淺析高中不同種類的數(shù)列問(wèn)題及解決辦法

秦君涵

合肥市第八中學(xué) 安徽合肥 230000

數(shù)列是按照一定規(guī)律和順序排列的一組元素，在高中數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)中，數(shù)列問(wèn)題作為高中代數(shù)知識(shí)的一個(gè)分支，在考試中占有較為重要的位置。可以說(shuō)在高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列問(wèn)題大部分都不是十分復(fù)雜，考查的方式基本上也是與其它題目融合在一起的，雖然高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列知識(shí)相對(duì)于其它的數(shù)學(xué)知識(shí)而言更易于理解，也很好掌握，但通過(guò)閱讀和研究數(shù)列相關(guān)的習(xí)題可以使我們了解到，大部分紛繁復(fù)雜的數(shù)列習(xí)題的題目種類大大地提高了數(shù)列問(wèn)題在考試中的難度，所以要想充分并全面地掌握解決數(shù)列問(wèn)題的方法和技巧，熟練解決數(shù)列相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵就在于正確地對(duì)不同的問(wèn)題種類進(jìn)行分類，并逐一找出統(tǒng)一的解法。本文將淺析高中數(shù)列問(wèn)題的幾個(gè)板塊，并給出相應(yīng)的解決方法。

1 高中數(shù)學(xué)中涉及到的基本數(shù)列知識(shí)

通過(guò)學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，我們可以歸納總結(jié)出，高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列知識(shí)主要涉及到的內(nèi)容有兩方面，一方面是等比數(shù)列，另一方面是等差數(shù)列。無(wú)論是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，在考試和考查的過(guò)程中，主要的知識(shí)考查點(diǎn)就是圍繞著數(shù)列的求和，求數(shù)列的通項(xiàng)式或者是求數(shù)列的等差和等比等[1]。我們?cè)诔浞至私鈹?shù)列要考查的知識(shí)內(nèi)容以后，接下來(lái)要做的就是對(duì)要求的數(shù)列進(jìn)行歸納、分類和總結(jié)。

2 高中數(shù)學(xué)課程中所學(xué)數(shù)列的基本分類

通過(guò)對(duì)高中數(shù)學(xué)課程的歸納和總結(jié)，并對(duì)所涉及到的習(xí)題進(jìn)行收集整理，高中數(shù)學(xué)課程中的數(shù)列問(wèn)題，大致可以分為以下幾種：第一種是簡(jiǎn)單的等差與等比數(shù)列問(wèn)題，這一類問(wèn)題主要考查的就是高中生對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念和所涉及的最基礎(chǔ)知識(shí)的理解，考查的知識(shí)點(diǎn)也是圍繞著等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和所展開(kāi)的。等差數(shù)列所用到的公式主要是；等比數(shù)列所用到的公式主要是；第二種是求數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題，這一部分相對(duì)而言比較難，并且出現(xiàn)考試題目的概率也是很大的，因?yàn)楦咧姓n程中數(shù)列的主要內(nèi)容就是圍繞著等差數(shù)列和等比數(shù)列開(kāi)展的，所以這類問(wèn)題所要用到的知識(shí)點(diǎn)和公式是等差數(shù)列的通項(xiàng)式公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)式公式[1]。在高中數(shù)列知識(shí)的教學(xué)與考試考查當(dāng)中，學(xué)生所應(yīng)用的公式大致上就是以上四個(gè)公式。基本上，所有考試考查的習(xí)題都需要應(yīng)用到上述四個(gè)公式，所以牢記并掌握以上四個(gè)公式的用法是極其重要的。

3 解決數(shù)列問(wèn)題的具體方法應(yīng)用

我們通過(guò)討論和研究會(huì)發(fā)現(xiàn)解決高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)列問(wèn)題，所用到的方式和方法有很多，比如數(shù)列問(wèn)題分為求通項(xiàng)和求和兩種類型，求通項(xiàng)問(wèn)題有兩式相減法、換元法、配湊法等，求和問(wèn)題有整體換元法、分組求和法和裂項(xiàng)相消型法等，而學(xué)生所掌握的方式方法是解決數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵，也是解決數(shù)列問(wèn)題最有效的途徑[2]。如何做到使用正確的解題方法來(lái)解決問(wèn)題是我們討論此問(wèn)題的關(guān)鍵所在。

比如，兩式相減法，其也叫作錯(cuò)位相減法，是將遞推公式分別以n和n+1形式呈現(xiàn)出來(lái)，然后將兩個(gè)式子相減，最終得到一個(gè)新的更好的式子，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)遞推公式處理的方法[2]。

比如，分組求和法是常見(jiàn)的一種數(shù)列求和的方法，顧名思義分組求和法是將原有的數(shù)列拆分為2個(gè)或者是多個(gè)數(shù)列，然后對(duì)拆分后的數(shù)列一一進(jìn)行求和，最后將所有的求和結(jié)果進(jìn)行合并，從而求出原有數(shù)列的前n項(xiàng)和。下面我們舉一個(gè)例子，看如何使用分組求和法來(lái)進(jìn)行解題。

例如，換元法

換元法可以將數(shù)列遞推中的部分式子作為整體，令其為新的數(shù)列，以化簡(jiǎn)問(wèn)題的方法。如2(n+1)an+1=4nan+3，我們令bn=nan，則 2bn+1=4bn+3，2(bn+1+3/2)=4(bn+3/2)

再令cn=bn+3/2，得到2cn+1=cn，以此達(dá)到簡(jiǎn)化數(shù)列的目的。

例如，配湊法

配湊法是指將遞推中難以利用的部分，進(jìn)行相互搭配，以化簡(jiǎn)遞推的方法。如an+1=5an-6an-1-4，進(jìn)行配湊an+1+λ=5(an+λ)-6(an-1+λ)→ 5λ-6λ-λ=4，解 得 λ=2，所 以(an+1+2)=5(an+2)-6(an-1+2)，由此將無(wú)法利用的項(xiàng)配入遞推中。

例如，列項(xiàng)消元法，又叫做裂項(xiàng)消減法，它的具體做法是通過(guò)對(duì)列項(xiàng)的合理拆分，達(dá)到消元的目的。在具體的數(shù)列題目中，如果每一項(xiàng)都能夠拆分為兩項(xiàng)之差，且前一項(xiàng)與后一項(xiàng)恰好能夠抵消掉，這就滿足了裂項(xiàng)消元法的基本條件和計(jì)算過(guò)程。通過(guò)裂項(xiàng)消元法這一系列的應(yīng)用和化簡(jiǎn)，最終會(huì)消減掉數(shù)列中的很多項(xiàng)，最理想的狀態(tài)就是只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，數(shù)列中其余的項(xiàng)都被一一抵消掉了。裂項(xiàng)消元法的中心思想就是將數(shù)列中的通項(xiàng)進(jìn)行簡(jiǎn)化和消除，最終達(dá)到求和的目的。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的利用裂項(xiàng)消元法的例題。

例題3：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=（2n-1）/3n，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

解題：利用裂項(xiàng)消元法

4 結(jié)語(yǔ)

在日常特殊的數(shù)列求和過(guò)程中學(xué)生往往可以采用幾種方法去解決問(wèn)題，但是哪一種是解決問(wèn)題最好的或者是最有效的方法，在應(yīng)用時(shí)可以選擇簡(jiǎn)易的或熟練的方法來(lái)解決問(wèn)題，這就需要學(xué)生通過(guò)大量的習(xí)題練習(xí)和分析才能作出更好的選擇。本文在論述的過(guò)程中所提出的幾種解決特殊數(shù)列求和的思路和方法是較為常見(jiàn)的數(shù)列求和的解題思路。本文論述和討論的目的在于拋磚引玉，引導(dǎo)高中生在解題的過(guò)程中尋找正確的解題思路，并且加以熟練掌握和應(yīng)用，強(qiáng)化對(duì)上述方法的理解。若想對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)有個(gè)內(nèi)化的過(guò)程，那么高中生就應(yīng)該不斷地練習(xí)，深刻的領(lǐng)悟，從而提高自身的數(shù)學(xué)邏輯思維和計(jì)算運(yùn)算能力，提升數(shù)學(xué)的解題思路、解題效率和準(zhǔn)確率。