà)出同時(shí)滿(mǎn)足關(guān)于量和位置關(guān)系約束條件的軌跡。

問(wèn)題1求當(dāng)Rt△ABC的兩銳角頂點(diǎn)A、B在兩條互相垂直的直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)直角頂點(diǎn)C的軌跡。

分析：由題意可知直角三角形的運(yùn)動(dòng)方式是某種轉(zhuǎn)動(dòng)，欲求軌跡不能達(dá)無(wú)窮遠(yuǎn)，但較為具體的形態(tài)不好想象，如果利用《幾何畫(huà)板》將直角頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡畫(huà)出來(lái)，我們不僅會(huì)獲得軌跡的可視圖像，繪制的過(guò)程還將向我們展現(xiàn)相關(guān)元素之間的制約關(guān)系，這對(duì)最終解決問(wèn)題的幫助是不言而喻的。

作法：

1）作Rt△EFG，使之全等于Rt△ABC，G是直角頂點(diǎn)；任作兩條互相垂直的直線l1、l2；

2）在l2上任取一點(diǎn)標(biāo)記為A，選擇點(diǎn)A并按住shift鍵，再選擇線段EF，點(diǎn)擊構(gòu)造——以圓心和半徑劃圓⊙O1；選擇⊙O1并按住shift鍵，再選擇l1，點(diǎn)擊構(gòu)造——交點(diǎn)，該交點(diǎn)記為B（只取右方的交點(diǎn)）；

3）選擇點(diǎn)A并按住shift鍵，再選擇點(diǎn)B，點(diǎn)擊構(gòu)造——線段；選擇線段AB，點(diǎn)擊構(gòu)造——中點(diǎn)，中點(diǎn)記為M；選擇點(diǎn)M并按住shift鍵，再選擇線段AM（可先構(gòu)造線段AM），點(diǎn)擊構(gòu)造——以圓心和半徑劃圓⊙O2；選擇點(diǎn)B并按住shift鍵，再選擇線段FG，點(diǎn)擊構(gòu)造——以圓心和半徑劃圓⊙O3；選擇⊙O2并按住shift鍵，再選擇⊙O3，點(diǎn)擊構(gòu)造——交點(diǎn)，該交點(diǎn)記為C（只標(biāo)記一個(gè)交點(diǎn)）；構(gòu)造線段AC、BC；

4）選擇點(diǎn)A并按住shift鍵，再選擇l2，點(diǎn)擊編輯——按鈕——?jiǎng)赢?huà)，此時(shí)界面上出現(xiàn)動(dòng)畫(huà)圖標(biāo)；

5）選擇點(diǎn)A并按住shift鍵，再選擇點(diǎn)C，點(diǎn)擊菜單顯示——軌跡跟蹤點(diǎn)；

6）選擇不必要的元素，點(diǎn)擊顯示——隱藏對(duì)象，使界面簡(jiǎn)潔；

7）雙擊動(dòng)畫(huà)圖標(biāo)，則隨著點(diǎn)A在在直線l2移動(dòng)，點(diǎn)C上畫(huà)出一線段。

至此我們知道欲求軌跡可能是一線段。將點(diǎn)A拖到適當(dāng)?shù)奈恢茫热缡笰C平行于l1；使AB與l2重合；使點(diǎn)A與l2和l2的交點(diǎn)重合等，為進(jìn)一步的數(shù)學(xué)分析、證明提供動(dòng)態(tài)的、交互式的幫助。還可以試試看，如果三角形不是直角三角形，軌跡如何？

二、多重運(yùn)動(dòng)的疊加

如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方式是由多重互不關(guān)聯(lián)的運(yùn)動(dòng)組合而成，構(gòu)建軌跡的基本思想是相通的，只是需設(shè)計(jì)若干個(gè)主動(dòng)點(diǎn)各自在不同的路徑上運(yùn)動(dòng)，而被動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由它們不同的運(yùn)動(dòng)方式疊加而成。

問(wèn)題2平面上一動(dòng)點(diǎn)沿一直線作勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，這條直線又繞它上面一定點(diǎn)作等角速轉(zhuǎn)動(dòng)，求動(dòng)點(diǎn)軌跡（等速螺線）。

作法：

1）在平面上任取一點(diǎn)A，將鼠標(biāo)對(duì)準(zhǔn)畫(huà)線工具，按下鼠標(biāo)左鍵并拖到射線工具處松鼠標(biāo)，以A為起點(diǎn)作射線，標(biāo)記為l1；在l1上任取一點(diǎn)B，按住shift鍵，再選擇點(diǎn)A，點(diǎn)擊構(gòu)造——線段；

2）在平面上任作圓c1，圓心標(biāo)記為O1；在圓c1

上任取一點(diǎn)D，選擇點(diǎn)O1、點(diǎn)D，點(diǎn)擊構(gòu)造——射線，標(biāo)記為l2；

3）選擇點(diǎn)O1、線段AB，點(diǎn)擊構(gòu)造——以圓心和半徑劃圓，標(biāo)記為圓c2；選擇圓c2、射線l2，點(diǎn)擊構(gòu)造——交點(diǎn)，標(biāo)記為M；

4）選擇點(diǎn)B并按住shift鍵，再依次選擇射線l1、點(diǎn)D、圓c1，點(diǎn)擊編輯菜單——按鈕——?jiǎng)赢?huà)，在出現(xiàn)的畫(huà)面中依次點(diǎn)擊每一句，將速度調(diào)為較慢；

5）選擇點(diǎn)B并按住shift鍵，再選擇點(diǎn)M，點(diǎn)擊顯示——軌跡跟蹤點(diǎn)；

6）選擇不必要的元素，點(diǎn)擊顯示——隱藏對(duì)象，使界面簡(jiǎn)潔；

7）雙擊動(dòng)畫(huà)圖標(biāo)，點(diǎn)M劃出等速螺線的運(yùn)行軌跡。

注意4）、5）反映點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)是由兩種運(yùn)動(dòng)疊加而成。

從演示的結(jié)果可以看出，課件設(shè)計(jì)是否科學(xué)、簡(jiǎn)潔明了，能準(zhǔn)確地表現(xiàn)相應(yīng)的幾何關(guān)系，主動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足約束條件的路徑設(shè)計(jì)是非常關(guān)鍵的，這里數(shù)學(xué)原理起著至關(guān)重要的作用。

如果多重運(yùn)動(dòng)是相關(guān)的，那么還需要考慮主動(dòng)點(diǎn)相互間的制約關(guān)系。如考慮車(chē)輪滾動(dòng)時(shí)，車(chē)輪邊緣上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，若將其運(yùn)動(dòng)分解為一個(gè)圓的圓心作直線運(yùn)動(dòng)，圓本身作圓周運(yùn)動(dòng)，則必須注意車(chē)輪前進(jìn)的距離和車(chē)輪邊緣轉(zhuǎn)動(dòng)的距離是一致的，即它們實(shí)際上是一個(gè)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)可以利用《幾何畫(huà)板》的測(cè)量計(jì)算功能實(shí)現(xiàn)主動(dòng)點(diǎn)間運(yùn)動(dòng)的相互聯(lián)系。

教師可以利用空閑時(shí)間教會(huì)學(xué)生使用幾何畫(huà)板，讓學(xué)生在課堂上自己動(dòng)手操作，并在操作過(guò)程中觀察、發(fā)現(xiàn)、感受、驗(yàn)證，促使學(xué)生在“做中學(xué)”，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。為此，教師要積極打造適合進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的環(huán)境，加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生參與其中，激發(fā)學(xué)生的自主意識(shí)，提高學(xué)生的實(shí)踐能力。例如，先用幾何畫(huà)板畫(huà)出一個(gè)任意三角形，再畫(huà)出三角形的三條中線，并說(shuō)出其中的規(guī)律，之后再拖動(dòng)三角形其中一個(gè)頂點(diǎn)隨意改變?nèi)切蔚男螤睿纯催@個(gè)規(guī)律是否發(fā)生改變。在活動(dòng)課中讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自行探索，讓他們?cè)诤献鹘涣鳌⒁蓡?wèn)解惑的過(guò)程中重現(xiàn)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)過(guò)程。通過(guò)自主動(dòng)手探究的過(guò)程，可以激發(fā)學(xué)生的自主意識(shí)，提高學(xué)生的觀察能力和總結(jié)能力，讓學(xué)生在研究過(guò)程中找到樂(lè)趣，樹(shù)立學(xué)生的自信心，滿(mǎn)足學(xué)生的成就感。