典型例題在《概率統(tǒng)計》教學中的創(chuàng)新應用

葛 旸，李 純

（天津職業(yè)技術師范大學理學院，天津 300222）

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是高等學校一門重要的數(shù)學基礎課，不僅數(shù)學學院，大部分文、理、工科院系都開設這門課程。作為本科階段的大學生，學好概率統(tǒng)計有一定難度，因為它具有一般數(shù)學課程的抽象性和邏輯性；與此同時，學好概率統(tǒng)計又具有深遠意義，因為不論是在物理學、天文學、生物信息學、機械智能化、系統(tǒng)可靠性分析、產品質量檢測、物流運輸安全等科學工程領域，還是在心理學、金融經濟學、廣告?zhèn)髅健⑺痉ǖ热宋纳缈祁I域，都有非常廣泛的應用，并且相當一部分的應用還參與到這些領域最前沿的研究當中。早在19世紀，法國著名數(shù)學家拉普拉斯曾說[1]：“對于生活中的大部分，最重要的問題實際上只是概率問題。幾乎所有知識都是不確定的，只有一小部分能夠被確定地了解。甚至數(shù)學科學本身，歸納法、類推法和發(fā)現(xiàn)真理的首要手段都是建立在概率論的基礎之上。因此，整個人類知識系統(tǒng)是與這一理論相聯(lián)系的。”而今，計算機以及網絡技術的問世和迅速發(fā)展使海量數(shù)據(jù)的搜集、存儲與計算成為了可以實現(xiàn)的工作，在大數(shù)據(jù)的時代里，對概率統(tǒng)計基本知識和方法的掌握已成為每個人綜合素養(yǎng)中必不可少的一部分，它直接關系到人們的生活質量和職場競爭力。

由于概率統(tǒng)計的主要研究對象是隨機現(xiàn)象，而隨機現(xiàn)象都是來自于生活，因此正如拉普拉斯所言，概率統(tǒng)計是源于生活的科學。概率統(tǒng)計課程中大部分概念和方法，都可以找到大量與之相關的生活實例，這決定了概率統(tǒng)計的教學組織具有很大的彈性和靈活性[2]。國內的傳統(tǒng)教學多遵循概念、與概念有關的性質和定理、課堂例題、課后作業(yè)等教學模式，實例多在課堂例題和課后作業(yè)的部分出現(xiàn)，且實例的主要目的是對知識的鞏固和掌握程度的考查。但實例更加重要的作用是豐富概念的涵義和背景，使抽象的理論形象化。在深化教學改革的進程中，如何更好地應用實例教學，使其充分發(fā)揮應有價值，提高教學的水平和質量，是一項具有重要意義的研究課題。筆者以近年教學實踐的經驗為基礎，結合具體案例，總結出四類在教學活動中創(chuàng)新應用典型例題的方法。所引用例題都是概率統(tǒng)計課程中的常見例題，但它們不同于以往的運用方式具有一定的啟發(fā)性。

1 在例題引入時機上的創(chuàng)新

有些形式抽象，但卻有豐富實際背景的概念和定理，可以安排一道例題在引入理論之前講授，在解題過程中啟發(fā)學生主動總結出新的概念和方法。法國著名數(shù)學家和物理學家泊松的工作特色就是應用數(shù)學方法研究各類物理問題，并由此發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學理論。在理論之前講授實例，能夠避免學生對陌生的抽象理論望而卻步，使他們在思考例題的過程中潛移默化地習得理論；當學生發(fā)現(xiàn)以現(xiàn)有的理論認知難以解決新的問題時，也能激發(fā)他們學習新理論和新方法的求知欲望。此外，在日后的理論研究或社會實踐中，需要學生獨立分析問題，并探索開發(fā)出全新的方法來解決問題。傳統(tǒng)教學先理論后例題模式會抑制學生的主動性和創(chuàng)造性，導致學生習慣于使用別人提供的現(xiàn)成思路來解決問題，而在面對新問題時束手無策。相反，先例題后理論的教學模式能培養(yǎng)學生的研發(fā)能力，因為這和從事研發(fā)工作的思維過程更趨一致。以全概率公式的教學為例說明如下。

例1某電子設備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的。根據(jù)以往的記錄有以下數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 產品數(shù)據(jù)統(tǒng)計表

在以往教學中，這一例題設置在全概率公式的理論后。學生往往迷惑于為什么要對空間進行劃分，又為什么要設計這么復雜的公式。此時對理論的接受過程是被動的。然而，如果將例題放到理論之前來講授，在思考題目的過程中學生會很自然地發(fā)現(xiàn)必須對所取元件的來源進行分析，然后不重復且不遺漏地對各種可能的情況做出歸總，進而理解求一個復雜事件的發(fā)生概率，實質上是眾因歸果的過程。此時再提出全概率公式，并指出從本質上看，其所描述的方法和學生中學階段已經接觸的數(shù)學思想——分類討論是一致的。實踐表明，多數(shù)學生無須記憶公式的形式，也能很準確地掌握方法。

同樣的例題運用方式在條件概率、獨立性、連續(xù)型隨機變量的概率密度、求隨機變量的函數(shù)分布等抽象定義和方法上，也明顯改善了教學效果。

2 在例題內容設計上的創(chuàng)新

在實際教學過程中，例題可以處理得靈活一些，如可在題目內容的寬度和深度上加以拓展。其優(yōu)勢為：第一，賦予課堂更強的生命力。當學生發(fā)現(xiàn)教師講授的素材與課本并不全然相同，且比課本更具有趣味性時，他們的注意力會更多地集中到教師的課堂講授上，更積極地參與到教與學的互動中；第二，經過重新設計的例題將更有針對性地服務于課程的教學目標，從而促使理論與實例融合成為相互聯(lián)結的有機整體，而不是彼此孤立的兩部分。以數(shù)學期望的概念提出為例。

例2一射手進行打靶練習，規(guī)定射入區(qū)域e2得2分；射入區(qū)域e1得1分；脫靶，即射入區(qū)域e0得0分。射手每次射擊的得分X是一個隨機變量，設X的分布律為：

設該射手現(xiàn)在射擊N次，其中得0，1，2分各有a0，a1，a2次，a0+a1+a2=N。

圖1 例題圖示

在教材中，該例敘述至此緊接著計算射手的平均得分，再依據(jù)大量獨立重復試驗中，頻率趨于概率，得到數(shù)學期望的定義，即在實際講授中完全照搬這一模式，學生難免會感到突兀，認為這一實例就是為引出新的定義而設置的。如果轉換成另一種方式，在介紹完題目背景后提問學生：應該如何衡量該射手的競技水平？還可以進一步把問題具體化，讓學生對比甲乙兩名射手射擊得分情況，得分X、Y的分布律分別如表2和表3所示。

表2 X的分布律

表3 Y的分布律

從射中靶心概率來評判的學生會認為甲的水平高，而從脫靶率來評判的學生會認為乙的水平高，最終發(fā)現(xiàn)僅從分布律表面觀察很難得到一致結論。此時，教師可以啟發(fā)學生，相比了解隨機變量X、Y的具體分布，更需要一個統(tǒng)一的指標來反映射手的水平，且該指標應刻畫射手每次擊靶的平均得分。

又如下面條件概率算例的拓展過程。

例3一盒子裝有4只產品，其中3只一等品，1只二等品。從中取產品2次，每次任取1只，作不放回抽樣。設事件A為“第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”，試求條件概率P（B|A）。[3]

按照傳統(tǒng)教學模式，單純把上述例題作為計算條件概率的一道練習題，無法激發(fā)學生的興趣，但如果在該題后面增加一問，該例題將煥然一新：若不知道第一次抽樣的結果，第二次抽得一等品的概率是多少？

這是一個開放性的問題，只要變換一下視角，實質上等同于只做一次抽樣預測抽得一等品的概率。該問題的引申旨在培養(yǎng)學生先把題目內容分析透徹，而后再優(yōu)選方法進行計算的好習慣。同時，如果有學生采用第一次抽樣結果分類歸總的方法來求解，也可為后面全概率公式的學習做鋪墊。在教學中系統(tǒng)性固然重要，但過于強調系統(tǒng)性會抑制學生學習的自發(fā)性，而自發(fā)性才是一切優(yōu)秀發(fā)明創(chuàng)造真正的源動力。這也是在教學中設計開放性問題的意義所在。

3 在例題結果分析上的創(chuàng)新

從事概率統(tǒng)計領域科研和實踐工作的教師都深刻認識到，工作的核心和難點往往并不在于數(shù)學上的推演，而在于模型的建立以及對數(shù)據(jù)所包含信息的分析。在傳統(tǒng)教學中，例題僅被作為一種機械性的訓練工具，只要學生能夠使用當前章節(jié)的知識點把結果計算出來，題目的講授就已完成。然而，從培養(yǎng)具備科學研究和社會實踐能力的應用型人才這一角度看，這樣的訓練是不完整的。美國著名數(shù)學家哈爾默斯說過，問題是數(shù)學的心臟。創(chuàng)新往往是從提出問題開始，而問題又是來自已有認知基礎與新信息之間產生的認知沖突[4]。因此，在教學中應多啟發(fā)學生從例題計算結果中發(fā)現(xiàn)問題和歸納問題，使課堂真正成為充滿互動氛圍與探索精神的學術殿堂。通過如下三個教學案例進行說明。

例4[3]根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有如下的效果：若以A表示事件“試驗反應為陽性”，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有P（A|C）=0.95現(xiàn)在對自然人群進行普查，設被試驗者患有癌癥的概率 P（C）=0.005，試求 P（A|C）。

以上是貝葉斯公式在臨床醫(yī)學診斷中的一道應用案例。經計算

題目的講授不應以計算出結果而結束，因為題目中的數(shù)據(jù)還有豐富的潛在挖掘價值。首先可以啟發(fā)學生，P（A|C）=0.95說明在被試驗者患癌的情況下結果呈陽性的概率為 95%，說明在被試驗者未患癌的情況下結果呈陰性的概率也為95%，說明這是一個不論哪種情況下誤診率都僅有5%的試驗。然而，檢出陽性實際卻未患病的概率卻有1-0.087=0.913，這當中是否存在矛盾？其實對以上公式稍加細致觀察就會發(fā)現(xiàn)，雖然患癌的情況下檢出陽性的概率遠高于未患癌的情況，但是在人群總體中患癌的只有0.5%的比例，因此患癌且檢驗呈陽性的概率仍遠低于未患癌且檢驗呈陽性的概率，導致了很高的假陽性率。這也說明作為發(fā)病率較低的疾病，患病和未患病兩種情形下的誤診率不能等同看待，若要進一步提高測試精度，必須降低健康人群的被誤診率。之后還可以引導學生繼續(xù)思考，檢出陽性，但實際還有很大幾率并未患病，那么若檢出陽性，該結果還是否值得重視？這個數(shù)值單獨來看并不大，但如果和P（C）=0.5%相比，就很顯著了。這說明如果一個經該試驗檢查呈陽性的人，他的患癌幾率比沒有做任何檢查的人要高17.4倍（8.7%÷0.5%）。經過以上數(shù)據(jù)分析，學生可以很快認識到先驗概率和后驗概率的區(qū)別：P（C）=0.5%是基于以往數(shù)據(jù)分析，通過一般性經驗得到的概率，即先驗概率；而P（A|C）=8.7%是結合當前試驗信息，在先驗概率基礎上經過修正得到的概率，即后驗概率。甚至無需強調上述關于概念的文字描述，也能由該例題的分析深入地刻畫出概念的本質。

例5[3]按規(guī)定某種型號電子元件的使用壽命超過1 500 h的為一級品。已知某一大批產品的一級品率為0.2，現(xiàn)在從中隨機地抽查20只。問20只元件中有k只（k=1，2，…，20）為一級品的概率是多少？

此題原本是一道針對二項分布的分布律進行具體說明的應用題。以隨機變量X記20只元件中一級品的只數(shù)，由于元件總數(shù)N很大，抽查元件數(shù)量相對很小，可用二項分布 b（20，0.2）近似超幾何分布 h（20，N，N/5），即近似有 X～b（20，0.2）。

從而得到所求概率為：

計算結果如表4所示（僅列出概率值不小于0.01的部分）。

表4 計算結果列表

用柱形圖表示上述分布，如圖2所示。

圖2 計算結果分布圖

由表4和圖2知，X的分布以4為中心兩側呈單調遞減，且雖然左側分布比例偏高，但整體分布呈現(xiàn)為鐘形。

進一步深入挖掘，可得到更多有價值的結果。在頻率一節(jié)中，學生已了解到當試驗次數(shù)足夠大時頻率會趨于概率，此時試驗結果將反映出事物的本質規(guī)律。于是啟發(fā)學生將n取得更大（n=50，100），并觀察此情形下的二項分布，如圖3和圖4所示。

圖3 B（50，0.2）二項分布

圖4 B（100，0.2）二項分布

由圖3和圖4可知，n=50時，二項分布B（50，0.2）的中心位置即取值概率最大的位置是10；n=100時，二項分布B（100，0.2）的中心位置是20。而且隨n增大，中心兩側分布更加對稱，且整體分布輪廓更加明顯呈鐘形。此時，先啟發(fā)學生認識這個中心位置的含義，它們都恰好等于 n·p（20*0.2=4，50*0.2=10，100*0.2=20）。進一步直觀分析 n·p 的含義：p 表示平均一次抽樣取得p個正品，那么n·p表示經過n次抽樣平均得到的正品數(shù)目。實際上，n·p就是二項分布B（n，p）的數(shù)學期望。再來認識隨 n增大二項分布輪廓漸近呈對稱鐘形的現(xiàn)象，指出實質是中心極限定理在起作用，因為二項分布B（n，p）可以分解為n個獨立同分布的兩點分布之和，而任一確定分布的隨機變量，其獨立和都將漸近服從于這樣的鐘形分布，它還有一個專門的名稱——正態(tài)分布。通過深入挖掘數(shù)據(jù)，一道簡單的例題引申出后面章節(jié)中正態(tài)分布、數(shù)學期望和中心極限定理3個很重要的知識點。在學生接觸這些抽象概念之前，借由例題為概念的提出多次預先鋪墊，能夠在潛移默化中有效降低學生接受新概念的難度，還有助于學生在學習過程中建立更加完整和立體的知識結構。同樣的教學手段也適用于大數(shù)定律、似然估計、假設檢驗以及研究生課程《高等概率論》中的大偏差定理[5]等以往教學中學生較難理解、掌握，但其規(guī)律和思想廣泛滲透于大量實例數(shù)據(jù)中的概念、方法和結論。

4 在例題背景設置上的創(chuàng)新

對題目背景再創(chuàng)造是最具挖掘空間的一類創(chuàng)新。建構主義認為，學生的學習是在一定情境中發(fā)生的，不能脫離實際生活，在頭腦中抽象出虛無的、孤立的事實和理論。教師應充分利用學習者已有知識經驗，把它們作為新知識的生長點[6]。時代瞬息萬變，然而教科書中的例題卻很難做到同步更新。在教學中選擇源于當下社會生活的，學生更熟悉、更關心的素材重建題目，使學生認識到落伍的只是教科書中例題的題材而并不是科學本身，這是現(xiàn)代教學設計的必然趨勢。

例6[3]甲進行射擊，設每次擊中的命中率為0.2。現(xiàn)獨立射擊20次，求甲仍未擊中目標的概率。

此題是隨機事件獨立性的一個應用案例。但諸如射擊、抽球等題目背景在教材中出現(xiàn)頻率很高，并且脫離實際生活，更像是一種純粹的數(shù)學游戲。對于那些尚未對數(shù)學本身產生濃厚興趣的學生而言，這樣的題目敘述難免顯得乏味。然而，如果保留題目骨架的數(shù)學模型，為其更換一個時下在社會中受關注程度更高的題材作為背景，效果是令人耳目一新的。重新設計的例題如下。

例7甲從事小額網絡詐騙，首次行騙后被查獲的概率是0.2。若未被拘捕則他將繼續(xù)行騙，且下一次行騙后被查獲的概率仍為0.2。求經過20次行騙后甲仍然逍遙法外的概率。

以Ai（i=1，2，…，20）表示事件“甲第i次行騙被查獲”，則所求事件可表示為經計算，

同樣的知識點，同樣的推導過程，但更換背景后的題目顯然有著更加豐富的內涵和現(xiàn)實意義：雖然網絡詐騙一次被查獲的概率很小，但是不斷重復犯罪行為，必然難逃法網。這說明大量重復試驗中小概率事件的發(fā)生有其必然性，也解釋了為什么被查獲的不法分子大都是慣犯。還可引申至宿舍安全、行車安全等問題，說明防微杜漸的重要性，因為單一一次風險率很低的犯規(guī)行為，在長年累月的不斷犯規(guī)中終將導致嚴重的損失和禍患。通過分析和解釋生活中的現(xiàn)象，將新引入的抽象理論與日常熟悉的經驗認知結合討論，使學生認識到從隨機現(xiàn)象中發(fā)掘隱含規(guī)律的思辨能力是每個人都應具備的，學習概率統(tǒng)計是運用數(shù)學手段來描述這一分析的過程，從而使得到的結果更加嚴謹和有說服力。巧妙運用生活化的題材能夠幫助學生克服學習概率統(tǒng)計過程中的畏難心理，促使學生主動和自發(fā)地去接受和理解知識，從而極大地提高教學效率和教學質量。

5 結語

本文對近年來在概率統(tǒng)計課程教學中關于例題創(chuàng)新應用所做的探索進行了總結。教學是一門藝術，它擁有無限的可能性。教師必須在科研工作和日常生活中不斷自我充實，才能在教學中充分解放思想，更好地應用各種創(chuàng)新教學方法和手段，將課程設計得更加生動、鮮活、有意義，更好地促進教學工作，使學生充分理解、吸收并掌握新知識。

參考文獻：

［1］LAPLACE P S.關于概率的哲學隨筆［M］．錢敏平，龔光魯，譯.北京：高等教育出版社，2013.

［2］鮑建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程［M］．上海：上海教育出版社，2009.

［3］盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］．4版.北京：高等教育出版社，2008.

［4］曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學［M］．2版.北京：北京師范大學出版社，2006.

［5］陳琦，劉儒德.當代教育心理學［M］．2版.北京：北京師范大學出版社，2007.