李思：站在物理角度探秘數學理論

本刊記者　汲曉奇

專家簡介：李思，清華大學數學系教授、副主任，丘成桐數學科學中心教授。多年來在數學物理與幾何拓撲的交叉領域展開研究工作。致力于發展與幾何密切相關的量子場論/弦理論的數學基礎，并應用于幾何拓撲的研究中。

在以往的研究中，李思獨立發展和建立了一套量子化的理論與方法，解決了領域中的重要問題和猜想，并于2016年榮獲華人數學家晨興數學獎金獎。在回國的近3年中，李思在清華大學與丘成桐教授、宋偉教授等一起主辦了2016年弦理論大會和2015年弦理論與數學年會等相關領域最重要的年度學術會議，并協辦組織了2016年Thematic Program：Mathematics of Quantum Field Theory（韓國浦項），2015年Homological Methods in Quantum Field Theory（美國紐約）等大型國際學術會議。

時間倒回到2016年8月6日。這一天，第七屆華人數學家大會在北京人民大會堂隆重開幕。開幕式上頒發了被譽為“華人菲爾茲獎”的晨興數學獎。清華大學數學系和丘成桐數學科學中心教授李思榮獲該屆晨興數學獎金獎。

數學物理屬于數學與物理學研究的交叉領域，在中國常常被認為是一個既“冷門”而又“熱鬧”的研究領域，在這個領域，李思埋身已有十幾年的歲月。從一開始不被人看好的研究選擇，到今天，躍為鏡像對稱和弦理論研究領域中最頂尖的年輕數學家，李思說，這個獎項的獲得，帶給他的是滿滿的鼓勵和一往無前的自信。現在，為進一步開拓中國數學物理研究領域，創立具有獨立特色的研究方向，李思和他的團隊還在不斷奮進。

選擇數學物理，始于內心的呼喚

中國科學技術大學（以下簡稱“中科大”）的少年班，是一個非同尋常的高等教育基地。這里既有12歲入科大，32歲成為哈佛大學歷史上最年輕的華人正教授，并榮獲科學突破獎—物理學新視野獎的尹希；15歲入科大，34歲晉升哈佛大學正教授，40歲當選美國科學院院士的莊小威；也有12歲入科大，曾任微軟亞洲研究院院長兼首席科學家、微軟全球副總裁，現任百度總裁的張亞勤……1999年，還在讀高一的15歲少年李思，走進了中科大少年班的大門。

中科大實行的是將本科低年級基礎教育和高年級寬口徑專業教育相結合的先進教學模式。李思說，這種教學模式非常適合自己?！拔覀儽究魄皟赡暝跀祵W和物理兩個基礎學科方面都有強化和系統的學習，這種學習模式對我后來的研究工作是非常有幫助的?！眲側氪髮W的李思一開始只對物理特別感興趣，而對數學并不“感冒”，因此選擇了物理專業，并進入相關的物理實驗室學習。直到大三的時候，從美國普林斯頓大學畢業的胡森教授回到中科大數學系任教?！昂蠋熞陨鷦?、有趣的方式教授了幾何拓撲與現代物理學課程，并指引我們走進神秘、充滿魅力的數學物理領域?！痹诮佑|和了解了數學中的指標定理與物理學中的超對稱量子力學之間的深刻聯系之后，李思對數學物理的興趣便一發不可收拾?！案蠋煂W習一段時間數學物理之后，發現這確實是我很感興趣的研究領域，它將數學和物理中眾多的結構和方法美妙地結合在一起。在中科大碩士畢業后，我打算出國繼續在數學物理領域深造。”李思說道。

2006年，李思進入哈佛大學攻讀博士學位。在讀博士期間，李思圍繞以物理的方法建構數學理論來展開研究，博士論文也以此為研究方向。在博士論文中，李思利用嚴格的量子場論方法研究復幾何空間上的量子規范場論，提出并建立了卡拉比—丘空間上復幾何量子化的數學理論。運用此方法，李思在博士論文中建立了一類拓撲閉弦理論的數學基礎，在領域中首次實現了緊致卡拉比—丘空間上高虧格鏡像對稱的實例。基于在博士論文研究中做出的重大貢獻，李思于2013年獲得了新世界數學獎博士論文金獎。

現在回憶起博士論文研究時，李思坦言其過程中充滿了困難。“我覺得以量子場論方法構建數學理論這個思想很重要，想做這個方面的研究。但是，當時我完全不知道如何將我所了解的物理方法在數學上實現，一開始也沒有任何特別好的思路。那個時候，我咨詢了很多行業專家關于該方向研究的可行性，他們都不建議我繼續做下去，而是建議繞過物理方法猜測數學結果。然而博士論文導師丘成桐教授對我的想法給予了很大支持。因此，我閱讀了大量的物理文獻，并逐漸形成一個初步的構想，覺得自己研究的問題實現的幾率很大。我就堅持自己最初的想法做下去。”憑著這股“執拗”勁兒，李思一頭扎進研究中，并最終取得了自己想要的結果。

2014年，李思辭去美國長期教職回國進入清華大學工作。選擇回國工作，源于一份中國傳統知識分子的家國情懷?！皵祵W物理的研究在國內有一定的基礎，然而與國外最高水平的研究相比，還有一定的差距，尤其體現在思想和觀點上的發展。在國外很多朋友和我聊天時提到，希望等國內研究環境變好了再回國發展。而我一直認為，國內的研究環境有其本身的特點，在一些方面與歐美相比固然有差距，但驅動的主體是人。如果有一大批志同道合的年輕人都愿意回去做一些自己力所能及的事，那整個環境自然是越來越好?！背鲇跒閲覕祵W物理研究領域發展出力的迫切心情，李思加入了清華大學丘成桐數學科學中心。李思說，丘成桐數學科學中心自2009年成立以來就以建成國內外一流研究團隊為目標，運行方式也借鑒國外頂尖科研機構的模式。在李思看來，清華大學丘成桐數學科學中心聚集了一批志同道合的同事，近年來在數學物理方面從哈佛、麻省理工、普林斯頓、哥倫比亞等大學引進了一大批活躍的青年教師，研究內容涵蓋與幾何拓撲，超對稱規范場理論，弦理論和廣義相對論等相關的眾多數學物理和理論物理方向，已經形成了10人左右初具規模的年輕團隊。大家一起努力，為的就是給中國的數學物理研究做一份貢獻。

科研，就是不斷地尋求與探索

一套數學方程通過條理清晰的內在邏輯、自身的美妙以及廣泛應用的潛力，似乎完全能夠反映真正的現實，揭示世間萬物不為人知的真相。而描述物理現象所迫切需要的語言，往往孕育和促發了新的數學分支。幾個世紀以來物理學的重大革命，往往都伴隨著數學研究的突破和發展：力學革命伴隨著微積分的發現；電磁革命促使了纖維叢理論；引力革命將黎曼幾何和廣義相對論完美結合；量子革命促進了線性空間和偏微分方程理論的發展。

近幾十年來理論物理學家提出了利用弦而不是點的觀點來描述基本粒子，稱為弦理論。基于量子場論和弦理論的發展，物理學家通過獨特的無窮維視角，提出了一系列驚人的數學預言，給出數學眾多領域包括拓撲學、代數幾何、微分幾何、表示論、數論等方面匪夷所思的深刻聯系。數學家在一次次驗證這些預言的同時，發現了眾多未知的數學結構，但遠遠無法完整的描述物理學上信息爆炸似的發展。現代數學物理的研究，早已超出了傳統的偏微分數理方程，泛函分析，算子代數以及統計模型等框架，其研究方法帶有很強的哲學性，給現代數學的發展帶來了新的機遇和挑戰。

李思的研究工作正是處于這樣的背景之下，基于量子場論和弦理論方法來理解量子物理中新興的數學結構，致力于發展與幾何密切相關的量子場論和弦理論的數學基礎，并將它運用在幾何拓撲研究中。

鏡像對稱是弦理論帶給現代幾何拓撲的一個重要發現和發展源動力，最早由共形場論中提出，其描述了完全不同的幾何結構上（稱為卡拉比—丘空間）具有相同的弦理論結構。在數學上鏡像對稱揭示了兩個不同領域即辛幾何和復幾何之間的對偶關系。1990年左右，物理學家發現鏡像對稱可以用來解決代數幾何中傳統的計數難題，極大激發了數學家對鏡像對稱的興趣，并成為現代辛幾何與代數幾何發展的主要動力和分支。經典的鏡像對稱建立了辛幾何中的計數問題與復幾何中的?？臻g理論之間的聯系，而量子的鏡像對稱數學理論的構造一直是該領域中的難題。李思在以往的研究中通過規范量子場論的方法，建立了卡拉比—丘空間上復幾何結構的量子化的數學理論，提出了關于量子鏡像對稱的一般性數學描述。該理論的建立正是基于量子場論的數學嚴格化的研究。

數學中通常把不光滑的幾何點稱為奇點，其在物理上有著廣泛的應用。鏡像對稱最早是發展關于奇點的研究，在奇點方面有和卡拉比—丘空間平行的幾何結構。在以往的研究中，量子奇點的鏡像對稱只在很小一類奇點，如簡單性奇點與橢圓性奇點中得以實現，而對于大類的一般性奇點缺乏必要的工具去了解。李思及其研究團隊將其發展的卡拉比—丘空間的量子化方法發展到奇點理論的研究中，在數學物理領域中首次對一般性奇點完整的證明了鏡像對稱，并建立了與卡拉比—丘空間相平行的鏡像對稱理論。

李思發展的量子化方法和奇點理論在2013年美國哥倫比亞大學，2014年日本東京大學、美國密西根大學，2016年德國Oberwolfach數學研究所，2017年美國Simons幾何物理中心舉辦的國際會議上被列為專題討論，李思為此作了系列講座。研究成果陸續發表在J.Eur.Math.Soc,J.Diff.Geom., Adv.Math, Nuclear.Phys等期刊上。另一方面，李思與其合作者把卡拉比—丘空間上的量子化方法推廣到開弦，提出了Chern-Simons理論與復結構的量子耦合機制。李思說，開閉弦的量子耦合理論為研究開閉弦對偶以及導出范疇上的量子結構提供了全新的數學方法，并由此可能發現了解物理中極為重要的AdS/CFT對偶所需要的數學描述。

“物理方法通常會告訴你一個結論，但是數學上對得出結論的物理過程往往不清楚。我所做的研究工作在很大程度上就是想弄明白得出結論背后的原因，并把其中的數學原理呈現出來?！边@是李思在研究中希望解決的問題，這些問題也在他與團隊的努力下不斷被攻克?！跋啾扔谄渌臄祵W研究，這個過程往往需要對物理學有較廣泛的了解，并結合數學和物理兩方面的哲學思考，而這恰恰是數學物理這個領域的魅力。”李思如是說。

李思

展望未來，只為走好腳下的路

大學時期的李思也經歷過“迷茫期”。而很幸運的是，在他迷茫、不知所措的時候，遇上了一位為他指點迷津的人生導師。導師為他指明了科學研究的方向，這對李思來說是非常關鍵的一步?，F在，李思已為人師，他希望自己也如導師一樣在學生迷茫、方向不清之時提供幫助，為學生撥開云霧。

在學生培養上，李思有自己獨特的見解。他會結合自己的經歷，給學生介紹領域內一些有趣的方向，在大的方向下幫助學生找到自己真正感興趣的東西。同時，李思對“走出去”非常重視。他認為學生要多參加國內外每年進行的高水平的研討班和會議，只有這樣才能開闊自己的眼界，豐富自己的專業知識。李思也非常贊成學生定期舉辦討論會，在討論會上相互分享自己感性興趣的東西。這樣才會慢慢形成一個研究思路，對科研工作的展開有很大幫助。

“以人為本，注重個性化發展”“知識性與趣味性并存”“注重鑒賞力的培養”“培養誠實性和對知識的敬畏”，這是李思在近10年的教學生涯中形成的教學理念與實踐。李思希望在自己的教導下，學生有更好的發展。

對未來如何展開研究工作，李思也進行了系列規劃。拓撲弦理論及其對偶是主要研究對象之一，其與幾何拓撲以及表示論有深刻的聯系。李思打算擴展以往在拓撲弦與量子化理論研究中發展的同調方法，并應用于與超對稱規范場論相關的量子問題。在奇點理論方面，李思希望通過鏡像對稱揭示量子奇點與可積系統普遍聯系，并將其與現代的規范場理論及其對偶方法聯系起來。

另一方面，李思將致力于研究規范場/引力對偶，或稱為AdS/CFT對偶。規范場／引力對偶是近代理論物理的重要方法，在弦理論，共形場理論，凝聚態理論以及量子引力等方面扮演了極為重要的角色。相比之下，我們對于這個美妙對偶的數學機制幾乎毫無了解。李思說，他的主要研究思路是在拓撲弦的框架下來構造超引力的拓撲耦合機制，將部分原始的規范場/引力部分與已知的拓撲弦的開閉弦對偶聯系起來，并探索相應可能出現的數學結構。此研究將為填補規范場/引力對偶缺乏數學描述的空白做出努力。

有人說，科研是癡情者的事業。這句話用在李思身上再適合不過。在數學物理這條研究路上，他憑借熱情與癡情走出一條康莊大道來，現在，他還要為中國數學物理的研究開辟出一片新天地而繼續努力。