例談?wù)w思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

齊齊哈爾恒昌中學(xué) 黑龍江齊齊哈爾 161000

在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時(shí)，解題能力是關(guān)鍵，為了有效解題，所以高中生必須重視解題思路。畢竟在課堂中教師不能講解每一道題，這要求學(xué)生必須舉一反三，活學(xué)活用，充分掌握數(shù)學(xué)公理、概念、定義等。整體思想是一種能夠有效提高學(xué)生解題效率的數(shù)學(xué)思想，也是目前高中生必須具備的思想?；诖?，舉例分析整體思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用具有十分現(xiàn)實(shí)的意義[1-2]。

1 整體思想在數(shù)學(xué)解題中的意義

所謂整體思想，指的是在數(shù)學(xué)習(xí)題解析過程中，暫時(shí)忽略較為模糊的細(xì)節(jié)問題，著眼于整體，最終得出想要的結(jié)論。整體思想是一種靈活、簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)解題思想，如果高中生能夠掌握這種方法，則能將數(shù)學(xué)難題簡(jiǎn)單化，提高解題的效率。整體思想實(shí)際上是將問題視角放大，通過判斷問題的整體形式、結(jié)構(gòu)，將題目中的條件等因素看作是一個(gè)整體，進(jìn)而讓解題過程更加清晰，同時(shí)也讓解題者思路更開闊。

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，整體思想的運(yùn)用不僅省事省力，能夠讓問題變得清晰明了，而且還能將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單處理，使高中生在大視角下看待問題，有效處理問題中各個(gè)條件、結(jié)構(gòu)的關(guān)系，消除了高中生的固有思維定式[3]。

2 形成數(shù)學(xué)整體思維，不過分在意細(xì)節(jié)問題

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，題目有時(shí)候并非只是單純考察一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，在遇到此類問題時(shí)高中生需要全面整合新舊知識(shí)進(jìn)行解題。例如，解答高中代數(shù)習(xí)題時(shí)，我們常常會(huì)遇到一些看似條件不足的題目，但是在解題過程中運(yùn)用整體思想，換一個(gè)思路，就會(huì)思如泉涌，快速找到解題的切入點(diǎn)。在數(shù)學(xué)解題練習(xí)的過程中，我們應(yīng)該有意識(shí)地提高整體意識(shí)，不要糾結(jié)于題目中某一個(gè)條件，而要從整體出發(fā)，靈活運(yùn)用各種定理、知識(shí)[4]。在三角函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，我們都能夠熟悉運(yùn)用30度角、45度角、60度角等常用三角函數(shù)值，但是對(duì)于一些不常見的角度三角函數(shù)值來說，我們就很難記住。這就要求我們從整體角度出發(fā)，熟練應(yīng)用熟知的三角函數(shù)值以及三角函數(shù)的相關(guān)定理。例如：tan25°+tan20°+tan25°tan20°=？無論是25°還是20°，這些都不是常見的三角函數(shù)，不能直接套用得出函數(shù)值，如果按照常規(guī)計(jì)算方式，計(jì)算難度極大，也很難得到正確的答案。而將其看成一個(gè)整體時(shí)，就可以將問題簡(jiǎn)化，即將20°與25°當(dāng)作是45°角分出來的兩個(gè)小角，繼而轉(zhuǎn)化為tan45°=tan（20°+25°）=1；繼續(xù)拆分可得（tan25°+tan20°）/（1-tan25°tan20°）=1，即算式最終結(jié)果為1。

3 整體思想在函數(shù)奇偶性判斷及求值問題中的應(yīng)用

很多高中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，形成了固定的思維方式，并在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)理論知識(shí)后，通過大量的練習(xí)來鞏固知識(shí)。但是這種傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)觀念已經(jīng)不能適應(yīng)教育的改革要求。這就需要學(xué)生不斷改善學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)習(xí)效率與質(zhì)量，保證解題效率與精準(zhǔn)度。學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中也要注重整體思想的運(yùn)用，在腦海中形成數(shù)學(xué)知識(shí)的整體框架，在框架中梳理小的知識(shí)點(diǎn)[5]。

其中，關(guān)于函數(shù)奇偶性證明以及求值問題解答中，這種整體思想具體體現(xiàn)在解答整體換元類問題。

例如：已知 f（x）對(duì)一切 x，y 都有 f（x+y）=f（x）+f（y）

1.求證：f（x）是奇函數(shù)；

2.若 f（-3）=a，求 f（12）。

1.證明：

f(x)=f[(x+y)-y]

=f(x+y)+f(-y)

=f(x)+f(y)+f(-y)，

所以f(y)+f(-y)=0，

所以f(y)=-f(-y)，

f(x)=-f(-x)，

所以f（x）是奇函數(shù)。

2.解：

f(12)

=f(6)+f(6)=f(3)+f(3)+f(3)+f(3)

=4f(3)

=-4f(-3)

=-4a

再如，函數(shù) f（x）、g（x）定義域都為（- ∞，-1）∪（-1，1）∪（1，∞），其中 f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且 f（x）+g（x）=1/（x-1），求 f（x）和 g（x）。

解：用 -x 代換 f（x）+g（x）=1/（x-1）中的 x ①

得 f（-x）+g（-x）=1/（-x-1）②

∵f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，

∴②可化為 f（x）-g（x）

=1/（-x-1）③

①+③得2f（x）

=1/（x-1）+1/（-x-1）

=2x/（x2-1)

∴ f（x）=x/（x2-1)

③得 g（x）=1/（x2-1)。

4 整體思想在函數(shù)零點(diǎn)求解問題中的運(yùn)用

函數(shù)零點(diǎn)問題是高中函數(shù)問題的重要分支，學(xué)生在處理這類問題時(shí)基本都運(yùn)用零點(diǎn)分布定理，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想加以解決。這種處理方式是解題的通用之法，但是很多題目求解十分繁瑣，此時(shí)學(xué)生需要借助于整體思想，簡(jiǎn)化解題過程，提高解題效率。

例如：求函數(shù)f(x)=2x3-x-1零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

分析：采用常規(guī)的數(shù)形結(jié)合方式，零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是求f(x)=0的解的個(gè)數(shù)，也就求是2x3-x-1=0的解的個(gè)數(shù)，即函數(shù)f(x)=2x3和函數(shù)g(x)=x+1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

畫圖可以看出，兩個(gè)函數(shù)都是單增函數(shù)，并且g(x)在第三象限恒大于f(x) ，因此兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1個(gè)。

而如果采用整體思想，f(x)=(x-1)(2x2+2x+1)

x-1=0或者2x2+2x+1=0

后面的式子△＜0無解，

所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，也就是(1，0)。

可以看出，利用整體思想，進(jìn)行因式分解，過程將變得更加簡(jiǎn)單。

再如：若函數(shù)y=x2+(m+2)x+5-m有2個(gè)大于2的零點(diǎn)，則m的取值范圍？

解：有2個(gè)大于2的零點(diǎn)，即方程x2+(m+2)x+5-m=0有兩個(gè)大于2的根。

判別式Δ=(m+2)2-4(5-m)=m2+8m-16=(m+4)2-32＞0

5 結(jié)語

本文分析了整體思想的含義及其在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，同時(shí)通過實(shí)際例題，詳細(xì)分析了整體思想在函數(shù)零點(diǎn)問題、三角函數(shù)、函數(shù)奇偶性等問題解析過程中的應(yīng)用。