大壩下游河道剖面分形與水力因素的關系研究

劉冠霆,程 煬,張 慧

(揚州市勘測設計研究院有限公司，江蘇 揚州 225007)

在河流上修建水利工程，會改變上下游河道的水力特性，對城市防洪、河道演變、航道通航等產生重要影響，研究水利工程對下游河道水力因素的傳播和運動規律，對于保證下游防洪和航運安全具有重要意義。

由于水力影響因素眾多，在計算分析過程中，很難將所有因素綜合考慮，因此一些學者提出用分形維數來代替這些影響因素，進而研究河道的水流特征。所謂分形維數，簡單地講，就是所有不規則形態的自相似程度。對此，一些學者也逐步開展了分形在區域水文要素中的應用研究，并總結了徑流、降水等要素的分形特征，提供了這些因素時空變異特性的定量分析方法。金德生等通過研究發現：河道的縱坡降與分形維數之間呈負相關關系，并提出用分形維數與水力因素的關系來預測河流縱剖面的發育趨勢。許光祥等則在河道剖面輪廓的分析中，采用億元分形差值方法，研究了河道剖面輪廓與水力因素之間的自相似性。

本文在總結前人研究方法的基礎上，結合長江某段河道，采用一維、二維計算模型分別對河道的縱橫剖面進行了分形維數的分析，并得到了分形維數與水力因素之間的關系，并由此分析確定了河道的通航水力指標。

1 河道概況

計算分析河道屬長江上游宜賓至朱沱段，全長200多公里。在宜賓和云南水富縣交界地帶，修建有向家壩水電站，其為金沙江體積開發的最末一級電站。下游河道兩岸多低山丘陵，少高山峽谷，河床較為開闊，雨季河道水流寬度為1000m左右，枯水期河道水流寬度在400m左右。該河段主要分布一些淺灘，其次為險灘，急灘較少。該段河道平均比降為0.027%，枯水期平均流速為1.5～2m/s，個別灘涂的最大流速可達4.2m/s。

2 一維、二維非恒定-分形分析模型

2.1 一維分析模型

水力計算一般包括縱向水流的連續和動量方程、縱橫向的水流阻力計算以及上下游邊界條件等。一維方程以水位Z和流量Q為計算分析要素，在不考慮河道匯流的情況下，河道的連續水流和動量方程為：

連續方程：

(1)

動量方程：

(2)

式中，B—河面寬度，m；Z—水位，m；Q—河道流量，m3/s；x—河段長度，m；a—動量校正系數；μ—河道的平均流速，m/s;g—重力加速度，kg·m/s2；A—河道斷面面積，m2；C—謝才系數；R—水力半徑。

根據式(1)、(2)計算結果，統計各分段河流的水力因素和河段長度，將流量和河段長按從小到大的方式排列成數列，按如下公式構造一階和二階累計和序列：

{S1i}={N1,N1+N2,N1+N2+N3…}i=1,2,3,…,n

(3)

{S2i}={S11,S11+S12,S11+S22+S33…}i=1,2,3,…,n

(4)

將(3)、(4)式計算得到的(S2i，ri)以及(S2i+1，ri+1)在雙對數坐標中進行繪制，其斜率即為分河段的分形維數。同理，對所有的(S2i，ri)進行分析，該數據系列的斜率即為該段河道的整體長度分形維數。

2.2 二維分析模型

以笛卡爾坐標系為計算準則，分別采用非結構化網格和三角形網格建立二維水動力模型和模擬復雜的河道邊界。其水流連續和運動方程為：

(5)

(6)

(7)

一階累計數列計算分形維數的方法同(3)，即：

{S1i}={N1,N1+N2,N1+N2+N3…}i=1,2,3,…，n

(8)

將得到的數據系列進行線性擬合，其斜率即為計算出河道寬度的分形維數。

3 計算結果分析

3.1 壩下河道縱向剖面的分形維數分析

圖1為基于一維分析模型計算得到的該段河道左右岸的整體分維序列情況，從圖中可以看到，河道左岸的分維序列與右岸表現得不同，左岸部分分維序列呈先增后減的趨勢，部分分維序列又呈遞減趨勢，右岸的分維序列則是呈逐漸遞減的趨勢。由于各分維序列點并不呈直線變化，即呈現變維分形情況，這就需要監理變維分形模型對分維序列進行分析，因而采用累計和序列的方式對河道整體長度和分段長度的分形維數進行分析。

圖1 河道整體分維序列

基于累計和序列得到的整體和分段河道的2階累計和分維序列如圖2。從圖中可以看到，不管是整體河道長度還是分段河道長度的分維序列，均呈良好的線性關系，表明該段河道縱剖面分形維數呈二階分維特征。對比左右岸整體長度的分形維數可以知道，左右岸的二階分形維數相差不大，分別為1.003和1.0021，分段河道宜賓至瀘州段的分形維數為1.0269，瀘州至朱沱段的分形維數為1.0216，可見，河道的整體分形維數較分段分形維數小。

圖2 2階累計和分維序列

3.2 壩下河道橫向斷面分形維數分析

基于二維水流計算模型，選取該河段的一個斷面(棧橋灘河段斷面)進行分析，得到了該河段斷面分維序列如圖3。圖3表明，棧橋灘的斷面寬度與河道長度一樣，不呈直線關系，仍然為變維分形特征。故也需要對其河道的寬度進行累計序列處理，即用一階累計和序列。

圖3 棧橋灘河段斷面分維序列

河道寬度一階累計和分維序列關系見圖4。從圖中可以發現，分維序列數據點呈良好的線性關系，分形維數為1.0767，相關系數R大于0.99，表明該灘段的河道寬度呈一階分維特征。

圖4 棧橋灘河段斷面一階累計和序列

3.3 分形維數與水力要素及通航指標關系

圖5(a)、(b)分別為分析得到的縱剖面分形維數隨流量和橫剖面分形維數隨水深的變化特征。從圖中可以看到隨著流量的不斷增加，河道的分形維數逐漸降低，這是因為水流量越大，河面淹沒的蜿蜒曲折凸出的河岸越多，會使得河道越平緩，越順直，即河道長度縮短，使得分形維數也就越小。同理，若河道長度越長，分形維數也會越大。河道寬度一定時，橫剖面分形維數隨著水深的增加而增大，這是因為在相同流量下，河道的寬度取決于河道剖面的形狀，水越深河道地形越不規則，即分形維數會越大。

圖5 分形維數與水力因素關系

既然河道的縱、橫分形維數與流量、水深、流速等水力因素呈一定的相關關系，那么也可基于此基本指標進行航道通航水力指標的判定。將下面四種情況得到的最大流速進行匯總，即為該段河道的最大水流速度：①最小的通航水流量；②上游大壩工程下泄的最大水流量；③該河道的最大比降；④該河道的最小比降。

表1為宜賓-瀘州段以及瀘州至朱沱段的分形維數與流速的關系。宜賓-瀘州段河道的縱剖面分形維數在1.02～1.3之間，河道的比降在0.0257%～0.0263%之間，最大流速不應超過4.12m/s，河道橫剖面的分形維數在1.01～1.16之間，此時河道的最大流速不應超過4.18m/s；瀘州-朱沱段縱剖面分形維數處于1.035～1.31之間，河道比降處于0.0254%～0.0268%，此時最大流速不超過3.72m/s，橫剖面的分形維數處于1.01～1.14之間，最大流速不可超過3.5m/s。因此，綜合考慮該段航道的綜合情況，認為最大水流速度不應大于3.5m/s。

表1 分形維數與該段河道通航水力指標

4 結論

基于一維和二維水力計算模型，對宜賓-朱沱段的縱橫剖面分形特征進行了分析探討，結果表明：縱剖面和橫剖面分別符合二階和一階分維特性；流量越大，河道越短，縱剖面的分形維數越小，水越深，橫剖面的分形維數越越大；該段河道的通航水力指標(最大流速)應為3.5m/s。

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