邊坡形變Verhulst建模及后驗差檢驗

楊豪 劉永來 徐瀚周

摘要：基于GNSS監測數據，采用Verhulst模型對水庫邊坡區域地表沉降與時間問題進行建模研究，并以后驗差檢驗法對建模結果進行驗證。結果表明，該模型計算簡單，模型參數較少，預測精度較高，能夠有效的表征邊坡監測體的沉降變化規律。

Abstract： Based on the GNSS monitoring data， the Verhulst model is used to modeling the surface subsidence and the time problem in the slope area of the reservoir. The model test results are verified by the post-test difference method. The results show that the model is simple， the model parameters are less， the prediction accuracy is higher， which can effectively characterize the variation of slope monitoring body settlement.

關鍵詞：Verhulst模型；邊坡沉降；后驗差檢驗

Key words： Verhulst model；slope settlement；posterior difference test

中圖分類號：P258 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）12-0110-03

0 引言

隨著自然災害的頻繁發生，變形監測與數據分析已成為工程實踐的重要組成部分。在長期的斗爭中，人們逐漸認識到監測只是基礎，數據分析和預警才是關鍵[1，2]。滑坡作為重大的邊坡事故，具有較大的破壞性[3]。因此，有必要對其受力過程和變形機理進行深入的分析，建立動態預測模型，合理、科學的作出預警。

縱觀已有的研究成果，變形觀測數據分析主要包括回歸分析、灰色理論和時間序列等方法[4，5]。費爾哈斯（Verhulst）模型[6]作為灰色理論的一種特殊模型，是由德國生物學家Verhulst于1837年在研究生物繁殖規律時提出的[6]。主要用來描述具有飽和狀態的過程，即S形過程。該過程與邊坡沉降機理具有良好的對應關系。本文以此來研究水庫邊坡區域地表沉降與時間問題，以期能夠有效地反映邊坡監測體的沉降變化規律。

1 邊坡形變Verhulst建模

1.1 粗差探測與數據插補

由于形變監測數據受監測設備、外界監測環境以及觀測者主觀因素的影響，外業獲取的數據中很有可能存在粗差。因此需要對觀測數據進行預處理。

變形粗差通常滿足以下的條件[7]：

式中，et為監測值的殘差，s為標準差，k為待定參數，可由所選擇的統計判別準則和樣本特征確定。本文采用格拉布斯準則進行粗差探測：

假設存在一組等精度獨立觀測序列：x1，x2，…，xn，其算術平均值為：

則觀測序列的殘差為：

則殘差中誤差為：

m= （4）

由式（4）可知：當et>km時，認為xt中含有粗差，應予以剔除，以保證后期數據處理的精度。k=λ（α，n），k的值可根據剔除水平α和樣本數n查表求得，具體數值見相應規范。

在對含有粗差的形變監測序列進行粗差剔除后，為了不改變原始監測序列的完整性，有必要對剔除粗差后的序列進行數據插補。數據插補滿足以下條件：

①當為單點粗差時，即xt為粗差，則相應的插補值為：

xt？坩 （5）

②當為雙點粗差時，即xt，xt+1為粗差，則相應的插補值為：

xt？坩xt+1？坩 （6）

1.2 建模數據預處理

在對數據序列進行建模分析前，需要進行預處理，以保證數據的合理性。設序列為x（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），計算序列的級比為：

λ（k）=，（k=2，3，…，n） （7）

當所有的級比λ（k）都落入可容覆蓋范圍Θ=（e，e）內時，說明序列x（0）滿足建立Verhulst模型的數據要求，則可進行擬合、預測。否則，需對序列進行變換處理，常用的變換方法有加常數的平移變換。

1.3 Verhulst建模原理

設x（0）為原始數據序列，有

x（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）） （8）

x（1）為x（0）的一次累加生成（1-AGO）序列，有

x（1）=（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）） （9）

z（1）為x（1）的均值生成序列，有

z（1）=（z（1）（2），z（1）（3），…，z（1）（n）） （10）

則稱

x（0）+az（1）=b（z（1））2（11）

為Verhulst模型，a和b為參數。稱

+ax（1）=b（x（1））2 （12）

為Verhulst模型的白化方程，其中t為時間。

設Verhulst模型如上所述，若

=[a，b]T （13）

為參數列，且

B=-z（1）（2） （z（1）（2））2-z（1）（3） （z（1）（3））2 -z（1）（n） （z（1）（n））2，Y=x（0）（2）x（0）（3） x（0）（n） （14）

則參數列的最小二乘估計滿足

=[，]T=（BTB）-1BTY （15）

設Verhulst模型如上所述，則白化方程的解為

x（1）t= （16）

灰色Verhulst模型的時間響應序列為

（1）（k+1）= （17）

累減還原式為

（0）（k+1）=（1）（k+1）-（1）（k）（18）

2 后驗差檢驗

為了驗證Verhulst模型的有效性，應用后驗差檢驗法[8]對模型擬合結果進行分析。設t時刻的邊坡形變觀測值為x（0）（t），模型的擬合值為（0）（t），x為原始序列的平均值，即x=x（0）（t），e（t）為觀測值與擬合值之差，也稱為t時刻的殘差，即e（t）=x（0）（t）-（0）（t），e為其平均值，即e=e（t）。原始數據的均方差為S1=，殘差均方差為S2=，則后驗差比值C定義為：

C= （19）

小誤差概率定義為：

p=P{e（t）-<0.6745S1} （20）

C和p作為評價Verhulst模型擬合性能好壞的兩個指標，按p、C的大小，一般可將擬合精度分為4類，見表1。

3 Verhulst建模及后驗差檢驗流程

采用流程圖的形式表示Verhulst模型的計算過程如圖1所示。

4 算例與分析

以阿海水電站庫區邊坡某監測點的GNSS沉降監測數據為例（表2）。采用Verhulst模型對數據進行建模研究，以1-10期為擬合區間，11-12期為預測區間，計算結果見表2。

根據表2數據，繪制預測曲線如圖2所示。

以后驗差檢驗法對模型擬合能力進行驗證，相關指標數值及所對應的精度等級見表3。

后驗差驗證結果表明，Verhulst模型能夠有效地表征水庫邊坡區域地表沉降與時間的關系問題，且具有較好的擬合、預測能力。

5 結論

研究結果表明，Verhulst模型能夠較好地表征水庫邊坡的沉降變化情況。這主要是由于模型本身所描述的系統發展規律與水庫邊坡沉降的發生過程具有內在的一致性。因此，在實際工程中，可以依據GNSS監測水庫邊坡的沉降觀測資料，利用Verhulst模型來預測其不同時刻的沉降量。由于Verhulst模型要求的觀測數據不多，且計算較為簡單，因此，值得在實際工程中驗證與運用。

參考文獻：

[1]楊建文.變形預測組合模型建模方法研究與精度分析[D].昆明：昆明理工大學，2014.

[2]候建國，王騰軍.變形監測理論與應用[M].北京：測繪出版社，2008.

[3]張奇華，丁秀麗，鄔愛清.滑坡變形預測與失穩預報問題的幾點討論[J].中國地質災害與防治學報，2005（2）：1-7.

[4]黃聲享，尹暉，蔣征.變形監測數據處理[M].二版.武漢：武漢大學出版社，2010.

[5]伊曉東，李寶平.變形監測技術及應用[M].鄭州：黃河水利出版社，2007.

[6]王利紅，羅明奇.Verhulst模型的改進研究[J].數學的實踐與認識，2012，42（8）：113-116.

[7]劉強.測量數據處理中粗差問題的探討[J].科技情報開發與經濟，2011（5）：218-219.

[8]李紅霞，趙新華，遲海燕，等.基于改進BP神經網絡模型的地面沉降預測及分析[J].天津大學學報，2009，42（1）：60-64.