基于降維動態觀測器的一類多項式系統的非線性H>∞控制

周燕茹,曾建平,邵振華,黃程愷

(1.廈門理工學院電氣工程與自動化學院,福建 廈門 361024;2.廈門大學信息科學與技術學院,福建 廈門 361005)

在控制設計研究中,采用狀態反饋的前提條件是被控對象的狀態都可獲知．然而,在許多實際工程系統中,一些狀態往往不能直接測量,或因技術成本太高而無法進行測量．針對此種情況,可采用基于觀測器的狀態反饋控制方式,即通過系統輸出信號來對這些不可測狀態進行估計,以實現特定的控制目標．迄今,基于觀測器的控制方法已受到廣泛的關注,并取得了大量的研究成果[1-8]．

對線性時不變系統,Park等[1]設計了一種新型的線性動態觀測器．該觀測器的增益存在動態特性,可視為經典Luenberger觀測器[2]在結構上的擴展,也可認為是動態輸出反饋控制機制的一種對偶形式[3]．與經典的Luenberger觀測器相比,動態觀測器的最大優勢在于可提供更多控制設計自由度．目前,動態觀測器已被應用于各類控制問題研究,如傳感器故障診斷的H∞控制[4]、Lipschitz非線性系統的H∞控制[5]、不確定T-S模糊系統的魯棒H∞控制[6]和線性廣義系統的H∞控制[7]等．然而,這些現有成果大多采用線性控制．由于非線性系統固有的復雜性,且缺乏一般的非線性求解方法和工具,動態觀測器在非線性控制領域還未能得到實質性的推廣應用．

近來快速發展的多項式平方和(sum of squares,SOS)理論有力地促進了非線性系統研究,特別是在基于SOS的非線性狀態反饋控制問題上取得了重大突破[8-10]．SOS可為多項式非負性判斷提供有效的凸松弛算法[11]．在其框架下,一方面,許多成熟的線性控制理論可推廣應用于多項式非線性系統[9];另一方面,各種帶多項式約束的非線性控制問題都可轉化為SOS凸規劃問題．

本文中針對一類特定的多項式非線性系統,采用SOS研究基于動態觀測器的非線性H∞控制問題．根據線性動態觀測器形式和系統結構特征,構造出相應的非線性降維動態觀測器;觀測器的非線性H∞控制問題被轉換為SOS凸優化問題,從而有效地避免了構造Lyapunov函數和數值仿真的困難;所得非線性觀測器和控制器僅是關于系統狀態的多項式或有理式函數,從工程實現的角度來看,與傳統線性觀測器和控制器相比,實現這種非線性觀測器和控制器所增加的復雜性很有限．

1　問題描述和預備

1.1　系統描述和問題聲明

考慮如下一類特定的多項式型非線性系統

(1)

注1系統(1)具有的結構特征:1) 動力學行為由一個類線性微分方程來描述;2) 系數矩陣的元素是關于可測狀態的多項式函數．許多實踐和理論研究對象可以被描述為類似系統(1)的形式,如質量彈簧阻尼系統[12]、洛倫茲(Lorentz)和羅斯勒(Rossler)混沌系統[13]以及各種航天器姿態模型[9]等．

問題1基于動態觀測器的非線性H∞控制問題:針對系統(1),本文中的控制目標是設計一個基于動態觀測器的非線性H∞控制器,使得相應閉環系統在零平衡點漸近穩定且有L2-增益≤γ．

1.2　預備知識

則系統的L2-增益≤γ．

定義2(SOS)[15]設f(x)是一個關于x∈Rn的多項式,如果存在一組多項式f1(x),f2(x),…,fm(x)使得

(2)

則稱f(x)為SOS多項式．

顯然,f(x)∈Φsos意味著對所有x∈Rn,都有f(x)≥0．SOS條件(2)也等價于存在一個常數矩陣Q≥0使得f(x)=ZT(x)QZ(x),其中Z(x)是由關于x的單項式構成的適當維列向量．

在本節的最后,給出了后續推導需要用到的兩個引理．

引理2[8]設P(x)∈S[x]m對所有x∈Rn都是非奇異的,則有

2　基于動態觀測器的狀態反饋控制

根據系統(1)的結構特征,可構造其子狀態x2的一個動態觀測器．首先,由系統(1),有

(3)

(4)

(5)

A21(x1)y+B22(x1)u+Cd(x1)xd+

(6)

(7)

于是,由式(6)和(7)即可得出系統(1)的降維動態觀測器為

Dd(xJ)B21(x1))u+Cd(x1)xd,

xd=hd+Bd(xJ)y.

(8)

Cd(x1)xd+B12(x1)w

(9)

的零平衡點是漸近穩定的．

注3如果A(x1),B2(x1),Ad(x1),Bd(xJ),Cd(x1)和Dd(xJ)都簡化為常數矩陣,則非線性觀測器(8)就簡化為連續時間線性時不變系統中的線性降維動態觀測器．換言之,不同于該線性動態觀測器,觀測器(8)的參數矩陣均與系統(1)的可測子狀態x1相關．在后續討論中,將解決非線性動態觀測器(8)和相應控制器的求解問題．

基于觀測器(8),設計如下狀態反饋控制器

(10)

(11)

再由式(1)和(9),可得

(12)

綜上,結合式(9)～(12),可構成如下閉環系統:

(13)

Acl1(x1)=A(x1)+B2(x1)K(x1),

Acl4(x1)=Bd(xJ)A12(x1),

Acl3(x1)=A22(x1)-Dd(xJ)A12(x1),

Ccl(x1)=[C1(x1)+

D2(x1)K(x1)C1(x1)Q10].

對于系統(1),基于動態觀測器的非線性H∞控制問題具體是指設計降維動態觀測器(8)和狀態反饋控制器(10),使得相應閉環系統(13)的零平衡點是漸近穩定的且有L2-增益≤γ．

根據Lyapunov穩定性理論,可先建立上述系統的一個H∞性能準則．

0,

(14)

則閉環系統(11)在零平衡點漸近穩定且L2-增益≤γ．

對系統(13),又有

再根據Schur補引理,由式(14)成立,可知

(15)

V(xcl(T))-V(xcl(0))≥0.

由定義1,又知該系統的L2-增益≤γ．

在定理1的基礎上,采用SOS理論,并限定P(xJ),Ad(x1),Bd(xJ),Cd(x1)和Dd(xJ)均為多項式矩陣,可得出該基于動態觀測器的非線性H∞控制問題的一個可解性條件．

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

其中,v1∈Rq,v2∈Rq,v3∈Rn,v4∈R2q,v5∈Rn+2q+r+l,

Ξ1(x1)∶=He(A(x1)X1(xJ)+B2(x1)Y(x1))-

Ξ3(x1)∶=He(A22(x1)M11+Cc(x1)),

(Dc(xJ)A12(x1))T,

Ξ6(x1)∶=He(P11A22(x1)+Bc(xJ)A12(x1)),

Ξ7(x1)∶=C1(x1)X1(xJ)+D2(x1)Y(x1)．

此時,控制器增益矩陣及觀測器參數矩陣分別為

Dd(xJ)=Dc(xJ),

Cd(x1)=-(Cc(x1)+Dd(xJ)

Dd(xJ)A12(x1))M11-P12Bd(xJ)

(21)

其中,P12和M12是可逆矩陣且滿足

(22)

證明根據定義2,由條件(16)～(20)成立,可知

P11>0,M11>0,X1(xJ)>0,

(23)

(24)

由式(24),易知P2>0等價于

Y(x1)=K(x1)X1(xJ),

Ac(x1)=P11(A22(x1)-Dd(xJ)A12(x1))M11-

Bc(xJ)=-P11Dd(xJ)+P12Bd(xJ),

Dc(xJ)=Dd(xJ),

就可得出Ξ(x1)<0．

綜上所述,條件(23)是式(14)成立的一個充分條件．根據定理1,可知該基于動態觀測器的非線性H∞控制問題可解,且相應控制器和觀測器的增益能通過式(21)來構造．

注4在定理2中,X1(xJ)所有元素的最高階數應為偶數,這是式(18)成立的前提條件．

注6對于式(21),在求出P11和M11之后,可以通過矩陣I-P11M11的奇異值分解來得到可逆矩陣P12和M12．

3　數值仿真

為驗證所得非線性H∞控制設計方法的可行性和有效性,針對質量彈簧阻尼系統,采用MATLAB/SOSTOOLS[8]進行控制設計求解,并給出相應的仿真效果圖和分析結論．

以文獻[12]中的非線性質量彈簧阻尼系統(如圖1所示)為仿真對象,其動力學方程為:

圖1　質量彈簧阻尼系統Fig.1 Mass-spring-damper system

(25)

對上述系統,J=?,故X(xJ),Bc(xJ)和Dc(xJ)為常數矩陣．設定Ac(x1)、Cc(x1)和Y(x1)的最高階為2階,并給定仿真參數γ=0.9,δ(x1)=10-5,τi=0.1(i=1,2,3,4)．根據定理2,系統(25)的基于降維動態觀測器的非線性H∞控制問題可解,所得結果具體如下:

控制器增益矩陣為

K(x1)=

觀測器參數矩陣為

6.251 0,

Bd(xJ)=13.407 1,

0.850 9,

Dd(xJ)=-0.789 6．

(i) 標稱系統(nominal system,NS):w=0;

(ii) 受擾系統1(disturbed system 1,DS1):

(iii) 受擾系統2(disturbed system 2,DS2):

w=

圖2　x1的時間響應曲線Fig.2 Trajectories of x1

圖和x2的時間響應曲線Fig.3 Trajectories of and x2

圖4　xd的時間響應曲線Fig.4 Trajectories of xd

圖5　控制輸入u曲線Fig.5 Control input u

圖6　外部干擾w曲線Fig.6 External disturbances w

4　結　論

借鑒線性動態觀測器形式和變量替換法研究思路,本文中針對一類特定的多項式系統,采用Lyapunov穩定性理論結合SOS方法,給出一種基于動態觀測器的非線性H∞控制設計方法．該方法可借助有效凸優化算法進行檢驗,在一定程度上解決了非線性系統的計算困難,且相應控制器僅是關于系統狀態的多項式或有理式函數,易于工程實現．仿真結果表明,所得控制器能保證相應閉環系統在零平衡點漸近穩定,且對外部擾動具有較強抑制能力．當然,考慮到工程實際系統往往存在著各種不確定性,可在本文工作基礎上進一步研究基于動態觀測器的非線性魯棒控制問題．

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