導數在高中數學中的應用及思維方法

鄭州市第七中學 河南鄭州 450000

導數是高中數學知識體系中較為重要的一個部分，其不僅在高考數學中占有一定的比重，而且與其它學科之間也有著不同程度的聯系，這就需要我們高中生在學習導數的過程中構建更完善的數學思維體系，并通過科學的數學思維方法，將導數知識應用于不同類型的題目當中。

1 導數概述

導數指的是一種量的變化趨勢。在數學函數中，它意味著函數值的變化趨勢；在幾何曲線中，它代表著曲線的走勢。導數的應用與微分等相關知識點有著一定的聯系，在使用微分的過程中，結合極限思想即得到了導數這一數學解題方法。導數在生活中的應用范圍較為廣泛，尤其是在經典力學和幾何學的研究當中，導數起到了至關重要的作用[1]。

2 導數在高中數學中的應用及思維方法

關于導數的應用，其最為重要的就是如何求對應函數的導函數，其中涉及到函數的連續性、可導性等相關知識點，也就是導數知識點的綜合應用。

2.1 導數與不等式的證明問題

解析：根據題目中的已知條件以及所求問題，我們可以看出，題目的關鍵在于求時函數的最大值為1，且在上函數為單調遞減函數。所以，我們需要對函數的單調性進行證明，然后在判斷其在定義范圍內的最值。

2.2 關于導數與切線方程的數學思維方法

對于一些較為簡單的求函數切線方程的問題，我們可以通過求函數在對應點的導數，從而獲取切線的斜率，再由點斜式求出該點的切線方程。然而，針對一些較為特殊的題目，我們則需要靈活應用數學思維方法，實現快速解題[2]。

解析：從題目中給出的已知條件我們可以看出，點A并不在函數上，因此，該題目并不是求函數上某一點的切線方程，而是求過函數外一點的函數切線方程，因此，所使用的數學思維方法也就存在著一定的差異性。這里，我們需要使用假設法，過函數上一點的切線方程，經過點A，則可以利用導函數與切線斜率之間的關系進行求解。

對應的函數曲線如下所示：

圖1 中過點的切線方程示意圖

2.3 導數在生活中的實際應用

數學是一門生活化的學科，我們可以利用導數相關知識解決一些生活中的問題，這對于我們高中生的學習有著較為積極的影響。

例3一個邊長為0.6米的正方形貼片，如果要將其做成一個無蓋的鐵皮箱，試問如何才能夠獲得最大的容積？

解析：該題目只需要我們列出對應的容積方程，然后通過求導的方式獲得其最大值。

圖2 鐵皮箱的邊長選擇示意圖

3 結語

在導數相關題目的解題過程中，我們需要注意的是，不同類型的題目所適用的方法存在著一定的差別，尤其是對于一些涉及到多個相關知識點的綜合應用題目，除了采用導數基礎理論知識以外，我們還需要使用其它數學相關知識，如數形結合等。