一種快速求解寬頻簡正波的方法

朱飛龍，李風(fēng)華，Eric I. Thorsos

?

一種快速求解寬頻簡正波的方法

朱飛龍1,2，李風(fēng)華1，Eric I. Thorsos3

(1. 中國科學(xué)院聲學(xué)研究所聲場聲信息國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190；2. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；3.Applied Physics Laboratory, University of Washington WA, 98105 USA)

針對(duì)寬帶信號(hào)的簡正波解，傳統(tǒng)的求解簡正波數(shù)值方法常常需要重復(fù)計(jì)算本征值方程，計(jì)算效率低。文中將頻率的變化當(dāng)作擾動(dòng)，提出利用微擾理論得到參考頻率附近的簡正波解。該方法具有直接、精確、高效的特點(diǎn)，計(jì)算得到的水平波數(shù)和本征函數(shù)與KRAKENC程序計(jì)算結(jié)果吻合較好，兩種方法計(jì)算得到的脈沖波形最大相關(guān)系數(shù)大于0.97。

微擾理論；簡正波；寬帶信號(hào)；脈沖波形

0 引言

簡正波方法在水聲學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。自從Pekeris最早于1948年發(fā)表了關(guān)于簡正波的理論[1]后，簡正波方法取得了長足的發(fā)展。簡正波方法的最初應(yīng)用，就是準(zhǔn)確求解本地簡正波的本征值和本征函數(shù)。除了少數(shù)理想的波導(dǎo)可以得到簡正波的解析解外，大部分實(shí)際應(yīng)用都需要借助現(xiàn)有程序得到簡正波的數(shù)值解。現(xiàn)在得到廣泛應(yīng)用的求解簡正波的程序有KRAKEN[2]，適用于深海環(huán)境的廣義相積分簡正波[3]和適用淺海環(huán)境的波束位移射線簡正波(Beam Displacement Ray Mode，BDRM)[4]方法也可以快速地得到簡正波解。

在考慮寬頻信號(hào)的時(shí)候，比如1/3倍頻程帶寬，上述傳統(tǒng)的程序需要多次重復(fù)計(jì)算簡正波的本征方程，計(jì)算效率低。為此針對(duì)吸收性波導(dǎo)環(huán)境，王寧等[2]提出了哈密頓方法，通過降低本征值搜索維度，一定程度上提高了簡正波的求解速度，并將該方法應(yīng)用到求解寬頻信號(hào)的簡正波[6]。很多學(xué)者提出了間接求解寬頻簡正波的方法。Robert等[7]通過對(duì)本征函數(shù)進(jìn)行分解，在參考頻率的簡正波已知時(shí)，利用蓋勒金方法得到寬帶信號(hào)簡正波的近似解，但是該方法的精度不高。王寧等[8]將本征值問題轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)系統(tǒng)問題，通過矩陣運(yùn)算，直接得到了參考頻率附近頻率的簡正波解。Tindle等[9]針對(duì)海水聲速剖面水平變化的環(huán)境，利用微擾理論直接得到了本地簡正波解。本文提出一種由微擾理論直接得到寬帶信號(hào)簡正波解的方法。

1 微擾簡正波理論

在水平不變波導(dǎo)環(huán)境下，分層介質(zhì)中假定各層內(nèi)的密度是常數(shù)，此時(shí)深度分離的本征值方程[10]

在有限海深環(huán)境下，本征值方程式(1)有無窮多個(gè)離散解。當(dāng)波導(dǎo)環(huán)境不存在吸收時(shí)，本征值和本征函數(shù)都是實(shí)數(shù)，并且本征函數(shù)相互正交，構(gòu)成一個(gè)完備集[11]。當(dāng)海底存在吸收時(shí)，本征值和本征函數(shù)是復(fù)數(shù)，此時(shí)本征函數(shù)滿足不含復(fù)共軛的雙正交歸一性(Bi-orthogonality)[12-13]，即

新的簡正波同樣要滿足本征方程，將新的參數(shù)值代入式(1)中，忽略二階微擾項(xiàng)，化簡后得到本征水平波數(shù)變化量為

2 淺海波導(dǎo)環(huán)境

建立如表1所示的淺海水平不變波導(dǎo)，為了計(jì)算方便，在基底厚度50 m處人為加入真空層。參考簡正波的本征值和本征函數(shù)由KRAKENC方法計(jì)算得到，對(duì)應(yīng)的參考頻率為中心頻率800 Hz。聲場計(jì)算中的簡正波號(hào)數(shù)為30，其中包含25號(hào)波導(dǎo)模式簡正波。在微擾法計(jì)算中使用的簡正波號(hào)數(shù)為40。

表1 淺海波導(dǎo)環(huán)境參數(shù)

2.1 單頻驗(yàn)證

注意到在圖1中，頻率850 Hz時(shí)本征水平波數(shù)的誤差比750 Hz時(shí)的誤差大。主要是因?yàn)殡S著頻率增加，前40號(hào)簡正波內(nèi)正則模式簡正波(波導(dǎo)模式和耗散模式簡正波)[14]數(shù)量也會(huì)增加，增加的簡正波來自于更高號(hào)的耗散模式簡正波。但是微擾法得到的簡正波正則模式和連續(xù)模式數(shù)量不變，所以會(huì)導(dǎo)致高號(hào)簡正波特別是高號(hào)正則模式簡正波的誤差較大。

相反，當(dāng)頻率減小時(shí)，前40號(hào)簡正波內(nèi)正則模式簡正波數(shù)量減少，而微擾法保持了正則模式簡正波的數(shù)量，所以依然能得到相對(duì)較高精度的本地簡正波。因此增加簡正波的號(hào)數(shù)，以及適時(shí)插入本地真實(shí)的簡正波可以提高計(jì)算精度。

圖2給出了在頻率850 Hz下，本文方法與KRAKENC方法計(jì)算得到的第10號(hào)簡正波本征函數(shù)值的對(duì)比。從圖2中看出，微擾法近似結(jié)果與KRAKENC方法計(jì)算得到的結(jié)果吻合很好。

綜上結(jié)果可知，本文提出的微擾法得到的簡正波解與KRAKENC方法直接計(jì)算得到的結(jié)果吻合較好，精度較高。此外，在MATLAB程序中，本文方法計(jì)算一次簡正波的時(shí)間約為0.47 s；而在相同環(huán)境下，KRAKENC方法計(jì)算一次簡正波時(shí)間為57.35 s，是本文方法的100倍，可見本文方法計(jì)算效率很高。

圖1 水平波數(shù)估計(jì)值與KRAKENC方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比，參考頻率800 Hz

圖2 頻率850 Hz下，第10號(hào)簡正波本征函數(shù)值對(duì)比，參考頻率800 Hz

2.2 脈沖波形

從圖3看出，兩種方法結(jié)果吻合很好。根據(jù)波形相關(guān)系數(shù)公式

其中：是由微擾法得到的時(shí)域波形；是由KRAKENC方法計(jì)算得到的時(shí)域波形；T是逆傅里葉變換得到的時(shí)域波形周期。計(jì)算得到兩種方法的波形相關(guān)系數(shù)，顯然結(jié)果是非常精確的。其中本文方法所用時(shí)間為98.16 s，KRAKENC方法計(jì)算結(jié)果所用時(shí)間為6 805 s，是本文方法的70倍。

3 深海環(huán)境驗(yàn)證

建立深海水平不變波導(dǎo)環(huán)境，海水深度為4 000 m，一次實(shí)測的海水聲速剖面如圖4所示。海底參數(shù)如表2所示，為了計(jì)算方便，在基底厚度505 m處人為地加入了真空層。參考中心頻率為100 Hz，聲場計(jì)算中包含了150號(hào)簡正波，用于微擾法計(jì)算的簡正波號(hào)數(shù)為200。

圖4 海水聲速剖面

位于200 m深度的脈沖聲源，中心頻率為100 Hz，帶寬為20 Hz。圖5給出了在距離60 km、接收深度1 000 m處，由本文方法得到的時(shí)域波形與KRAKENC方法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比。從圖5中看出，兩種方法的波形結(jié)果吻合較好，并且兩個(gè)時(shí)域波形的最大互相關(guān)系數(shù)約為0.91。當(dāng)只取峰值到達(dá)附近的波包時(shí)，兩種結(jié)果的波形最大互相關(guān)系數(shù)可以達(dá)到0.972，這樣的精度可以滿足大部分聲場計(jì)算的需求。此外，在深海環(huán)境下，本文一次簡正波計(jì)算時(shí)間為2.4 s，而KRAKENC方法計(jì)算時(shí)間則約為76.4 s，是本文方法的30倍。

表2 深海海底參數(shù)

圖5 接收時(shí)域波形，聲源深度200 m，中心頻率100 Hz，帶寬20 Hz，接收距離60 km，接收深度1 000 m

4 結(jié)論

本文利用微擾理論，提出了一種快速求解寬帶信號(hào)簡正波的方法。本文方法有以下優(yōu)點(diǎn)：

(1) 可以直接得到參考頻率附近簡正波的本征值和本征函數(shù)，適用于深海和淺海波導(dǎo)環(huán)境，應(yīng)用范圍廣；

(2) 計(jì)算速度快，一次簡正波的計(jì)算時(shí)間比KRAKENC方法快30倍以上；

(3) 計(jì)算精度較高，本文方法得到的簡正波水平波數(shù)和本征函數(shù)與KRAKENC方法計(jì)算結(jié)果吻合較好，在淺海環(huán)境下得到的時(shí)域脈沖波形與KRAKENC方法計(jì)算結(jié)果最大相關(guān)系數(shù)為0.99，在深海環(huán)境下，峰值所在的波包最大相關(guān)系數(shù)大于0.97。

[1] PEKERIS C L. Theory of propagation of explosive sound in shallow water[J]. Geol. Soc. Am. Mem, 1948, 27: 1.

[2] PORTER M B. The KRAKEN Normal Mode Program. 2009. http://oalib.hlsresearch.com/Modes/AcousticsToolbox/manualtml/kraken. html.

[3] 張仁和, 何怡, 劉紅. 水平不變海洋聲道中的 WKBZ 簡正波方法[J]. 聲學(xué)學(xué)報(bào), 1994, 19(1): 1-12. ZHANG Renhe, HE Yi, LIU Hong. WKBZ mode approach to sound propagation in horizontally stratified oceans[J]. Acta Acustica, 1994, 19(1): 1-12.

[4] ZHANG Renhe, LI Fenghua. Beam-displacement ray-mode theory of sound propagation in shallow water[J]. Science in China(Series A), 1999, 42(7): 739-749.

[5] WANG N, WANG H Z. A Hamiltonian solver for finding modal eigenvalues[J]. J. Comput. Acoust., 2010, 18(3): 259-266.

[6] WANG Haozhong, WANG Ning, GAO Dazhi. A Hamiltonian method for finding broadband modal eigenvalues[J]. J. Acoust. Soc. Am., 2012, 131(2): 1047-1054.

[7] ROBERT A K, KNOBLES D P. A practical application of the Galerkin method to the broadband calculation of normal modes for underwater acoustics[J]. J. Acoust. Soc. Am., 1995, 98(3): 1682- 1698.

[8] WANG Ning, LIU Jin zhong. New approach to the normal mode method in underwater acoustics[J]. Chinese Physics, 2002, 11(5): 456-460.

[9] TINDLE C T, O’ DRISCOLL L M, HIGHAM C J. Coupled mode perturbation theory of range dependence[J]. J. Acoust. Soc. Am., 2000, 108(1): 76-83.

[10] JENSEN F B, KUPERMAN W A, PORTER M B, et al. Computational ocean acoustics[M]. 2ndedition. New York: Springer, 2011.

[11] WILCOX C H. Sound Propagation in stratified fluids[M]. New York: Springer, 1984, Chaper 2, Section 1: 13-17, Chaper 3, Section 9: 104-116.

[12] FRIEDMAN B. Principles and techniques of applied mathematics [M]. New York: Wiley, 1956: Chapter 4.

[13] WAXLER R. A vertical eigenfunction expansion for the propagation of sound in a downward-refracting atmosphere over a complex impedance plane[J]. J. Acoust. Soc. Am., 2002, 112(6): 2540-2552.

[14] BUCKINGHAM M J, GIDDENS E M. On the acoustic field in a Pekeris waveguide with attenuation in the bottom half-space[J]. J. Acoust. Soc. Am., 2006, 119(1): 123-142.

A fast method for broadband normal mode computation

ZHU Fei-long1,2, LI Feng-hua1, Eric I. Thorsos3

(1. State Key Laboratory of Acoustics, Institute of Acoustics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China;2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China;3. Applied Physics Laboratory, University of Washington WA, 98105, USA)

For the broadband normal mode computation, conventional normal mode numerical code needs to be used repeatedly, which lowers the computational efficient. Viewing the change of frequency as perturbation, a fast method based on perturbation theory is presented in this paper. This method is direct, fast and accurate. Numerical simulations in shallow water and deep ocean are performed, the calculated horizontal wave-numbers and modal eigen-functions by this method agreewell with those obtained by KRAKENC method, and the maximum cross correlation between the impulse waveforms calculated by thetwo methods is greater than 0.97.

perturbation theory; normal mode; broadband signal; impulse waveform

O427

A

1000-3630(2018)-01-0038-05

10.16300/j.cnki.1000-3630.2018.01.007

2017-04-21;

2017-06-19

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11125420)

朱飛龍(1989－), 男, 江西贛州人, 博士研究生, 研究方向?yàn)樗曃锢怼?/p>

李風(fēng)華, E-mail: lfh@mail.ioa.ac.cn