促進《數學分析》習題課高效教學的探討

【摘 要】數學分析習題課是數學分析課程教學的重要組成部分，它既能加強對概念更深層次的理解，也能靈活的將數分課程中所涵蓋的概念、定理及性質來進一步解決數學中的問題。習題課作為一種重要的教學補償手段，在相對抽象、復雜、計算技巧多元化的數學分析課程中尤為重要。

【關鍵詞】數學分析；數學概念；數學技能

中圖分類號： G642；O17-4 文獻標識碼： A 文章編號：2095-2457（2018）03-0060-002

Discussion of promoting the efficient teaching of mathematical analysis exercise class

LIAO Chun-yan

（Department of Mathematics， School of Science， Hunan University of Science and Technology， Yongzhou 425199， China）

【Abstract】Mathematical analysis exercises class is an important part of mathematical analysis teaching.It can not only strengthen the understanding of concepts but also flexibly apply the concepts ， theorems，and properties involved in the the curriculum to solve the mathematical problems.As an important teaching compensation means ，exercises class is particularly important in the mathematical analysis ，which is relatively abstract，complex，diversified computing skills.

【Key words】Mathematical Analysis； Mathematical Concepts； Mathematical Skills

數學家王梓坤院士曾說：“對于數學，練習尤其重要。通過練習，不僅可以增加知識，更重要的是，可以培養我們解決問題的能力。不做足夠多而且有一定難度的練習題，是不可能學好數學的”。

數學分析課程的特點是邏輯性強，抽象，內容深刻、細致；在課堂上能聽懂，能看得懂，但是一旦做題卻無從下手[1]。這是因為數學分析中的計算技巧性非常強，只了解該課程中的基本的理論和方法，不掌握相應的計算技巧，是很難順利解決問題的。論證訓練是數學分析課程中最基本的，也是最應重視的內容之一，也是最難的內容之一。習題課作為一種重要的教學補償手段，在數學分析課程中尤其重要。

習題課可以有多種多樣的開展方式，但是真正上好習題并不是一件容易的事情，如果不認真安排，不合理設計，就達不到預期的效果。上好一節習題課，并不是單純的多講解幾道習題，而是要教會學生如何更加深刻的理解書上的概念和知識，并且靈活的應用書上的知識解決問題，同時能夠把握知識點之間的聯系，從而更高層次的理解數學分析中的概念、定理。

1 精選習題，增進數學分析概念的理解，滲透數學思想教育

數學分析中的概念很抽象，比如一致連續和連續的概念，一致收斂和收斂的概念，第一型曲線積分及第二型曲線積分的概念等等，僅僅從概念的字面意思上我們是很難區分兩個概念之間的區別，所以我們在課堂上不僅要選擇合適的例題，在習題課中需注重加深這類鄰近概念的區別理解。針對學生掌握知識能力的實際，對于學生容易混淆的概念，計算時容易出錯之處，都應該適時適當的在習題課中安排，給予充分體現。

例如求曲面積分 （x +y +z ）dσ，其中S為球面x2+y2+z2=a2（a>0），我們在求解該曲面積分的時候很自然的將x2+y2+z2=a2代入積分式子，有

（x2+y2+z2）dσ= a2dσ=a2 dσ=4πa ，

但是如果換成求積分 （x2+y2+z2）dv時，其中Ω為x2+y2+z2=a2（a>0）所圍成的閉區域，很多同學在做此題的過程中，也將x2+y2+z2=a2代入上面的式子，得

（x2+y2+z2）dv= a2dv= πa6

而造成錯誤。導致錯誤的根本原因就是學生對兩類曲面積分的概念和三重積分的概念了解的不是很透徹，造成做題的錯誤。實際上曲面積分是對面積的積分，自然可以將x2+y2+z2=a2（a>0）代入被積函數，而三重積分是對該曲面所圍成的區域求積分，也就是球面x2+y2+z2=a2（a>0）所圍成的整個球體內部，自然不能簡單的將球面方程代入。所以在習題課中，我們應根據這些容易混淆，容易出錯，概念不容易區分的地方，通過習題課加強概念的理解，通過對比強化概念的理解。

2 注重習題的多變、開放與創新

習題課可以加深對所學概念的理解，培養學生準確概括的思維能力。所以在習題課中，任課教師應該認真對待選題工作，做到新穎靈活、多變開放、鼓勵學生打破常規銳意創新，使學生在多元的練習題中，提高思維的靈活性及創造性。也可以加強學生一題多解，一題多變的訓練。

例如求不定積分？蘩 dx，我們慣常的做法是用第二類換元法，令x=2sint，但是事實上這道題目卻有近十種的解題思路，例如令t= ，或者將原式化成？蘩 dx，再令x= 進行求解，在課堂上我們是無法做到將全部的方法進行講解，這就要求在習題課中，老師應該盡量鼓勵學生發散思維，從多角度進行思考，培養學生解決問題的能力。

在數學分析中，很多題目只要稍微改變了下條件，做題的方式完全不同。例如求三重積分？蘩？蘩？蘩Ωzdxdydz，其中Ω是由z=x2+y2和z=1所圍成的閉區域。這道題目常用“截面法”或“投影法”去做，學生往往只選擇其中一種方法進行求解，求解出來了就不管了，老師應該鼓勵學生同時用兩種方法去求。在求解的過程中學生不難發現用截面法去求解更加容易，老師進一步鼓勵學生總結為什么這道題目用“截面法”來做更加容易呢？學生在做題的過程中不難發現當被積函數僅僅是關于z的函數，且截面積D（z）容易求解的時候用“截面法”更加容易。同時們也可以改換一下被積函數，將其換成？蘩？蘩？蘩Ωxdxdydz，還是用“截面法”嗎？引導學生回顧三重積分的性質，我們發現被奇函數僅僅是關于的函數，而其積分區域關于平面yoz對稱，很快得出其結論？蘩？蘩？蘩Ωxdxdydz=0，這樣極大的簡化了我們的運算。

在習題課中，讓學生對知識進行系統的概括，體會以及靈活應用。所選習題針對所學的內容改其一點，或者有步驟的改多個知識點，對重點深入研討，以求得到新的結果。

3 注重數學技能的培養

什么是數學技能？數學技能就是解題問題的能力，不僅能解決一般的問題，而且能解決需要某種程度的獨立思考、判斷力和想象力的問題。在數學分析課程中，學生的普遍的感受是難及抽象，似乎能理解，又似乎不知道從哪里下手做題。很多教師經過多年的教學，內容熟悉了，題目見得多，做的多，自然而然一看就會。這也導致很多教師在教學中忽略了對數學技能的研究，缺乏對學生適當的引導。如果教師本身講究解題策略，卻不能很好的引導學生如何去解題，學生也未必能有廣闊的思路，快速解決問題。教師的作用在于善于引導學生，啟發學生，學生和老師的共同配合，才能達到更加理想化的解題思路，主動思考，發現問題，提出疑問，解決問題，從而提升自己的解題能力。

例如在講授高斯公式的應用中，計算 zdxdy，其中∑為上半球面x2+y2+z2=1，高斯公式需要封閉的曲面，如果滿足不了封閉性，怎么辦？補一個曲面z=0，補了之后怎么辦呢？借了要還，將借的曲面減去即可，有

zdxdy= zdxdy- zdxdy= πa3。

4 充分了解學生實際，優化教學模式

現今，像我校這類地方性本科院校，生源總體水平下降，數學專業的很多學生都是調劑過來，還有很多職高對口的學生，學生之間差異較大，而教師相對不足，數學分析課程教學難度大，教學課時多，面對這種情況，如何保證數學分析課程的教學質量是我們目前急需解決的難題。為此，我們可以通過一段時間的教學，充分了解學生的實際，針對不同的學生的學習情況，及對專業知識掌握的程度，在習題課教學中采用分層次小班教學，可以按照不同的教學目的，教學要求，有針對性的講解習題。

例如教師在習題課程中可以給學生提供至少三種練習題：基礎題、提高題、綜合性技巧性的難題。學生可以依據自身的實際，選擇適當的題做，但是現在多數高校的開課都是大班上課，如果要兼顧到每一位同學，是很難的，所以我們可以適當的利用不同形式的第二課堂，將課堂上無法全面兼顧的內容移過來，開設多樣化，多層次，多內容的習題課的第二課堂，這樣可以使不同知識能力水平的學生都能有所收獲。

5 結束語

作為教師就算是一堂習題課我們也要合情合理精心設計，在整個的習題課過程中，不能讓學生只是聽和看而不想和做，要想讓學生充分融入課堂，主動參與整個習題課的教學中，教師也可選擇合適的策略激發學生學習的興趣，讓學生主動參與每一道題中，深入了解知識的聯系、問題的討論、解題的方式，結論的歸納及靈活應用的解題思路中。

【參考文獻】

[1]陳紀修等編.《數學分析》（上）（第二版）[M].高等教育出版社，2004.10.

[2]華東師范大學數學系編.《數學分析》（上）第三版[M].高等教育出版社，2001.6.

[3]廖春艷，趙艷輝.《數學分析課程中數學概念教學的探討》[J].湖南科技學院學報，2014（5）4-6.

[4]盧偉，程世娟.《淺談高等數學習題課中思想方法的滲透》[J].科教文匯，2014，（9）45-46.