基于博弈期權的BOT項目融資創新研究

王獻東

(常州工學院數理與化工學院，江蘇 常州 213032)

0 引言

BOT是英文Build-Operate-Transfer的縮寫，通常直譯為“建設—經營—轉讓”，也叫做“特許權融資模式”，是社會資本參與基礎設施建設的一種有效的融資方式。由于BOT項目具有投資大、建設運營周期長、投資收益不確定因素多等特點，再加上各級政府和項目公司缺乏經驗、決策不合理等原因導致項目提前終止的情況時有發生。國內外的學者對項目提前終止的原因和影響因素進行了分析并提出了一些針對提前終止的補償方法。例如，Irwin和Mokdad[1]指出，提前終止補償金額取決于提前終止的原因：如果提前終止是由私營部門的違約造成的，支付數額通常是項目的市場價值，該價值可以通過重新招標合同價格確定；如果是不可抗力(例如自然災害)，政府的支付通常與私營部門的債務相關，例如其股權的賬面價值；如果提前終止是由政府的違約造成的，政府應充分賠償債權人和股東的損失。Xiong 和 Zhang[2]介紹了兩種基于財務報表和項目未來收益現金流量折現值的補償方法。Song等[3]提出了一種采用ARIMA模型預測高速公路BOT項目未來的交通量、運行和維護成本以及未來的現金流，基于現金流來計算高速公路BOT項目提前終止補償數量。

盡管世界上一些國家的特許經營協議已經開始引入提前終止的補償條款，學者也提出了提前終止的補償方法，但理論界和實務界就提前終止的影響因素和責任承擔主體尚難以清晰地界定，致使條款的可操作性較差，項目提前終止的情況一旦發生，政府和項目公司很難就提前終止的補償達成一致。因此，需要從另外的角度來對該問題進行研究。近年來，金融衍生工具期權被廣泛地應用于項目融資特許權期決策和政府對基礎設施項目的擔保決策，如文獻[4—7]。博弈期權，又稱以色列期權，由Kifer[8]在2000年首先提出。該期權是一種在美式期權基礎上給予發行方在期權有效期內任何時刻都可以進行贖回的新式期權，即在合約的有效期內，它的持有者(買方)可以在任意時刻執行合約，發行者(賣方)也可以在任意時刻終止合約。

本文運用金融工程思想創造性地解決了現有BOT項目協議中提前終止補償條款可操作性差的問題，不僅可以為政府和項目公司提供決策參考，也對BOT等其他模式項目融資的創新具有一定的借鑒作用，因此，該方法具有一定的理論與實際意義。其創新點主要有兩個方面：一是將博弈期權引入到項目融資協議中，提出一種創新的BOT項目融資；二是給出了博弈期權的定價方法。

1 基于博弈期權的BOT項目融資設定

1.1 博弈期權

博弈期權是在美式期權的基礎上通過增加賣方終止合約的權利得到，因此它可以被看成是一種特殊類型的美式期權，該期權賦予了期權買賣雙方在到期日T之前任何時刻t(0

下面給出博弈期權的數學定義。假設買方和賣方在0時刻簽訂一份到期日為T的博弈期權合約，該合約規定若買方先執行期權，則買方獲得的權益是Xt；若賣方先終止合約，則賣方支付給買方的權益是Yt，并假定Xt

(1)

1.2 基于博弈期權的BOT項目融資公式

假定政府與項目公司雙方就某一個基礎設施項目簽訂特許權協議，約定特許期為T。基于博弈期權買賣雙方均可以在到期日之前提前執行或終止合約的特點，可以考慮將該期權引入到BOT項目協議中，用以解決現有的提前終止補償條款可操作性差的問題。從更有利于保護項目公司權益的角度考慮，本文以政府作為博弈期權的賣方，項目公司作為博弈期權的買方，且根據BOT項目的特點可知該期權應為看跌期權。該期權合約規定：在特許期內的任意時刻t(0

設Mt表示項目公司在t時刻持有項目的價值，由博弈期權的定義可知：若項目公司在t時先執行期權將項目移交給政府，則項目公司獲得的權益是max(Qt-Mt,0)；若政府在t時提前回購項目終止協議，則項目公司獲得的權益是max(Qt-Mt,0)+δ；若雙方在T時之前都未執行期權，那么項目公司在特許期滿T時將以回購價格K0將項目移交給政府；若雙方決定在T時之前的同一時刻t終止合約，則項目公司獲得的權益為max(Qt-Mt,0)。因此，如果項目公司提前將項目移交給政府的時間為τ，政府提前回購項目的時間為γ，則項目公司獲得的權益R(τ,γ)可以表示為

(2)

期權的買方要獲得期權所賦予的權利就需要支付一定的期權費用給期權的賣方，如何計算這一費用即博弈期權的價格，就成為政府和項目公司在簽訂期權合約時要考慮的一項重要內容。

2 BOT項目融資博弈期權的定價過程

2.1 項目收益模型的構建

計算博弈期權價格的首要工作是對標的資產價值的運動規律進行建模，根據BOT項目的特點，本文把項目公司持有的基礎設施項目看作是博弈期權的標的資產。BOT項目中，項目公司在特許期內通過向用戶收取費用或出售產品以回收投資、清償貸款并賺取利潤。由此可知，項目公司在t時刻持有項目的價值Mt就等于從t開始至特許期T(不包括t時刻)的T-t時間長度內，項目所獲得的所有現金收益(項目收入減去運營成本)的折現。由于影響BOT項目收益的因素眾多，因此，收益具有很大程度上的不確定性。為簡便起見，本文采用Cox等[12]提出的基于離散時間的二叉樹模型對每段時間內BOT項目的收益進行建模。

一般來說，BOT項目融資的特許期包含項目的建設與運營階段，為了研究的方便，本文假設特許期就是運營階段。將特許期T等分為n段，則每段時間的長度Δt=T/n。為簡便起見，對任意的i=0,1,…,n-1，假定項目在時間段[iΔt,(i+1)Δt]上的現金收益只在時間區間的右端點時刻(i+1)Δt獲得。根據市場調研和分析，可以預測項目正式運營后Δt時間長度內獲得的初始現金收益為S，假設在Δt時間段內項目收益的上升因子為u，下降因子為d，在特許期的每個時間段[iΔt,(i+1)Δt]內收益上升的概率p和下降的概率p′均保持不變，且p+p′=1。在這里采用Cox等使用的條件u=1/d，使得許多節點重合，從而在很大程度上簡化了樹圖。

圖1給出了一個3階段的項目收益二叉樹圖，設初始0時刻預測的項目收益為S，在Δt時項目收益要么上升到Su，要么下降到Sd；在2Δt時項目收益就有3種可能：Su2、Sud、Sd2；在3Δt時項目收益就有4種可能：Su3、Su2d、Sud2、Sd3。

圖1 一個3階段的項目收益二叉樹

需要說明的是，本文構建的項目收益二叉樹圖與Cox等提出的股票價格二叉樹圖有一定的區別。Cox等股票價格二叉樹圖起點的“S”表示0時刻股票的價格是S，本文圖1中起點的“S”并不表示0時刻項目獲得的現金收益是S，而是表示項目正式運營后的Δt時間長度內現金收益的初始預測值為S，根據項目在每個時間段[iΔt,(i+1)Δt]上的現金收益只在時間區間的右端點時刻(i+1)Δt獲得的假設，項目第一次獲得現金收益的時間在Δt時刻，其收益為Su或Sd。

2.2 項目價值的計算

在構建了項目收益的二叉樹模型之后，就可以在此基礎上計算各節點上項目公司持有項目的價值。由于特許期滿時項目公司需要將項目移交給政府，因此，在特許期T時各節點(n,j)上項目的價值Mn,j均為0。在特許期T之前，對任意的i=0,1，…，n-1；j=0,1,…,i,則在iΔt時節點(i,j)上項目的價值Mi,j就等于(i+1)Δt時的節點(i+1,j)與(i+1,j+1)上項目價值的數學期望在Δt時間長度內的折現，再加上節點(i+1,j)與(i+1,j+1)上項目獲得現金收益的數學期望在Δt時間長度內的折現。例如，將BOT項目的特許期等分為3段，則對于項目公司來說，節點(3,j)上項目的價值

M3,j=0j=0,1,2,3

(3)

在2Δt時節點(2,0)上項目的價值M2,0就等于節點(3,0)和(3,1)上項目現金收益的加權平均在時間長度Δt內的折現，即

(4)

類似地，節點(1,1)上項目的價值就等于節點(2,1)和(2,2)上項目價值的加權平均在時間長度Δt內的折現，再加上節點(2,1)和(2,2)上項目現金收益的加權平均在時間長度Δt內的折現，即

(5)

一般地，若將項目的特許期等分為n段，則在iΔt時節點(i,j)上項目公司持有項目的價值Mi,j可以表示為如下的遞推公式：

(6)

利用式(6)遞推就可以求出在任意節點上項目的價值。

2.3 BOT項目融資中博弈期權的定價

博弈期權是在美式期權的基礎上增加了期權賣方在到期日之前任意時刻可以終止合約的權利，使得該期權比美式期權更加復雜。由期權定價理論可知，期權的價格等于期權買方未來獲得權益的折現在風險中性測度下的數學期望。因此，由博弈期權的定義可知，如果項目公司將項目移交給政府的時間為τ，政府提前收回項目的時間為γ，則博弈期權的公平價格V0應該為

(7)

其中:E(·)表示在風險中性測度下的數學期望；τ∧γ=min(τ,γ)，表示τ和γ兩者中較小的一個。

本文采用二叉樹期權定價方法來研究BOT項目融資中博弈期權的定價，其計算步驟如下：

步驟1：計算特許期滿時各節點上的期權價值。

在特許期T時，各節點(n,j)上項目公司持有項目的價值Mn,j均為0，項目公司可以回購價格K0將項目移交給政府。因此，在T時各節點(n,j)上期權的價值Vn,j均為K0，即

Vn,j=K0j=0,1,…,n

(8)

步驟2：計算特許期滿之前各節點上的期權價值。

在計算出特許期T時各節點上的期權價值之后，就可以用倒推的方法來計算特許期T之前各節點上的期權價值。

首先，計算T的前一個時刻，即(n-1)Δt時各節點上的期權價值。在(n-1)Δt時節點(n-1,j)上期權的執行情況有四種：項目公司提前移交項目、政府提前回購項目、雙方同時執行期權和雙方均不執行期權。因合約規定若雙方決定在同一時刻執行期權，則賣方支付給買方較小的權益，因此可以把雙方同時執行期權看成是買方先執行期權。綜上所述，節點(n-1,j)上期權的價值Vn-1,j可以表示成

Vn-1,j=min(gn-1,j,max(fn-1,j,hn-1,j))j=0,1,…,n-1

(9)

其中：

fn-1,j=max(Q(n-1)Δt-Mn-1,j,0)j=0,1,…,n-1

(10)

表示在(n-1)Δt時項目公司移交項目，節點(n-1,j)上項目公司得到的權益；gn-1,j=fn-1,j+δ表示政府在(n-1)Δt時提前回購項目，節點(n-1,j)上項目公司得到的權益；

(11)

表示在(n-1)Δt時項目公司不移交項目，繼續持有到下一時刻nΔt(即特許期滿時)，項目公司獲得權益的數學期望在Δt時間內的折現。

其次，由(n-1)Δt時刻各節點的期權價值計算(n-2)Δt時各節點上的期權價值，再按照從后往前倒推，依次計算(n-3)Δt,…,Δt時各節點上的期權價值。例如，在iΔt時節點(i,j)上博弈期權的價值Vi,j可以表示成

Vi,j=min(gi,j,max(fi,j,hi,j))i=n-2,n-3,…,1;j=0,1,…,i

(12)

其中：

fi,j=max(QiΔt-Mi,j,0)

(13)

表示項目公司在iΔt時移交項目，節點(i,j)上項目公司得到的權益；gi,j=fi,j+δ表示政府在iΔt時提前回購項目，節點(i,j)上項目公司得到的權益；

(14)

表示在iΔt時，項目公司不移交項目，繼續持有項目公司獲得權益的數學期望在Δt時間內的折現。

步驟3：計算博弈期權的價格。

根據Δt時刻兩個節點(1,0)和(1,1)上的期權價值V1,0和V1,1，可以計算0時刻博弈期權的價格為

(15)

以上給出的BOT項目融資中博弈期權的二叉樹定價方法比較簡單、易懂，在實際計算時可以運用Matlab軟件編程實現上述算法。

3 算例分析

在這一部分給出一個引入博弈期權的BOT項目融資的算例分析，并對影響博弈期權價格的參數：初始收益、回購價格、特許期、補償金、上升因子和利率進行敏感性分析。假設政府與項目公司就某一項基礎設施簽訂BOT特許權協議，規定特許期T=20年。

最后，按照2.3節給出的博弈期權二叉樹定價算法可以計算出博弈期權的價格為1.585 2×103萬元。

由本文構建的模型可知，影響BOT項目中博弈期權價格的因素有6個：初始收益、回購價格、特許期、補償金、上升因子和利率。為了研究博弈期權價格對各參數的敏感性，以上述參數的取值：S=2，K0=1，T=20，δ=1，u=1.1和r=0.05為基準，圖2—7分別給出了初始收益、回購價格、特許期、補償金、上升因子和利率6個參數中的1個參數在某一范圍內變化而其余5個參數保持不變時博弈期權價格的變化趨勢。

由圖2至圖7可以看出，博弈期權的價格隨著初始收益、回購價格、特許期、補償金和上升因子的增加而增加，隨著利率的增加而減小。經過多次改變參數的取值計算后發現，以上博弈期權的價格與6個參數之間的變化規律仍然成立。因此，本文所建立的模型具有較好的可靠性，可以為政府和項目公司在簽訂合約時提供決策參考。

圖2 不同初始收益下博弈期權的價格

圖3 不同回購價格下博弈期權的價格

圖4 不同特許期下博弈期權的價格

圖5 不同補償金下博弈期權的價格

圖6 不同上升因子下博弈期權的價格

圖7 不同利率下博弈期權的價格

4 結論

本文采用二叉樹模型對每段時間內項目的收益進行建模，基于構建的模型計算項目公司持有項目的價值，并給出BOT項目融資中博弈期權的二叉樹定價算法，最后的算例分析證明了方法的可行性，可以為政府和項目公司提供決策參考。引入博弈期權的BOT項目融資，允許政府和項目公司根據項目的實際運營狀況、社會經濟發展的需要來動態地調整決策，一定程度上解決了現有的提前終止補償條款可操作性差的問題，增加了項目合約執行的靈活性，提高了項目的吸引力，為項目融資的改進提供了一種全新的視角，具有一定的理論與實際意義。二叉樹模型的優點是比較簡單、直觀，其缺點是不能很好地刻畫不確定性環境中項目收益的隨機變化規律，因此，今后需要進一步研究如何改進模型。

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