海嘯條件下潛艇運動的數學建模與仿真

趙冬冬， 張　棟， 吳猛猛

(海軍潛艇學院， 山東 青島　266042)

海嘯是一種具有強大破壞力的海浪，水下地震、火山爆發或水下海底塌陷和滑坡等大地活動都可能引發海嘯。海嘯按照受災地點與海嘯源點距離的遠近，分為越洋海嘯和局地海嘯。

越洋海嘯對中國大陸沿海地區產生的影響很小，但是局地海嘯對我國的影響較大，雖然渤海和黃海爆發局地海嘯的可能性很小，但東海和南海卻具備海嘯產生的條件，歷史上這兩個海域也產生過海嘯[1],那么這就要求開展近場海嘯的危險性分析和海嘯預警等工作，本文依據近場海嘯數值模擬理論和計算模式建立海嘯數學仿真模型,研究海嘯對潛艇運動的影響。

1　海嘯數學仿真模型的建立

1.1　數學模擬的計算方法

由于海洋深度的不規格變化、海島的不均勻分布、海嘯本身的復雜性等不確定性問題，給海嘯的模擬帶來眾多困難。利用傳統的理論方法對海嘯方程進行求解，計算相當繁瑣。

隨著計算機技術的發展，關于海嘯數值模擬的方法也越來越普及。目前求解海嘯數值模擬的方法大多采用有限差分法[2]，也有一些數值計算模型采用有限單元法和有限體積法。

海嘯波浪不同于海面波浪，其波長遠大于其發生地和傳播地的海水深度，因此海嘯波屬于長波范疇，質點運動的垂直加速度相對于重力加速度來說非常小，可以忽略不計[3-4]。基于這些假設，可用非線性淺水方程表示海嘯波的運動：

(1)

(2)

(3)

其中，g是重力加速度，x和y為平面坐標，h是海區深度，t是時間，u和v分別為x和y的分速度，η是自由表面高度，τx/ρD和τy/ρD分別是x和y的底部摩擦力。

底部摩擦力可表示成：

(4)

(5)

其中，D是實際深度(D=h+η)，n為曼寧粗糙系數。M、N分別為X和Y方向的流量關于u和v的表達式如下：

M=u(h+η)=uD

(6)

N=ν(h+η)=νD

(7)

將式(4)～(7)分別代入上式得：

(8)

(9)

(10)

因此可知地震海嘯海區任意一點的水深之后，波浪傳播到此點的速度為

(11)

海嘯在X和Y方向的傳播速度為

(12)

(13)

其中，θ為海嘯傳播方向與x軸的夾角。

1.2　地震初始位移場的確定

首先進行斷層參數的確定，主要有兩種情況：

1)對于已發生的地震海嘯，由于數據較多，且經過大量研究工作者的研究，可以直接引用。

2)如果地震海嘯未發生，可采用日本氣象廳給出的經驗公式[5],見圖1。

logL=0.5P-1.9

(14)

logW=0.5P-2.2

(15)

logQ=0.5P-3.2

(16)

圖1　中心差分斷層參數示意圖

其中，P為地震震級，L為斷層長度，W為斷層寬度，Q為滑動距離。

本文在研究日本地震算例時采用第二種方法來確定地震初始位移場。

1.3　算例分析

2011年3月11日，日本東部海域發生高強度地震，測得地震震級強度里氏9.0級，震源深度10km，距離海岸190km。

首先計算其初始垂直位移場。斷層參數采用經驗公式計算，即式(14)～式(16)，結果為

L=708km,W=354km,Q=20.0km。

需要說明的是本文實際采用的滑移量Q=14.3m是作了修正的，因為采用式(16)計算得到的結果偏大，理由是用此式計算智利海嘯和蘇門答臘海嘯的滑移量，結果偏大[4]。由于缺乏數據，故而只選取智利海嘯和蘇門答臘海嘯來修正此次日本海嘯，采用取平均值的方法，修正過程見表1。

表1　海嘯滑移量計算修正

本文計算采用的距離步長為0.1km，海區深度步長為1m，代入方程編程得出海嘯傳播過程仿真圖，如圖2所示。

圖2　海嘯產生的波浪與離岸距離關系示意圖

通過計算可得，采用本文模型模擬3·11地震海嘯的最大浪高為22.7m，在海區水深205m時達到最大值，因此海嘯從海區水深205m傳播至岸邊時，海嘯產生的浪高度都會達到最大高度22.7m。而在對日本海嘯的實際觀測中，測得海嘯的最大高度24m，與本文模型計算的數值相差1.3m，分析原因有：一是本文采用的海底地形是緩變地形，即海區水深變化緩慢，不存在地形突變現象；二是海區水文條件復雜，而數值模擬相對簡單，因此與實際情況存在一定的差異[6]。

2　潛艇在海嘯波浪中的縱、橫傾

2.1　水面狀態潛艇在海嘯波浪中的橫傾及縱傾

由于潛艇的航速相對于海嘯的傳播速度非常小，因此潛艇的速度可以忽略為零，在這里只考慮最嚴重的情況，即潛艇無航速受海嘯波浪的影響，且海嘯波浪從潛艇的正橫方向傳過來，此時產生的橫傾最大。由于水表面不是靜水面，而是海嘯波浪的波面，其中α表示波傾角。因潛艇的寬度遠小于海嘯所產生的波長，因此可認為船寬范圍內波面是直線。如圖3所示。

圖3　潛艇相對波面橫傾

如圖3所示，潛艇相對于靜水面橫傾θ角，相對于波面則橫傾θ-α角度，此時船所受的扶正力矩可寫成：

M(θ)=-Dh(θ-α)=-Dhθ+Dhα

(17)

再加上慣性力矩的阻尼力矩，按照牛頓第二定律可寫成在規則波上的橫傾微分方程為

(18)

或者

(19)

由于上面分析時相對理想化、簡單化，因此考慮到實際情況引入一個修正因子?eθ。一般可取

?eθ=e-kd/2

(20)

式中,k為波數，d為潛艇的吃水，相當于取二分之一吃水處的次波面來計算波浪的擾動力矩。

式(19)是數學上典型的二階常系數線性非齊次微分方程，它的穩定解為

θ=θαsin(ωt-εθ-α)

(21)

式中：θα為橫傾幅值，εθ-α為橫傾運動與波傾角的相位差。它們的表達式分別為：

(22)

(23)

上式還可改寫為

(24)

海嘯波的波數與海嘯波的波長有關，因此需要求解海嘯的波長。海嘯的波長也是與深度密切相關的，海嘯波是重力波，在深海位置的波長特別長，運動到近岸處，波長變短，頻率變大。在本文中根據優于線性插值更佳的經驗公式：

λ=const1+h2×const2

(25)

其中，const1為基準波長，在深海中取200km-400km，近海岸中取10km-50km，h為海區水深，單位為m，const2為調整系數，本文取1.4×10-5。

如圖4所示，由于潛艇水上狀態縱穩性高較高，因此潛艇遭受海嘯時縱傾變化相對于橫傾來說數值較小。本文在計算潛艇水上縱穩性高時，由于浮心和重心間距離較短，遠遠小于縱穩心與重心間的距離，可以忽略不計，因此本文中將縱穩心半徑作為縱穩心高。

圖4　潛艇浮心、重心及縱穩心高示意圖

圖4中為M點：縱穩心；C點為浮心；g點為重心；R點為縱穩心半徑，即為縱穩心與浮心間的垂向距離。

2.2　水下狀態潛艇在海嘯波浪中的橫傾及縱傾

與研究水面狀態潛艇在海嘯波浪中的橫傾一樣，當處于平衡狀態的水下潛艇遭受海嘯襲擊時，使其產生橫傾和縱傾。由于潛艇在水下狀態時，無論傾角多大，其排水容積和形狀不變，所以水下排水量和對應的水下浮心位置不變。另外認為潛艇在水下傾斜過程中艇上載荷沒有增減和移動，故潛艇水下重量和重心也不變，此時，潛艇的有效水線面積為零，所以水線面積慣性矩為零，即穩定中心半徑為零，也就是說潛艇在水下狀態時，浮心、橫穩定中心和縱穩定中心三點重合。可見，當不考慮液體載荷的自由液面影響時，潛艇水下的縱穩度與橫穩度相等。

如圖5所示，潛艇水下縱、橫穩心高相等，則有

H↓=h↓=Zc↓-Zg↓

(26)

水下扶正力矩應有如下公式：

mθ↓=P↓(Zc↓-Zg↓)sinθ

(27)

MΨ↓=P↓(Zc↓-Zg↓)sinΨ

(28)

當縱傾與橫傾相等時，其扶正力矩也相等。

圖5　潛艇水下相對波面橫傾

水下潛艇橫傾1°，其橫傾力矩如下式：

mθ↓=P↓H↓sin1°=0.0175P↓H↓

(29)

或者

(30)

水下潛艇縱傾1°，其縱傾力矩如下式：

MΨ↓=P↓H↓sin1°=0.0175P↓H↓

(31)

或者：

(32)

這時，只要能求出外力矩即可求得傾角。外力矩的求解由水上橫傾計算公式求得。本章所建立的模型在海洋環境模擬裝置中進行了實驗驗證，得出的實驗結果與計算結果接近，說明所建立的模型較為準確[7]。

本文選取國內外某4型現役潛艇為例(參數如表2所示)，將潛艇性能參數代入模型求得潛艇在海嘯波浪中所產生的橫、縱傾(以日本3·11海嘯為模型)，計算仿真結果如圖6～圖9所示。

表2　國內外某4型現役潛艇參數表

下面針對不同艇型計算其在海嘯波中的傾斜角度。

圖6　某Ⅰ型潛艇不同狀態傾角與離岸距離關系圖

圖7　某Ⅱ型潛艇不同狀態傾角與離岸距離關系圖

圖8　某Ⅲ型潛艇不同狀態傾角與離岸距離關系圖

圖9　某Ⅳ型潛艇不同狀態傾角與離岸距離關系圖

從圖中可以看出，相同條件下Ⅳ型潛艇在遭遇海嘯時其穩性要比其他類型核潛艇好，主要是由于其不論是從艇體尺度還是排水量、穩心高等等，都是較大的。同時，Ⅳ型潛艇水下橫傾要比水上橫傾小，原因除了潛艇水下排水量大之外，還由于潛艇水下穩心高要比水上穩心高大，潛艇的扶正力矩較大。

3　結果分析

通過前面的仿真結果，可以得出以下結論：

1)同一艇型的潛艇，水上橫傾和水下橫傾的數值不同，但是水上橫傾數值和水下橫傾數值哪個大，與艇型有直接關系，除Ⅳ型潛艇水下橫傾值比水上橫傾值小之外其余艇型潛艇，水下橫傾值均比水上橫傾值大，因此，潛艇一旦遭遇海嘯時應盡量在海面進行航行規避。

2)潛艇的橫傾值、縱傾值與潛艇的基本性能參數有關，其角度大小取決于排水量、穩心高等，不同艇型的潛艇，隨著排水量的增大以及穩心高的增大，其最大橫傾值和縱傾值不斷減小。

3)潛艇在水面狀態主要是考慮橫傾，但是在水下狀態的失穩主要來自縱穩性，尤其是潛艇縱向較長，載荷移動力臂大，因此移動不大的載荷都有可能造成可觀的縱傾力矩，因此潛艇在水下應將活動物品固定牢靠，防止額外力矩增大潛艇水下縱傾。

4)通過以上示意圖可以看出，不同艇型在同一海嘯中所產生的橫傾也不同，與潛艇的性能參數有關。同時也可以看出當潛艇遭遇海嘯時，距離海岸越遠所產生的橫傾越小，潛艇不易察覺，但是近岸所產生的橫傾較大，且隨著海區水深的急劇減小而驟然增大，因此潛艇在海上一旦遇到海嘯，應采取遠離近岸航行的措施應對。

5)通過以上示意圖的潛艇水上縱傾曲線可以看出，遭受海嘯時潛艇水上縱傾變化不大，最大值為9.2°，相對于橫傾30°、40°以上，縱傾角度非常小，同時隨著潛艇排水量的增加、縱穩心高的增大等，潛艇的水上縱傾角會變小。

6)潛艇在近岸水下航行時，當潛艇橫傾瞬間增大，潛艇瞬間偏離主航向，難以恢復航向時，如若查明潛艇本身機械一切正常，即可認為潛艇水下遭遇巨大波浪，有可能遭遇海嘯，此時應當盡量增速，改變潛艇的航向，使之頂浪航行，并且注水，以穩住潛艇，只要條件允許盡快向遠海處航行。

4　結束語

研究地震海嘯對潛艇的影響，需要我們精確模擬地震海嘯從震源至岸邊的整個傳播過程，但是地震海嘯受海底地形、海洋環境等的影響較大，本文建立的仿真數學模型經日本“311”地震海嘯檢驗與實際監測數據基本吻合，但是仍然需要加強對地震海嘯的模擬。

此外，研究地震海嘯對潛艇的影響是為后面研究制定潛艇應對措施奠定基礎的，因此研究潛艇應對地震海嘯的措施是后續要進行的主要工作。

參考文獻:

[1]王培濤，高義，于福江，等.基于數值模擬的渤海海域地震海嘯危險性定量化研究[J].海洋學報,2014,36(1):56-64.

[2]姚遠，蔡樹群，王盛安，等.海嘯波數值模擬的研究現狀[J].海洋科學進展,2007,25(4):488-494.

[3]Meteorology and Hydrology Center,PLA Headquarters of General Staff . Focus on t sunamis[M].Beijing:Military Science PublishingHouse, 2005:5-28.

[4]任葉飛.基于數值模擬的我國地震海嘯危險性分析研究[D].哈爾濱:中國地震局工程力學研究所,2007.

[5]付慶軍.越洋和局地海嘯數值模擬的理論研究及其應用[D].天津:天津大學,2006.

[6]潘文亮，王盛安，孫璐，等.2010年智利和2011年日本海嘯在華南沿岸的實測海嘯波形和特征[J].熱帶海洋學報,2014,33(6):17-23.

[7]劉常波，張棟，等.潛艇海上應對地震海嘯有關問題研究[R].青島:海軍潛艇學院,2012.