具有強迫的Dullin-Gottwald-Holm方程整體弱解的唯一性

李 彬, 朱世輝, 冷禮輝

(1. 四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066; 2. 西華大學 理學院, 四川 成都 610039)

本文主要研究如下具有強迫項的DGH方程

ut-a2utxx+kux+3uux+γuxxx-

a2(2uxuxx+uuxxx)-λu=0,

(1)

u(0,x)=u0(x),

(2)

經典的不帶強迫項的DGH方程是由Dullin[4]提出;文獻[5]在Hs,s≥3/2中,利用Kato半群理論得到了經典DGH方程強解的局部適定性,并討論了一些波爆破的充分條件;進一步地,文獻[6]在Hs,s≥3/2中,利用經典DGH方程的雙哈密頓結構和Kato理論,證明了Cauchy問題(1)和(2)整體解的存在性及爆破現象.關于經典的DGH方程爆破解的研究成果較多,可參見文獻[2,5,7-10].最近,文獻[11]利用特征線法和平衡律,得到了當u0∈H1(R)時,C-H方程整體弱解的唯一性,本文將在此基礎上對方程(1)整體弱解的唯一性進行探究.

注意到:當k=0=γ,a=1以及λ=0時,方程(1)為經典的Camassa-Holm方程.文獻[12]使用逆散射方法討論了CH方程的可積性理論.文獻[13]研究了CH方程在Sobolev空間Hs,s>3中強解的局部適定性.文獻[14]在空間Hs(R)(s≥3/2)中得出了CH方程解的局部適定性.

文獻[15-16]研究了H1中CH方程整體弱解的存在性和唯一性.文獻[17-18]利用特征線方法得到CH方程整體弱解的存在性.

ut+uux+Px+kQx-λQ=0,

(3)

其中奇異積分算子P、Q定義為:

(4)

本文將研究Cauchy問題(3)和(2)的弱解.為進一步探索方程(3)的結構,不妨設u為方程(3)的光滑解.對方程(3)關于x求偏導數,并兩端同時乘以2ux,可得

k(Q-u)-a2λQx)=0.

(5)

由于(5)式的第3項僅僅只含有ux,因此把(5)式叫做平衡律(盡管其中也涉及到一些非線性項[17].此平衡律在研究經典的CH方程整體弱解的存在性中起到關鍵作用[17-18].盡管DGH方程(3)滿足平衡律(5),由于強迫項的作用,DGH方程(3)不滿足能量守恒律,即

其中C為常數,且在方程(3)出現了新的奇異算子Q.由文獻[11]知道柯西問題(3)和(2)存在整體弱解,自然而然,需要考慮該解的唯一性如何?為此,將利用文獻[11]的結果和特征線法克服上述問題.本文的主要結果如下:

定理1設k,λ,a∈R,當函數u0∈H1(R)且關于x為絕對連續時,柯西問題(3)和(2)存在唯一的整體弱解,滿足

k(Q-u)-a2λQx)θ}dxdt+

(7)

其中Γ={(t,x)|t,x∈R},且有如下性質成立:

(i) 在t的任意有界區域內,u(t,x)是關于t和x的1/2-H?lder連續的.

(ii) 在L2范數意義下,對于任意的t,映射t→u(t,x)是Lipchitz連續的.

k(Q-u)-a2λQx)θ}dxdt-

(8)

(iv) 當n→+∞時,‖u0,n-u0‖H1→0.相應地,當(t,x)在一個有界區域內時,un(t,x)一致收斂到u(t,x).

1 特征變換

本文首先回顧(3)和(2)式整體弱解的存在性.引入一個新的坐標(t,ξ),定義如下:

(t,y)→(t,ξ),

(9)

方程(3)的特征方程為

y(0,ξ)=y′(ξ).

(10)

對任意的(t,y)∈R×R,ξ=ξ(t,y)有ξt+uξy=0.

定義新的變量

(11)

利用三角不等式的相關性質有

(12)

進而,可求得方程(3)在新的坐標系(t,ξ)以及新的變量(u,v,w)下的表達式.由方程(3)可得

由方程(3),并運用q的性質(ii),可得

對方程(5)關于t求積分可得

[u(1+a2u2x)]xdx,

運用方程(3),并對上式關于ξ求偏導數可得

由此將方程(3)轉化為

(13)

與此同時,給出u、v、w在新坐標系下的初值:

w(0,ξ)=1,u(0,ξ)=u′(y′(ξ)),

(14)

其中,u(t,ξ)=u(t,y(t,ξ)),P(t,ξ)=P(t,y(t,ξ)),Px(t,ξ)=Px(t,y(t,ξ)),Q(t,ξ)=Q(t,y(t,ξ)),Qx(t,ξ)=Qx(t,y(t,ξ)),以及P、Q、Px、Qx在新坐標系下的形式為

假設y(t,ξ′)=x,則

因而P、Q、Px、Qx形式可變為

(15)

(16)

(17)

(18)

其中,需要注意到等價的半線性方程組(13)右端項關于v做2π的平移,方程保持不變的.因此,在這里僅假設v∈[-π,π]進行證明即可.由文獻[11],運用壓縮映射理論和一些新的估計,可得到ODE方程組(13)和(14)局部解的存在性;且該局部解可以延拓為一個整體解;進一步地得出原方程整體弱解的存在性,同時該整體弱解滿足弱形式(7)和(8).

2 方程整體弱解的唯一性

本章將在t≥0的條件下,討論(3)和(2)式整體弱解的唯一性,進而完成定理1的證明(當t<0時,可類似得出).

x(t,η)-μ(t){(-∞,x)}≤η≤

x(t,η)+μ(t){(-∞,x]}.

(19)

x(t,η)+μ(t){(-∞,x(t,η))}.

(20)

下面考慮x、u是否為Lipchitz連續函數,為此引入下述命題:

命題2.1設u=u(t,x)是方程(3)的弱解且滿足(8)式.對于任意的t≥0有:

(i)η→x(t,η)和η→u(t,η):=u(t,x(t,η)),由(20)式可知(19)式所定義的形式依然保持著Lipchitz連續(伴隨Lipchitz常數1).

(ii)t→x(t,η)是Lipchitz連續的,且Lipchitz常數依賴于‖u0‖H1.

證明(i) 由(20)式中定義的η可得,對任意的t≥0,x→η(t,x)都是右連續且嚴格遞增的,且其逆映射η→x(t,η)是一個好的定義,并且也是連續和遞增的.對于任意的η1<η2有

η2-η1=x(t,η2)-x(t,η1)+

x(t,η2)-x(t,η1)+

μ(t){(x(t,η1),x(t,η2)},

(21)

且x(t,η2)-x(t,η1)≤η2-η1,映射η→x(t,η)是Lipchitz連續的(伴隨Lipchitz常數1).一方面,對于η→u(t,η),

當η1<η2時,

a|u(t,x(t,η2))-u(t,x(t,η1))|≤

μ(t){(x(t,η1),x(t,η2))}.

另一方面,由(21)式可知η→u(t,η)是Lipchitz連續的(且Lipchitz常數1/2<1).

‖u2‖L2+a2‖λQx‖L2)≤C0,

其中C0僅僅依賴于‖u‖H1.對任意的t>τ,由(8)式可得

μ(t){(-∞,y-C∞(t-τ))}≤

μ(τ){(-∞,y)}+

μ(τ){(-∞,y)}+C0(t-τ).

設y-(t)=y-(C∞+C0)(t-τ),則有

y-(t)+μ(t){(-∞,y-(t))}≤

y-(C∞+C0)(t-τ)+

μ(t){(-∞,y)}+C0(t-τ)≤

τy-μ(τ){(-∞,y)}≤η.

進而對任意的t>τ有x(t,η)≥y-(t),同理可得

x(t,η)≤y+(t):=y+(C∞+C0)(t-τ).

從而映射t→x(t,η)為一致Lipchitz連續.

第二步:如下命題表明:特征線可以由一個積分方程唯一確定,而結合特征方程和平衡律可以唯一確定一個積分方程,因此它是研究方程(3)保守解的唯一性的關鍵.

命題2.2設u=u(t,x)是方程(3)的弱解且滿足(8)式,對任意的x0∈R,存在一個一致Lipchitz連續映射t→x(t),使得對所有的t≥0,有

(22)

以及

x(0)=x0,

(23)

且對任意的0≤τ≤t有

u(t,x(t))-u(τ,x(τ))=

(24)

證明首先,選取適當的點(t,η(·))和以x0為初值的特征線t→x(t)=x(t,η(t)),其中η(·)為一待定映射.將(22)和(23)式相加,并對其關于t積分得

(25)

其中

對任意的t≥0,由x→u(t,x),x→P(t,x)和x→Qx(t,x)皆屬于H1(R)可知:(26)式所定義的函數η→J(t,η)為一致有界且絕對連續,且

Jη=[ux+2(u2-P-k(Q-u)+

對任意的τ≥0,若‖η-η0‖=δ>0,那么|η1(τ)-η2(τ)|≤δe2Cτ.由J為Lipchitz連續可得

|[θη1](t)-[θη2](t)|≤

進而映射[θη]是嚴格壓縮的,運用壓縮映射原理可知:存在唯一的不動點.進而(26)式有唯一的解:t→η(t),相應的函數t→x(t,η(t))滿足(22)和(23)式.再由(25)式可以確定(22)式的一條滿足Lipchitz連續的特征線x(t).從而映射t→x(t):=x(t,η(t))是Lipchitz連續函數,且為(25)式提供了唯一解,該唯一解由2個Lipchitz連續函數構成.為了證明這個解滿足(22)式,需要說明:對任意的τ>0,(22)式保持如下性質:

(i)x(·)對t=τ是可求導的;

(ii) 測試函數μ(τ)是絕對連續的.

其中ε0>0(當ε0<0時可以做相似的處理).為了導出矛盾,可以看到:對任意的t∈(τ,τ+δ],以及足夠小的δ>0有

x+(t):=x(τ)+

(t-τ)[u(τ,x(τ))+ε0]

(27)

同時,如果函數θ的緊支集滿足Lipchitz連續,則(8)式還是成立.對任意小的>0,

L

設?(s,y):=min{L(s,y),P(s)},并將其運用到(8)式有

k(Q-u)+a2λQx)ux?]dxdt=0.

(29)

當s∈[τ+,t-],以及u為H?lder連續時,有?和u(s,x)

即當t→τ時,

且這族測量函數μ(t)關于t的連續依賴性在弱拓撲下是否依測度收斂.當→0時,有τ,t?T,則

k(Q-u)+a2λQx)uxdxds+o1(t-τ), (30)

k(Q-u)+a2λQx)ux)dxds|≤

一方面,將(27)和(30)式代入到η(t)里,斷言:對任意的τ

η(t)>x(τ)+(t-τ)[u(τ,x(τ))+ε0]+

k(Q-u))dxds+o1(t-τ).

(31)

另一方面,由(25)和(26)式可知

η(t)=η(τ)+(t-τ)[u(τ,x(τ))+

(32)

其中

x(τ)+(t-τ)[u(τ,x(τ))+ε0]+

化簡可得:當t→τ時,有ε0≤0,這與條件矛盾.

?t+uux?x-(u2-P-k(Q-u)+

(33)

同理,在(33)式中對任意測試函數?,其緊支集都是Lipchitz連續.對任意小的>0,考慮函數

進一步,定義ψ(s,y):=min{(s,y),P(s)},其中P(s)為(28)式所定義的形式.取?=ψ,并讓→0.由(-Px-kQx+λQ)連續性可得

(34)

對任意的s∈[τ-,t+],

x(s)

即

進而

(35)

由(34)和(35)式得(24)式是成立的.

最后,證明x(t)的唯一性.假設存在2個不同的x1(t)和x2(t),且都滿足(22)和(23)式;選擇適當的可測函數η1和η2使得x1(t)=x(t,η1(t))和x2(t)=x(t,η2(t));在相同初值x(0)=x0下,η1(·)和η2(·)滿足(25)式,但這與η的唯一性矛盾.

第三步:下面對η和u賦予一些重要的性質.

命題2.3如果u=u(t,x)為方程(3)的一個弱解且滿足(8)式,那么

(i) 映射(t,η)→u(t,η):=u(t,x(t,η))為Lipchitz連續函數,且Lipchitz常數僅僅依賴于‖u0‖H1;

(ii) 設t→η(t;τ,η0)是積分方程(25)式的解,且滿足

(36)

斷言:存在一個常數C,使得對于任意的η1,0,η2,0,t,τ≥0,其相應的解都滿足

|η(t;τ,η1,0)-η(t;τ,η2,0)|≤

eC|t-τ||eta1,0-η2,0|.

(37)

證明(i) 由(20)、(24)和(25)式可得

|u(t,x(t,η0))-u(τ,η0)|≤

|u(t,x(t,η0))-u(t,x(t,η(t)))|+

|u(t,x(t,η(t)))-u(τ,x(τ,η(τ)))|≤

kQx+λQ‖L∞≤C(t-τ),

其中

k‖Qx‖L∞+‖λQ‖L∞>0

僅僅依賴于‖u0‖H1.

(ii) 由J為Lipchitz連續函數可知

|η(t;τ,η1,0)-η(t;τ,η2,0)|≤|η1,0-η2,0|+

利用Gronwall不等式可以得到(37)式.

第四步:給出定理1.2的證明.

證明首先,由命題2.1和命題2.3可知:映射(t,η)→(x,u)(t,η)為Lipchitz連續函數.同理可得:映射η→J(t,η):=J(t,x(t,η))和η→P(t,η):=P(t,x(t,η)),η→Px(t,η):=Px(t,x(t,η)),η→Q(t,η):=Q(t,x(t,η))和η→Qx(t,η):=Qx(t,x(t,η))也是Lipchitz連續函數的.由Rademacher定理[21]可知:偏導數xt、xη、ut、uη、Jη、Pη、Qη、(Px)η和(Qx)η幾乎處處存在,且點(t,η)關于這些偏導數都是勒貝格點.稱t→η(t,η0)是積分方程(25)式的唯一解.由命題2.2可知:對幾乎所有的η0有

(JC) 對所有的t>0,點(t,η(t,η0))關于所有的偏導數xt、xη、ut、uη、Jη、Pη、Qη、(Px)η和(Qx)η都為勒貝格點.而且對所有的t>0有xη(t,η(t,η0))>0.

如果(JC)保持上述性質,那么就說t→η(t,η0)有一個很好的特性.進一步地,尋求這樣的一個常微分方程:有一個很好的特性來描述的數量uη和xη.如命題2.3所示,記t→W(t):=η(t;τ,η0)為方程(36)式的解.如果τ,t?T,假設W(t)有一個好的性質,且對η0是可微的,那么

其次,對

關于η0求偏導:

(39)

同理,對(24)式關于η0求偏導有

利用(38)～(40)式得

特別地,在(41)式方括號內的左邊的函數是絕對連續的.因為

根據(41)式可得

其中第一個方程是由(41)式的前2個方程得到,第二個方程是由(40)式第一個和第三次方程得到.

第二,回到起始坐標(t,x),且ux的一條好的特征曲線.對于任意的(τ,x0),τ?T,設映射x→ux(τ,x)的初值x0為勒貝格點,讓η0滿足:x0=x(τ,η0),并且t→W(t)有一個很好的性質,使得(JC)保持相應的性質.當xη>0時,有

即如果xη(τ,η0)>0,且這條特征線經過點(τ,x0),那么偏導數ux可進行如下計算:

利用(39)和(40)式有:當xη≠0時,映射t→ux(t,x(t,W(t)))是絕對連續的,且滿足(在計算時,注意乘以

(43)

引入函數v

有

(44)

下面,v將被視為一個定義在單位圓內的映射S:=[-π,π].表明,存在一條恰當的特征線,使得映射t→v(t):=v(t,x(t,η(t;τ,η0)))是絕對連續的,且滿足

(45)

第三,設u=u(t,x)為方程(3)的整體弱解且滿足(8)式.如先前分析:t、η、x、u、v滿足半線性系統

重述(4)及(26)式中所定義的P、Q和J,且函數P、Px、Q和Qx滿足上述η的條件.

以及相應的初值:對任意的η0∈R,

其中所有系數都是Lipchitz連續的,則對任意的t≥0,x∈R,初值問題(46)和(47)有整體唯一解.

u(t,x)=u(t,η*(t,x))=

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