基于能量的網殼結構協調抗震性能分析

張　明,周廣春,張克躍,賈宏宇,李蘭平,張德義

(1.西南交通大學土木工程學院,四川 成都 610031; 2.哈爾濱工業大學結構工程災變與控制教育部重點實驗室,黑龍江 哈爾濱 150090; 3.哈爾濱工業大學土木工程學院,黑龍江 哈爾濱 150090)

對于網殼結構,國外學者研究了網殼結構的動力性能及靜力、動力荷載作用下的屈曲、優化等問題,并給出簡化計算方法[1-7]，但從能量角度對網殼結構工作性能的系統研究較少.國內學者分別對網殼結構在地震作用下的響應[8]、單層網殼模擬地震振動臺試驗[9-12]、網殼結構減振分析[13]、地震行波激勵下網殼反應[14]、風荷載作用下網殼結構的響應分析[15]、網殼結構穩定性[16]、網殼結構沖擊響應分析[17]、模態分析[18]、動力失效機理[19-21]等方面進行深入研究.

由文獻[22]可知，當地震動輸入到結構的能量不超過其最大耗能能力時,結構處于穩定的工作階段;當外界輸入的能量大于其極限耗能時,結構將失去抵抗外荷載的能力,呈現不穩定的受力狀態.目前基于能量原理對網殼結構協調工作特性方面的研究尚顯不足,大量的網殼結構有限元分析數據(位移、應力、應變和變形能等)尚未進行深入研究,其中隱含的結構工作特征亟待揭示.本文基于能量參數重點討論網殼結構在不同工作狀態下協調工作能力及其與承載能力間的關系.首先從能量方程出發,給出了各能量參數的計算方法；然后基于能量的受力狀態對單集中質量和超靜定結構體系進行分析,探討各能量間、能量參數與外荷載間的關系及失效狀態下能量參數的變化特點.

1　結構體系的能量方程

在地震動作用下，單自由度體系在任意時刻的動力學方程可描述為

(1)

式中:m、c、k分別為單自由度體系的集中質量、阻尼和剛度;

1.1　能量方程構建

(2)

式(2)可以簡化為

EK+ED+ES=EI,

(3)

式中:EI為總輸入能量；

ED為時刻t結構體系的動能，

ED為時刻t的阻尼耗能，

ES為時刻t結構體系的應變能，

在單自由度體系能量平衡方程構建的基礎上,多自由度體系能量平衡方程可以改寫為

EmK+EmD+EmS=EmI,

(4)

式中:EmK為結構體系的動能，

EmD為結構體系的阻尼耗能，

EmS為結構體系的變形能，

EmI為地面運動總輸入能量，

M、C、K分別為多自由度體系的集中質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣.

1.2　能量方程中相關參數的計算

(1)EmI：基于ANSYS子結構分析方法提取結構體系的質量矩陣;應用MATLAB編制程序對式(3)積分得到.

(2)EmK：根據式(1)得到或利用ANSYS內部程序*GET、KENE等提取.本文采用第2種方法得到.

(3)EmD：基于計算公式通過積分方法得到,其中阻尼矩陣C參照文獻[23]給出的簡化計算方法得到.

(4)EmS：根據式(1)得到或利用ANSYS內部程序*GET、KENE等提取.本文采用第2種方法得到.

2　不同能量參數比較

2.1　端部固結單集中質量體系

選用三維空間中單集中質量體系，圖1所示.

在ANSYS建模過程中,選用PIPE20和MASS21單元構建單集中質量體系模型,高度為1.000 m,截面尺寸為Φ0.020 m×0.002 m.材料選用雙線性等向強化模型BKIN,彈性模量為206 GPa,屈服強度為345 MPa,切線模量為4.12 GPa,質量密度7 850 kg/m3,主泊松比為0.3;球節點MASS21具有6個自由度,質量為50 kg;地震動輸入為TAFT波,持時為20 s,采樣頻率為50 Hz.

(a)單集中質量體系(b)桿件截面圖1　單集中質量體系模型(單位：m)Fig．1　Modelwithalumpedmass(unit：m)

2.1.1單向地震波作用

圖2為單集中質量體系在水平單向TAFT地震波作用下，各能量-時間、能量-地震波加速度峰值的關系.

由圖2可知，隨著地震波作用時間及加速度幅值的增加,總輸入能量與各項能量之和同步增加.且在地震波持時內及結構工作狀態中,結構體系的4種能量之和(ET)與總輸入能量(EI)基本保持相等;當結構體系處于工作狀態時,動能、阻尼耗能和應變能均穩定變化.但當加速度峰值達到一定數值時,應變能急驟增加,呈突變現象,此時結構的受力狀態發生了改變.

當地震波加速度峰值達到11.1 m/s2時,結構應變能急劇增加,總輸入能量卻增量很小,呈現結構在此相對振動位置輸入能量與結構輸出能量的不平衡,推斷結構的能量平衡位置已經發生改變.

如圖3所示,在加速度峰值為11.1 m/s2的TAFT波時程內,結構體系桿件出現了全截面屈服,即出現了塑性鉸,此時結構的剛度發生了改變,造成結構的受力狀態改變,進而結構體系的變形能從原有平衡位置振蕩快速地過渡到新的平衡位置.

為進一步探討上述現象產生的原因，關閉有限元程序的幾何非線性，重新分析該結構體系動力響應，并將4種能量與加速度峰值關系曲線置于圖4.

(a) 能量-時間

(b) 能量-地震波加速度峰值圖2　單集中質量體系在水平單向TAFT地震波作用下能量曲線Fig.2　Energy analysis of single-lumped mass system subjected to horizontal unidirectional TAFT wave

圖3　應變能時間歷程Fig.3　Strain energy-time curve

由圖4可見,忽略幾何非線性影響時,結構在原有能量平衡位置振動,能量守恒.

對比圖3與圖4可以推斷,幾何非線性是造成結構能量平衡位置發生改變的根本原因.進而可以對結構的工作狀態及失效荷載進行判斷.

圖4　忽略幾何非線性影響時的能量和加速度Fig.4　Energy-peak Ground Acceleration curves, ignoring geometrical non linearity

2.1.2三維TAFT地震波和簡諧荷載作用

將上述單集中質量體系在三維TAFT波和三向簡諧波(頻率為1 Hz,x∶y∶z=1.00∶0.85∶0.65,持時為60 s)作用下的5種能量關系如圖5、6所示.

由圖5、6可以看出，EI與ET仍保持相等.另外,當地震波加速度峰值小于一定值時,結構體系的各項能量均穩定變化;當地震波加速度峰值達到一定量值后,ES急劇增加,呈現突變，與單向地震波作用下單集中體系的動力響應相同,表明應變能突變現象與動力荷載類型無關,即適合于任何形式的動力荷載.

2.2　超靜定結構集中質量體系

圖7為本文的超靜定結構集中質量體系,由集中質量球和一榀框架所組成.質量球、框架梁和柱剛性連接,框架柱與地面固接.圖中，集中質量m1=m3=200 kg,m2=400 kg,鋼管長度L=0.5 m.有限元模型由單元PIPE20和MASS21構建,材料屬性與單集中質量體系有限元模型相同.

(a)能量?時間(ag=0．11m/s2)(b)能量?地震波加速度峰值圖5　三維TAFT地震波作用下單集中質量體系能量參數比較Fig．5　Energyanalysisofsingle?lumpedmasssystemsubjectedtothree?dimensionalTAFTwave

(a)能量?時間(b)能量?加速度峰值曲線圖6　三維簡諧荷載作用下單集中質量體系能量比較Fig．6　Energyanalysisofsingle?lumpedmasssystemsubjectedtothree?dimensionalharmonicwave

輸入水平單向和豎向二維TAFT波,持時為20 s.與單質點體系5種能量分析方法相同,該超靜定結構體系的5種能量關系如圖8所示，圖中，EmT=EmK+EmD+EmS.

由圖8可以看出，結構處于工作狀態時,隨著外荷載增加,地震總輸入能量與其他4種能量參數同步增加,應變能平穩增加,受力狀態較穩定;結構體系失效時,應變能仍然發生了突變,即結構受力狀態發生了改變,此時結構能量平衡位置改變到了新的位置.

綜上所述可知,不論何種荷載作用在何種類型結構體系上,當結構處于工作狀態時,應變能平穩增加,受力狀態保持穩定;失效時,結構體系整體應變能均發生突變.基于結構體系的能量-地震波加速度峰值關系可以區分結構工作狀態與失效狀態,進而預測結構的失效荷載和失效模式.

圖7　超靜定集中質量結構體系Fig.7　Statically indeterminate structure system

圖8　5種能量與地震波加速度峰值的關系Fig.8　Relationship between the five strain energies and peak ground acceleration

3　單層網殼結構協調工作性能

選取工程中對典型的凱威特型單層球面網殼(K8型,如圖9所示[21])進行基于能量分布的結構特性分析.

K8型網殼有限元模型的構造、阻尼等信息與文獻[21]相同.動力荷載包括簡諧荷載和TAFT地震波,簡諧荷載的頻率為5 Hz,持時為12 s;TAFT地震波作用時間均為20 s,采樣率50 Hz.

3.1　單層球面網殼的構造

根據結構構造特點,單層球面網殼單元可以劃分為圖10所示的環桿、徑桿和斜桿單元3種類型.理論上,3種類型單元在地震過程中協調工作共同抵抗外荷載.但是,在不同工作狀態下3種單元所表現的受力性能會有不同.

圖9　K8型網殼模型示意Fig.9　Single-layer latticed dome K8

為了分析網殼結構在抵抗地震作用過程中不同單元間的協同工作及不同工作狀態下的受力狀態,第i環位置處的環桿單元、徑桿單元和斜桿單元的響應平均值分別表示為Hi、Ri和Oi,其相應計算式為

(5)

式中:NiH、NiR、NiO分別為單層網殼第i環處環桿、徑桿和斜桿的單元數目；

Hij、Rij、Oij分別為單層網殼第i環處的環桿、徑桿和斜桿的第j個單元的動力響應數值.

圖10　環桿、徑桿和斜桿單元Fig.10　Hoop,radial,and oblique members

根據式(5),單層網殼不同環處環桿、徑桿和斜桿分別與第1環或第2環處相應類型桿件動力響應的比值ρH i1、ρR j1和ρO k2可由式(6)～(8)計算得到.

(6)

(7)

(8)

式中:i、j、k網殼結構構造參數，根據網殼結構的構造取值；

網殼底部固定于基礎上,第6環環桿無動力響應發生,故i僅取到第5環.

應用式(6)～(8)可以分別研究單層網殼不同環處環桿、徑桿和斜桿在抵御地震過程中的作用大小及協調能力.在此基礎上,可用式(10)考察3種類型桿件在地震過程中的協同性.

(9)

(10)

式中：NH、NR、NO分別為單層球面網殼環桿、徑桿和斜桿的單元數目；

ρHT、ρRT、ρOT分別為環桿、徑桿、斜桿指數應變能密度和與結構總指數應變能密度和的比值.

3.2　水平向簡諧荷載作用下結構工作協調性分析

參照文獻[21],取指數應變能密度(ESED)作為響應物理參數來分析網殼結構在抵抗地震作用過程中不同單元間的協同工作及受力狀態,ESED和指數應變能密度Id的計算見式(11)、(12).

(11)

(12)

式中:n為網殼結構有限元模型的單元數目;

SEDi0為第i0個單元的應變能密度;

ESEDi0為第i0個單元的指數應變能密度.

水平向簡諧荷載作用下3種類型單元的指數應變能密度比值見圖11.

由圖11可知:

(1) 在結構工作狀態下,單層球面網殼的第4環和第5環處環桿、徑桿和斜桿的動力響應最大，以徑桿為例，最大值出現在第5環，約為第1環的13倍;換而言之,單層球面網殼的中下部在抵抗水平向地震動作用過程中起主要作用,如圖11(a)～(c)所示.

由圖11(a)～(c)可知，結構的動力響應在彈性工作狀態下非常穩定,表征每種類型桿件內部間都具有較高的協調工作性能;當結構處于彈塑性工作狀態時,每種類型桿件單元間的動力響應彼此間逐漸疏遠且呈現不穩定變化,表明不同類型桿件內部出現了較大內力分布調整.

(2) 在圖11(d)中標出了結構的兩個受力狀態,即工作狀態和失效狀態,工作狀態包括彈性工作狀態和彈塑性工作狀態.在工作狀態下,徑桿單元的動力響應一直保持最低;彈性工作狀態下,斜桿單元的動力響應最大;彈塑性工作狀態下,環桿單元的動力響應逐漸發展成為最大值.總之,結構在工作狀態下,斜桿和環桿兩種類型桿件承擔主要地震輸入能量,徑桿最少,這表明各類型桿件之間具有較好的協調性、能夠穩定地承擔外荷載.

由圖11(d)可以看出,結構的工作狀態包括彈性工作狀態和彈塑性工作狀態,彈塑性工作狀態可以劃分為瞬態階段和相對穩定階段.

(3) 當加速度峰值超過20.5 m/s2時,即加速度峰值超過失效荷載時,各類曲線均有較大波動,個別曲線還發生了突變現象,表明該結構已經喪失正常的、穩定的協調承載的能力.

綜合上述3點,網殼結構在工作狀態下各類桿件及不同部位的單元間能夠較為協調穩定地共同承擔外荷載;當結構失效后,這種協調穩定性被破壞,不能繼續保持設定的工作狀態,表現為不同類型桿件單元及不同部位單元間能量分布有較大波動、甚至突變.

為進一步研究3個工作狀態和兩階段下各類型桿件間的協調性,表1中列出水平簡諧荷載作用下單層球面網殼D40207不同類型桿件單元指數應變能密度的相關系數，表1中數據由式(13)計算得到.

由表1中可以看出：3種類型桿件在彈性工作狀態下動力響應的相關系數最高;徑桿與其它兩種類型桿動力響應在彈塑性工作狀態下的相關系數非常低;由瞬態過渡到相對穩定階段過程,徑桿與環桿和斜桿動力響應的相關系數分別由0.56變為-0.77及-0.64變為0.15.正負關系變化表征內力分布在結構內部進行了重新調整以便更好地承擔外荷載,表明單層球面網殼內部具有良好的協調工作性能.

(13)

式中:

ρXY為變量X、Y相關系數;

Cov(X,Y)為X、Y協方差;

D(X)、D(Y)分別為X、Y方差.

3.3　三向TAFT波作用下結構工作協調性分析

圖12分別為單層球面網殼D40207在TAFT地震波作用下，3種類型桿件內部及其之間的動力響應比值隨加速度峰的變化關系曲線.

(a)環桿間動力響應比較(b)徑桿間動力響應比較(c)斜桿間動力響應比較(d)3種類型桿件間動力響應比較圖11　水平向簡諧荷載作用下3種類型單元的指數應變能密度比值Fig．11　Comparisonofstrainenergyratiosamongthree?typemembersintheshellmodelsubjectedtohorizontalharmonicwave

表1　水平簡諧荷載作用下能量相關系數Tab.1　Correlation coefficients of exponential strain energy under horizontal harmonic wave

由圖12可知:

(1) 單層球面網殼在工作狀態下第2環處的相應桿件動力響應最大,即結構的最大動力響應發生在結構的中上部，以徑桿為例，最大值出現在第2環，約為第6環的15倍;與此同時,結構的動力響應在彈性工作狀態下非常穩定,表征每種類型桿件內部間都具有較高的協調工作性能;當結構處于彈塑性工作狀態時,每種類型桿件單元間的動力響應彼此間逐漸疏遠且呈現不穩定變化,特別是在工作狀態后期,表明不同類型桿件內部受力狀態出現較大的調整,以便結構整體能夠穩定地承擔外荷載.

(2) 圖12(d)為結構的兩個工作狀態和兩個階段桿件間動力響應.基于圖12(d),表2中列出三向TAFT波作用下，網殼D40207在兩個工作狀態和兩個階段內的動力響應相關系數.

(a)環桿間動力響應比較(b)徑桿間動力響應比較(c)斜桿間動力響應比較(d)3種類型桿件間動力響應比較圖12　TAFT地震波用下3種類型單元的指數應變能密度比值Fig．12　Comparisonofstrainenergyratiosamongthree?typemembersintheshellmodelsubjectedtoTAFTwave

表2　三向TAFT波作用下能量相關系數Tab.2　Correlation coefficients of exponential strain energy under three-dimensional wave

由表2中可以看出,3種類型桿件在彈性工作狀態下動力響應的相關系數非常高.由彈性工作狀態到彈塑性工作狀態,環桿與斜桿單元的動力響應相關系數基本保持相對穩定變化,與徑桿單元的動力響應相關系數經歷了較大波動后呈現穩定變化;徑桿與斜桿單元的動力響應相關系數同樣經歷了較大波動后呈現穩定變化.這進一步表明單層球面網殼內部存在內力重分布現象及單層球面網殼內部具有良好的協調工作性能.

綜上所述,單層球面網殼內部存在良好的彼此協調工作性能.在這一過程中,各部分單元間內力得到了重新分布,結構的受力狀態趨向于更加合理化,表現為結構體系能夠穩定地承擔更大的外荷載,驗證了K8型單層球面網殼構造狀態的合理性.

4　結　論

本文所進行的基于能量的單集中質量體系、超靜定結構體系和網殼結構承載性能分析,以及網殼結構的協調工作性能分析,結論如下:

(1) 在不同地面運動作用下,單集中質量體系和超靜定結構體系的全荷載域動力響應過程中,分析總輸入能量、動能、阻尼耗能和應變能隨荷載幅度的變化.當結構處于工作狀態時,具有協調、穩定地承擔外荷載的能力;結構在進入失效狀態時,結構的應變能發生突變,結構在原有能量平衡位置的受力狀態發生了改變,即結構喪失了原有的穩定承載能力,進入到另一個能量平衡位置并以不同的受力狀態承受荷載作用.

(2) 通過對單層球面網殼在不同形式地面運動作用下局部和整體受力狀態分析表明:水平向簡諧荷載作用下單層球面網殼的薄弱位置在中下部,徑桿最大值出現在第5環，約為第1環的13倍；三向TAFT波作用下薄弱位置在中上部，徑桿最大值出現在第2環，約為第6環的15倍.

(3) 單層球面網殼在正常工作狀態下各類桿件單元及不同部位的單元間能夠較為協調、穩定地共同承擔外荷載;當結構失效后,這種協調穩定性被破壞,不能繼續保持設定的工作狀態,表現為不同類型桿件單元及不同部位單元間能量分布有較大波動,甚至突變.

致謝：西南交通大學峨眉校區高層次人才隊伍建設科研支撐項目(10101X10096070).

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