基爾霍夫型吊橋方程指數(shù)吸引子的存在性

賈 瀾, 馬巧珍

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

設(shè)Ω?R2是具有光滑邊界?Ω的有界開(kāi)區(qū)域,考慮下面的初邊值問(wèn)題

指數(shù)吸引子的存在性，其中,p是一個(gè)恰當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù),α>0,β>0,k2u+為恢復(fù)力,k2為彈力系數(shù),g∈L2(Ω).方程(1)是文獻(xiàn)[1]作為非線性分析的新問(wèn)題重新提出的.吊橋方程解的漸近行為已被諸多學(xué)者研究,可參見(jiàn)文獻(xiàn)[2-15]等;文獻(xiàn)[2]研究了方程(1)在非自治情形下,即外力項(xiàng)g與時(shí)間變量有關(guān)時(shí)的強(qiáng)全局吸引子的存在性;文獻(xiàn)[3]討論了該方程在強(qiáng)空間中的強(qiáng)解和全局吸引子的存在性;文獻(xiàn)[4]得到了非自治吊橋方程的拉回吸引子的存在性;隨后,文獻(xiàn)[5]證明了帶非線性阻尼的吊橋方程全局吸引子的存在性;最近,文獻(xiàn)[6]利用Lyapunov函數(shù)的方法得到了帶有線性記憶的吊橋方程的全局吸引子;文獻(xiàn)[7]獲得了吊橋方程指數(shù)吸引子的存在性.本文繼續(xù)關(guān)注吊橋方程(1)的指數(shù)吸引子,從以下2個(gè)方面推廣和改進(jìn)文獻(xiàn)[7]的結(jié)果.首先,從模型上來(lái)說(shuō),文獻(xiàn)[7]中要求p=β=0,而本文中p是一個(gè)恰當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù),且‖▽u‖2Δu是非線性的,這不僅使方程更加廣泛,也使一些具體的估計(jì)更加復(fù)雜.其次,非線性項(xiàng)滿足的耗散性條件比文獻(xiàn)[7]的弱.

1 泛函集和預(yù)備結(jié)果

不失一般性,記H=L2(Ω),并賦予一般的內(nèi)積〈·,·〉和范數(shù)‖·‖.更一般地,定義Hr=D(Ar/4),?r∈R,并賦予其內(nèi)積為〈u,v〉r=〈Ar/4u,Ar/4v〉.用‖·‖r=‖Ar/4‖表示由上面的內(nèi)積誘導(dǎo)的Hr的范數(shù).特別地

D(A0)=H,D(A1/2)=V,
D(A)={u∈H4(Ω):u|?Ω=Δu|?Ω=0},

其中,A=Δ2,A1/2=-Δ.由緊嵌入Hr+1?Hr并結(jié)合Poincaré不等式得

(2)

其中λ1>0是A的第一特征值.

為了證明本文的主要結(jié)論,假設(shè)非線性函數(shù)f∈C2(R,R)并且滿足下面的條件:

(3)

f′(s)≤C(1+|s|p), ?p≥1,
s∈R.

(4)

除此以外,還需要下面一些抽象結(jié)果.

定義1[8](指數(shù)吸引子) 設(shè){S(t)}t≥0為完備度量空間X中的半群,集合M∈X稱為半群{S(t)}t≥0的指數(shù)吸引子,如果:

(i) 集合M在X中緊且有有限分形維數(shù);

(ii) 集合M為正不變的,即S(t)M?M;

(iii) 集合M?X為半群{S(t)}t≥0的指數(shù)吸引集,即對(duì)每一個(gè)有界集B∈X,存在常數(shù)k=k(B),l>0,使得

dist(S(t),B)≤ke-lt.

定義2[9](加強(qiáng)的平坦性條件) 設(shè)X為一致凸的Banach空間,對(duì)任意的有界子集B?X,存在X的有限維子空間X1?X及k、l>0和T>0,使得:

引理1[9]設(shè){S(t)}t≥0為完備度量空間X中的半群,B為{S(t)}t≥0在空間X中的有界吸收集,則以下條件等價(jià):

(ii) 半群{S(t)}t≥0在X中擁有指數(shù)吸引子.

引理3[9]設(shè)X為一致凸Banach空間,{S(t)}t≥0為X中的強(qiáng)連續(xù)或強(qiáng)弱連續(xù)半群,則{S(t)}t≥0在X中擁有指數(shù)吸引子,如果滿足:

(i) {S(t)}t≥0在X中存在有界吸收集B?X,

(ii) {S(t)}t≥0滿足加強(qiáng)的平坦性條件.

引理4[10-11]假設(shè)條件(3)和(4)成立,p∈R,α>0,β>0,若g∈L2(Ω),u1∈V，u2∈H,則問(wèn)題(1)存在唯一解u滿足

u∈C([0,T],V),
ut∈C([0,T],H), ?T≥0,

并且{u1,u2}→{u(t),ut(t)}在V×H上連續(xù).

利用引理4,可以定義與問(wèn)題(1)相關(guān)的C0半群S(t),即

S(t):{u1,u2}→{u(t),ut(t)},t≥0,

且S(t)將V×H映射到它本身.

2 指數(shù)吸引子的存在性

由引理3,為了證明指數(shù)吸引子的存在性,首先需要下面的結(jié)論.

定理1(有界吸收集) 設(shè)p∈R,α>0,β>0,g∈L2(Ω),f∈C2(R;R)滿足(3)和(4)式,則與問(wèn)題(1)相關(guān)的解半群S(t)在V×H中存在有界吸收集.

證明選取0<ε<1,用v=ut+εu在H和方程(1)做內(nèi)積得

(5)

利用Poincaré不等式、H?lder不等式及Young不等式可得

(6)

另外

(7)

并且

(8)

將(6)～(8)式代入(5)式得

(9)

令

(10)

(11)

有

(12)

則

(13)

其中

P(0)=‖Δu1‖2+‖u2+εu1‖2-
p‖u1‖4+k2‖u+1‖2+
ddx.

(14)

由條件(3)和F(u)的定義知,存在2個(gè)正常數(shù)K1、K2及η=η(ε)>0使得

f(s)s+ηs2+K1≥0, ?s∈R,

(15)

F(s)+ηs2+K2≥0, ?s∈R.

(16)

結(jié)合(2)、(9)～(11)、(15)～(16)式及Young不等式有

(17)

(18)

P(t)≥C1(‖Δu‖2+‖v‖2+
‖▽u‖4+‖u+‖2)-M1,
Q(t)≥C1(‖Δu‖2+‖v‖2+
‖▽u‖4+‖u+‖2)-M2,

(19)

由(13)和(19)式可得

(20)

‖Δu(t0)‖2+‖v(t0)‖2+‖▽u(t0)‖4+
‖u+(t0)‖2≤K.

(21)

則B0是半群{S(t)}t≥0的有界吸收集.

引理5[9]設(shè)p∈R,α>0,β>0,f∈C2(R;R)滿足(3)和(4)式,則f:H2(Ω)→H1,p(Ω),?p≥1為緊連續(xù).

定理2設(shè)p∈R,α>0,β>0,g∈L2(Ω),f∈C2(R;R)滿足(3)和(4)式,則與問(wèn)題(1)對(duì)應(yīng)的解半群S(t)在V×H中滿足加強(qiáng)的平坦性條件.

證明設(shè)λj,j=1,2,…,n為算子A在空間H中的特征值,滿足0<λ1<λ2≤…≤λj≤…,且當(dāng)j→∞時(shí),λj→∞;ωj為特征值λj對(duì)應(yīng)的特征向量,它們構(gòu)成空間H的一組正交基,同時(shí)也是空間V的正交基,滿足Aωj=λjωj,?j∈N.

設(shè)Hm=span{ω1,ω2,…,ωm},Pm:H→Hm為正交投影.對(duì)?(u,ut)∈V×H,作如下分解(u,ut)=(u1,u1t)+(u2,u2t),其中(u1,u1t)=(Pmu,Pmut).

選取0<ε<1,且0<ε(α-ε)<λ1.用v2(t)=u2t(t)+εu2(t)作為試驗(yàn)函數(shù)與(1)式在空間H中作內(nèi)積,計(jì)算得

(22)

由于

〈f(u),v2〉≤(α-ε)/4‖v2‖2+
(α-ε)-1‖(I-Pm)f(u)‖2,

(23)

〈g(x),v2〉≤(α-ε)/4‖v2‖2+
(α-ε)-1‖(I-Pm)g(x)‖2,

(24)

(α-ε)‖v2‖2-ε(α-ε)〈u2,v2〉≥
(α-ε-α2ε/2λ1)‖v2‖2-ε/2‖Δu2‖2,

(25)

所以,結(jié)合(22)～(25)式,根據(jù)(4)式可得

(26)

定義泛函

則利用(2)式即得

這樣,由(26)式可得

(27)

(28)

(29)

所以,當(dāng)t≥t1時(shí),有

(30)

根據(jù)Gronwall引理,可得

(31)

再結(jié)合

其中C是與p、λ1、ε有關(guān)的恰當(dāng)?shù)恼?shù),即得

因此,問(wèn)題(1)的解半群{S(t)}t≥0在空間V×H中滿足加強(qiáng)的平坦性條件.

于是,由引理3、定理1和定理2即得如下的主要結(jié)論.

定理3(指數(shù)吸引子) 設(shè)p∈R,α>0,β>0,g∈L2(Ω),f∈C2(R,R)滿足(3)和(4)式,則與問(wèn)題(1)的相關(guān)的解半群{S(t)}t≥0在空間V×H中擁有指數(shù)吸引子.

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