淺談高中數學數列

程奕博

鄲城縣第一高級中學 河南周口 466000

在高中階段的數學知識學習中，除了基礎知識體系的不斷完善以外，還需要我們高中生能夠在實際解題過程中應用所學的知識，提高解題效率[1]。對于數列部分的內容，其基本類型就只有等差數列和等比數列兩種形式，然而，通過不同的組合，題目中的數列類型則可以千變萬化，如此則增加了數列此類題目的解題難度。因此，在日常的學習過程中，我們高中生應當注意對數列解題方法的積累，從而提高自己對不同數列題目的適應性。

1 倒序相加法在數列解題中的應用

例1 在已知數列{an}中，該數列為公差為d的等差數列，則證明該數列的前n項和公式Sn=(n（a1+an）)/2是否成立？

解析：在該題目中，對于已經給出的等差數列{an}來說，我們能夠直接利用公式法求出其前n項和公式，如果采用這一方法，則該題目的證明則可以變為：

Sn=n（a1+an）/2=n（a1+a1+（n-1）d）/2=na1+n（n-1）/2d

這里，我們還可以使用倒序相加法，該方法能夠使整個證明過程更加直觀、簡單。

解：已知等差數列前n項和公式的表達式如下：

Sn=a1+a2+···+an①

利用倒序相加法，可以將其變形為Sn=an+an-1+···+a1②

圖4所示為氯氣物質的量分數為0.02%的氮氣體系中氯氣的吸附穿透曲線（吸附壓力為0.3 MPa，氮氣流量為25 mL/min，室溫）。分析可知，兩種活性炭基脫氯劑均具備微量氯深度凈化性能，均能將氯含量脫除至物質的量分數小于0.00002%。但相比而言，CT-01I具備更優的微量氯深度凈化性能，其氯穿透時間為61.3 min，遠優于AC-101的44.6 min。

如此，則① + ②得：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+···+（an+a1）

根據等差數列首尾項關系可以得出a1+an=a2+an-1=···，因此，2Sn=n（a1+an）

即：Sn=n（a1+an）/2。

2 錯位相減法在數列中的應用

在數列相關解題方法中，以錯位相減法的特征最為明顯，通過已知條件中的相關內容分析，就能夠發現其能夠適用錯位相減法。

例2 對于數列{an}為公差為d的等差數列，數列{an}的前n項和為Sn，而數列{bn}為公比為q的等比數列，其中，數列{an}的首項a1=2，數列{bn}的首項b1=2，且a4+b4=27，S4=10+b4。求兩個數列的通項公式，并求證Fn+12=-2an+10bn（Fn=anb1+an-1b2+···+a1bn，n ∈ N^*）。

解析：在該題目中，已知數列{an}是公差為d的等差數列，數列{bn}是公比為q的等比數列，通過聯立方程組的方式，能夠得到以下方程組：

解方程組可得：d=3，q=2。

由于已知數列{an}與數列{bn}的首項均為2，則數列{an}與數列{bn}的通項公式如下：

an=3n-1，n∈N^*

bn=2^n，n∈N^*

對于該證明部分，已經求得bn=2n，n∈N*，將其代入Fn=anb1+an-1b2+···+a1bn可以將其轉換為 Fn=2an+22an-1+···+2na1①

且 2Fn=22+23an-1+···+2n+1a1②

則利用錯位相減法，可以得以下結果：

Fn=-2an+22（an-an-1）+23（an-1-an-2）+···+2n（a2-a1）+2a1bn

變形后可得：

Fn=-2an+4bn+3（22+23+···+2n）=-2an+4bn+6bn-12=-2an+10bn-12

3 分組求和法在高中數列中的應用

在數列題目中，分組求和法主要適用于能夠將題目中所求數列分解成為等差數列與等比數列來分別求和的方法，因此，這對于我們高中生的轉換能力有著一定的要求。

例3某數列{an}的通項公式an=1/an-1+3n-2，(a≠0)，試求該數列的前n項和。

解析：從題目中我們能夠直接看出該數列的通項公式為等比數列與等差數列的組合形式，因此，在計算其前n項和的過程中，可以將其轉換為分別求等比數列前n項和與等差數列前n項和的形式。

即 Sn=（1+1/a1+···+1/an-1）+[1+4+···+（3n-2）]

這里需要對其進行分組討論：

（1）當a=1時

Sn=（3n+1）n/2

（2）當a≠1時

Sn=（3n-1）n/2+(a-a1-n)/(a-1)

4 結語

在高中數列知識的學習過程中，僅僅掌握基本的數列基礎知識是遠遠不夠的，我們高中生應當通過大量的數列題目進行練習，了解更多的數列解題方法，以適應不同的數列變式。并且，對于同一數列類型，采用的解題方法也并不具有唯一性，多元化的解題方式也是提升我們高中生數列解題能力的重要手段。