全長黏結式注漿錨桿側摩阻力分布實用簡便計算

熊輝，皮樂

(湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082)

錨桿是一種有效的地下、邊坡支護技術，具有結構受力均勻合理、施工便捷、工期短、造價低等優點，已在國內外得到廣泛應用[1]。錨桿從加載到失效需要經歷彈性加載和滑移破壞2個階段[2]；隨著外部荷載加大，錨桿變形逐漸加大，錨固力也隨之加大；直至達到抗拔極限承載力，錨桿開始出現滑移并失效。目前，國內外學者對錨桿抗拔機理作了大量實驗及理論研究：周勇等[3]通過引入錨桿預應力損失剩余系數的概念，推導出了錨桿變形的計算公式、錨桿預應力的確定方法。對工程算例分析后，提出了確定錨桿設計參數合理的建議。REN等[4]假定錨固界面剪切應力與位移呈3折關系，建立了彈性、彈塑性以及全塑性狀態下錨固段界面摩擦應力分布解。黃明華等[5]從錨桿拉拔試驗的荷載位移曲線出發，建立錨固界面的非線性剪切滑移模型以及錨桿錨固段荷載傳遞的非線性微分方程，獲得了錨桿錨固段的軸力和界面剪應力解析解?，F有理論研究普遍存在推導過程復雜，結果采用隱函數等問題，對工程人員來說有一定的運算困擾。因此本文在對錨桿進行分段分析時，運用基本的材料及理論力學知識對其進行分析求解，得到了錨桿摩阻力分布的2重級數數學表達式。

1　側摩阻力計算公式的建立

1.1　錨桿受力變形機理

錨桿體、注漿體及巖土體三者耦合作用[6]狀態時，綜合形成一個變形協調體。將其整體切出來，分成n個微段，每個微段都由l長度的錨桿體、注漿體和巖土體組成(如圖 1所示)，后者可以根據其抗剪剛度簡化為切向彈簧，剛度系數為 K=SK2=2πrlK2。王偉的試驗研究結果表明砂漿抗剪剛度約為3 GPa/m[7]；Odah等[8]給出了不同巖體的抗剪剛度K2，對比可知：對于土體錨桿，砂漿的抗剪剛度遠大于土體的抗剪剛度。因此在設計中常常忽略錨桿和注漿體的相對位移，將錨桿體和注漿體組成的復合桿體作為錨固體[9]，錨固體彈性模量為兩者按截面面積加權：E=(EgAg+EaAa)/(Ag+Aa)[10]，錨桿體與注漿體彈性模量和橫截面積分別為 Eg，Ea，Ag和Aa。按前人研究的理論成果，三者受力變形分布沿錨桿長度近似成指數[11?12]或雙曲線[13]變化，錨端受力變形明顯，底部不明顯。

圖1　分段變形示意圖Fig. 1　Schematic diagram of sectional deformation

2.2　荷載傳遞基本方程

一注漿錨桿長為 L，半徑為 r；巖土體為密實均質黏結性能較好的土體；對變形協調體進行n段劃分，每一段長度為l，即l=L/n。

對于任一錨桿分段 i，側面受到總摩阻力為 Pi的均勻分布力作用，下端受到其下方所有分段外側摩阻力之和作用，上端則受到包括自身在內的所有分段外側摩阻力之和作用，分段受力分析圖及軸力圖分別如圖2和圖3所示。

圖2　分段錨固體受力分析圖Fig. 2　Stress analysis diagram of segmented anchor

圖3　第i段錨桿軸力圖Fig. 3　Section i anchor solid shaft

由于錨固體的受力變形為線性關系，因此第 i段錨固體的變形圖也是線性變化，如圖4所示。

圖4　第i段錨固體變形圖Fig. 4　Section i anchor solid deformation diagram

錨固體分段i變形長度為δli；分段錨固體中點位移值為Si；與此對應的巖土體變形為Δi，等于分段錨固體中點位移值Si，即：Δi=Si；受力分析如圖5所示。

圖5　分段對應巖土體受力變形圖Fig. 5　Sectional stress and deformation map of rock and soil

由上述分析有如下式：

式中：P為張拉端總荷載；Pi為第i段錨固體外側所受側摩阻力值。

式中：ilδ為第i段錨桿變形值；l為分段長度；EA為錨桿等效拉壓剛度。

式(2)：由于分段內軸力是線性變化(如圖 3)，故其應變值也是線性變化。因此可用中點應變值與第i段錨桿長度乘積得到i段錨桿變形值。

式中：Si為第i段錨固體位移值。

式(3)：由于分段內變形的線性變化，故考慮取該分段錨固體中點變形值——平均值作為分段位移值較合理。因此其值為包括該分段在內的下部所有分段變形值之和減去該分段自身變形值的一半。

式中：Δi為巖土體變形值；K為分段巖土體變形剛度系數。

2.3　摩阻力計算結果推導及分析

由式(2)，(3)和(5)有：

式中：B和D為表達式簡化參數；r為注漿錨桿體半徑；K2為巖土體抗剪剛度。

為簡化計算對錨桿進行5段劃分，如圖6所示。

圖6　錨桿5段劃分示意圖Fig. 6　Sketch map of five section of anchor bolt

由式(1)及式(6)計算得：

2　實例驗證

楊慶等[13]建立了注漿錨桿界面剪應力計算方程，并對影響錨桿錨固效果的參數進行分析，合理地得到了全長注漿錨桿的界面剪應力和軸向載荷的雙曲線分布函數。該文對巖體的適用范圍包括巖石、砂礫以及黏土等，因此，選擇該文理論作實例驗證。

一錨桿長3 m，直徑0.2 m；采用M7強度水泥砂漿，內置3根Φ20鋼；巖體為黏土，抗剪強度取600 MPa/m；張拉端荷載P=180 kN。

由文獻[13]和本文分別計算的分段側摩阻力 Pi及位移Δi結果如下表所示：

表1　錨桿5分段時，文獻[13]與本文公式計算的側摩阻力和位移值對比表Table 1　When the anchor is in the fifth section, the comparison of the side friction and displacement calculated by the formula [13]

對比可知，除底部第一分段外，由本文計算出的摩阻力分布結果和分段錨固體位移值計算結果與文獻相應計算結果符合度都非常高。其中分段摩阻力分布相差不超過 5%；位移計算值相差不超過7%，精度滿足工程計算要求。

圖7　5分段錨桿摩阻力分布與位移計算值與文獻計算值對比Fig. 7　Comparison of calculated values of displacement distribution and displacement of five section anchor bolt with calculated value of literature

3　對計算結果影響因素的分析

在實例中各參數的基礎上控制變量，分別對側摩阻力計算的影響因素進行分析，得到 4.1~4.5節中的結論。

3.1　不同分段情況對計算結果的影響

將變形協調體分為3段，其他參數不變，進行分析，由式(1)及式(6)得：

由文獻[13]和本文分別計算的分段側摩阻力 Pi及位移Δi結果如下表所示：

對比可知由本文計算出的摩阻力分布結果與文獻計算出的摩阻力分布結果符合度也較高，相差不超過10%；位移計算結果相差較大，達到了20%。

將變形協調體分成7段進行分析：

表2　錨桿3分段時，文獻[13]與本文公式計算的側摩阻力和位移值對比表Table 2　When the anchor is in the three section, the comparison of the side friction and displacement calculated by the formula [13]

圖8　3分段錨桿摩阻力分布與位移計算值與文獻計算值對比Fig. 8　Comparison of calculated values of displacement distribution and displacement of three section anchor bolt with calculated value of literature

由式(1)及式(6)得：

由文獻[13]和本文分別計算的分段側摩阻力及位移結果如表(3)所示。

圖9　7分段錨桿摩阻力分布與位移計算值與文獻計算值對比Fig. 9　Comparison of calculated values of displacement distribution and displacement of seven section anchor bolt with calculated value of literature

對比可知，除底部兩段外，由本文計算出的摩阻力分布結果和分段錨固體位移值計算結果與文獻相應計算結果符合度都非常高。其中分段摩阻力分布相差不超過4%；位移計算值相差不超過6%，精度滿足工程計算要求。

綜上所述，用本文方法計算錨桿側摩阻力分布，分段3，5和7段時，結果與文獻計算結果符合度逐漸提高，分段越多，精確度越高。

3.2　錨固體直徑D對計算結果的影響分析

假定錨桿直徑分別為0.1，0.17，0.24，0.3，0.34和 0.4 m，其他參數不變，通過計算得到各分段總側摩阻力占比情況，如圖10所示。

圖10　5分段時，錨桿直徑D對各分段側摩阻力分布影響Fig. 10　When the five segments the influence of bolt diameter D on the distribution of lateral friction resistance

由圖得出的是隨錨桿直徑增大錨桿各分段側摩阻力抵抗荷載比例情況，可看出分段5側摩阻力占比隨錨桿直徑增大而減小，其他分段占比逐漸緩慢增加，分段1增加最快。

4.3　土體抗剪剛度K2對計算結果的影響分析

假定土體抗剪剛度分別為 2，4，6，8，10和12(×108Pa)，其他參數不變，通過計算得到各分段總側摩阻力占比情況，如圖11所示。

圖11　5分段時土體抗剪剛度K2對各分段側摩阻力分布影響Fig. 11　When the five segments the influence of shear stiffness K2 of soil on the distribution of lateral friction resistance

由圖得出的是隨土體抗剪剛度增大錨桿各分段側摩阻力抵抗荷載比例情況，可看出分段5側摩阻力占比隨土體抗剪剛度增大而增大，其他分段占比逐漸緩慢減小，分段1減小最快。

4.4　錨固體等效彈性模量 E對計算結果的影響分析

假定錨固體等效彈性模量分別為 4.04，5.11，6.31，12.6和19.7 GPa，其他參數不變，通過計算得到各分段側摩阻力占比情況，如圖12所示。

圖12　5分段時等效彈性模量對各分段側摩阻力分布的影響Fig. 12　When the five segments the influence of equivalent elastic modulus on the distribution of lateral friction resistance

由圖得出的是隨等效彈性模量增大錨桿各分段側摩阻力抵抗荷載比例情況，可看出分段5側摩阻力占比隨等效彈性模量增大而減小，其他分段占比逐漸緩慢增大，分段1增大最快。

4.5　參數B對計算結果的影響分析

由式(6)可知參數B是一個綜合參數。影響參數B的因素有：錨桿分段數、錨固體直徑D、土體抗剪剛度K2及錨固體等效彈性模量E。前面已分別單獨分析了各因素對側摩阻力分布計算的影響，但實際中經常多因素同時作用，所以本節通過分析綜合參數B對側摩阻力分布的影響來分析多因素同時作用時對計算結果的影響，如圖13所示。

可以看出，當0＜B＜0.17時：側摩阻力占比由大到小順序依次為：第1段(底部分段)、第5段(靠近端部分段)、第4段、第3段和第2段。當B≥0.17時，第5段占比最大，第1段則隨B值的增大而減小，當B≥1時，第1段占比小于第2段。

圖13　5分段時參數B的值對錨桿各分段摩阻力占荷載的比例的影響Fig. 13　When the five segments the influence of the subsection parameter value of B on the proportion of the frictional load of each segment of the anchor

4　結論

1) 錨桿側摩阻力從底部到端部呈 2重級數分布，靠端部長度的40%消耗了張拉荷載的85%，靠近底部幾乎為 0；位移的分布與摩阻力的分布形式一致。

2) 錨桿分段數越多，計算結果精確度越大。當分 3段計算時，計算結果與文獻[13]計算值相差達到10%~20%；當分5段計算時，結果相差5%~6%；當分7段計算時，結果相差4%~5%。分段數越多，計算量越大，具體分多少段需要根據實際工程精度需求而定。

3) 錨桿直徑 D(注漿體)與等效彈模 E(配筋)越大，摩阻力的分布集中于桿端現象趨向弱化，下部各分段占比上升；土體抗剪剛度K2越大，摩阻力的分布集中于桿端現象加強，下部摩阻力分布占比減少。

4) 表達式中參數 B的值越小，錨桿底部分段抵抗張拉荷載的貢獻值越大。當B＜0.17時，底部分段貢獻值最大；0.17≤B＜1時，靠近端部分段貢獻值最大，底部分段貢獻值還是大于倒數第2段；當B≥1時，底部分段貢獻值最小。

5) 對于邊坡穩定加固以及基礎抗浮設計，本文提供了一種實用的計算方法。

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