一類具非線性阻尼項的Schr?dinger方程的達布變換

李 倩, 舒 級, 楊 袁, 王云肖, 汪春江

(四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

眾所周知,非線性偏微分方程是用來描述非線性科學問題的重要模型,而演化方程的孤子解的多樣性反應出物理世界各種形式的時空結構,因此求解非線性偏微分方程具有非常重要的理論和應用價值.非線性演化方程在某些特殊情況下才能得到其顯示表達式.這些年來,科學家們發現了許多求解非線性偏微分方程的方法,如Painleve分析法[1]、tanh函數法[2]、齊次平衡法[3]、Hirota方法[4]、不變子空間法[5]、Wronskin技巧[6]、達布變換方法[7-12]、貝克隆變換法[13]和反散射方法[14]等.

研究發現,怪波現象可以用非線性Schr?dinger方程的解來描述,并且這一性質已被非線性光纖中的怪波實驗證實[15-16].怪波最初是描述海洋上出現的一種奇怪的水波,以其出現的突然性和異常的波高得名.這里的突然性是指,它出現時無任何征兆,而后又很快地消失.歷史上,有記載的怪波事件已有很多,比如它對在海洋航行的各類船只、海上油井等的致命性破壞.因為經歷過怪波災難的人們很少能有機會生還,長期以來,大家都以為是海怪造成了這些災難,直到1995年初,人們在北海直接探測到了被稱為“新年波”的怪波,才使得大家相信這是一種海洋現象而不是所謂的海怪所為[17].由于玻色凝聚體的動力學方程類似于非線性光纖中的動力學方程,可以通過研究玻色體系中的怪波動力學來獲取對怪波的一般性認識[18-19].研究表明,Schr?dinger方程具有很多非線性波解,包括亮暗孤子解、呼吸子解以及有理形式解,它們可以用來描述諸多豐富的物理現象,比如玻色凝聚體中的孤子性質和非線性光纖、波導管等中的孤子傳輸可以用它的孤子解來描述[20-21].

本文研究具有阻尼項的Gross-Pitaevskii方程

iqt+qxx+2|q|2q-

(αx-β2x2)q+iβ|q|2q=0,

(1)

其中,α、β是常數,q(t,x)是復值波函數.借鑒文獻[22-24]的方法,應用達布變換研究方程(1)的孤子解.

1 Gross-Pitaevskii方程的Lax對和達布變換

將構造方程(1)的Lax對和達布變換.由于方程(1)是可積的,可以用AKNS方法構造其Lax對

φx=Mφ, φt=Nφ,

(2)

其中

這里*表示復共軛,λ是復值譜參數,

A=-2iλ2+2iλβx+i|Q|2-

B=2λQ+iQx-2βxQ,

D=2iλ2-2iλβx-i|Q|2+

下面考慮上述譜問題的一個規范變換

φ[1]=Tφ,

(3)

將線性問題(2)轉化為

(4)

并且M、N與M[1]、N[1]具有相同的形式,除了將M、N中的Q、Q*換成M[1]、N[1]中的Q[1]、Q[1]*.將(4)式代入(3)式中,知道T滿足

M[1]T=Tx+TM,

(5)

N[1]T=Tt+TN,

(6)

其中T是λ的多項式形式變換,即

其中a1、b1、c1、d1、a、b、c、d是關于x和t的實函數.由(5)和(6)式知

對比上式λk(k=0,1,2)的系數,得到:

當k=2時,

b1=c1=0.

(7)

當k=1時,

a1x=d1x=0,

ax=Q[1]c+Q*b,

bx=Q[1]d+Qa,

-2ib+Q[1]d1-Qa1=0,

2ic+Q[1]*a1-Q*d1=0.

(8)

當k=0時,

cx=-Q[1]*a+Q*d,

dx=-Q[1]*b+Qc.

(9)

由(8)式的第一式知a1、d1是常數,不失一般性,取a1=d1=1,因此方程(3)的達布變換可以寫成下列形式[25]

φ[1]=Tφ=(λI-S)φ,

(10)

其中,λ是復的譜參數,I是2×2的單位矩陣,S是非奇異矩陣.

將M、M[1]和T代入(5)式,比較譜參數λ的系數可得

其中

經過一次達布變換[26],新的特征函數與原來的特征函數有如下關系:

Q[1]=Q-2is12,

-Q[1]*=-Q*+2is21,

(11)

且滿足限制條件

(12)

為了得到矩陣S的表達式,可以通過Lax對的解來定義矩陣

S=HΛH-1,

(13)

而

又由(13)式可知

其中Δ=|f1|2+|f2|2,這時可以驗證矩陣S滿足限制條件(12)式.

由(11)和(12)式可以得到方程的一次達布變換

(14)

(15)

其中

最后,方程的n次達布變換的行列式為

(16)

其中

2 方程的孤子解

(17)

(18)

(19)

(20)

可以解得

(21)

(22)

其中

Q[1]=

顯然得到方程的解為

q[1]=

當α=1、β=1、n=1和c=-0.5i時,孤子解q[1]如圖1.

圖 1 孤子解

討論一類具非線性阻尼項的GP方程的達布變換和孤子解,該方程在玻色-愛因斯坦凝聚中有重要意義.首先通過AKNS方法構造Lax對并推導出達布變換公式,再應用此公式求得方程在零種子解情形下的孤子解.下一步,將從方程的非零種子解出發進行求解,根據線性偏微分方程的疊加原理,將特征函數線性疊加組成新的特征函數,從而得到方程的呼吸子解,并對此呼吸子解進行泰勒級數展開,最后得到怪波解.

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