一類帶有積分邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在性

賈建梅, 王文霞, 姚佳欣

(太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 山西 晉中 030600)

分?jǐn)?shù)階微積分的概念可以追溯到1695年,由于沒有得到某種物理意義的認(rèn)同,其發(fā)展非常緩慢.近年來,由于其在光學(xué)和熱學(xué)系統(tǒng)、流變學(xué)及材料和力學(xué)系統(tǒng)、控制和機(jī)器人等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用,分?jǐn)?shù)階微分方程的研究得到快速發(fā)展,如今已成為微分方程的重要研究領(lǐng)域,受到國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注[1-3].帶有積分邊界條件的微分方程起源于物理、化學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué)等領(lǐng)域,如熱力學(xué)、等離子物理、流體力學(xué)、化學(xué)工程等.需要指出的是它包含了兩點(diǎn)、三點(diǎn)和多點(diǎn)邊值問題作為特例,因此,積分邊值問題的研究具有重要的理論與應(yīng)用意義.目前,很多學(xué)者對帶有積分邊界條件的分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行了研究,獲得了許多好的結(jié)果,參見[4-6]及其參考文獻(xiàn).最近,文獻(xiàn)[7]研究如下問題解的存在性

(1)

本文討論如下積分邊值問題

(3)

1 Green函數(shù)與引理

首先,給出分?jǐn)?shù)階微積分的一些基本概念.

定義1.1[10]連續(xù)函數(shù)f:(0,∞)→R的α(>0)階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分定義為

I

其中,等式的右端在(0,∞)有定義.

定義1.2[10]連續(xù)函數(shù)f:(0,∞)→R的α(>0)階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)定義為

D

其中,n是大于等于α的最小整數(shù),等式的右端在(0,∞)有定義.

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…cntα-n,

其中,ci∈R,i=1,2,…,n,n-1<α≤n.

引理1.2[10]設(shè)α>0,u∈L(0,1)∩C(0,1),則

Iα0+Dα0+u(t)=u(t)+c1tα-1+c2tα-2+…cntα-n,

其中,ci∈R,i=1,2,…,n,n-1<α≤n.

引理1.3設(shè)y(t)∈C[0,1],3<α≤4,a≥0,b≥0,a+b≠0,0≤ληα

(4)

有唯一解

其中,格林函數(shù)G(t,s)定義為

其中，p(s)=aα+(α2-α)b-ληα(1-s).

證明由引理1.2可得,邊值問題(4)等價(jià)于積分方程

c1tα-1+c2tα-2+c3tα-3+c4tα-4,

其中,ci∈R,i=1,2,3,4.

由u(0)=u′(0)=u″(0)=0可得c2=c3=c4=0.因此,

則

(5)

(α-1)c1,

(6)

(7)

故

所以,當(dāng)t≤η時(shí),

當(dāng)t≥η時(shí),

證畢.

引理1.4Green函數(shù)有如下性質(zhì):

3)p(s)>0且p(s)在[0,1]上為增函數(shù);

4)G(t,s)>0,?t,s∈(0,1).

證明當(dāng)s≤t,s≤η時(shí),

(α2-α)btα-1(1-s)α-2-p(0)(t-s)α-1-

λ(η-s)αtα-1}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-1-p(0)(t-s)α-1-

λη

(α2-α)btα-1(1-s)α-1}≥

(α2-α)btα-1(1-s)α-1-ληα(1-s)αtα-1-

p(0)(t-s)α-1+(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}=

p(0)(t-s)α-1+(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-2-

p(0)(t-s)α-1-λ(η-s)αtα-1}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-1-p(0)(t-s)α-1-

λ(η-s)αtα-1+(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}≤

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s+ληα[tα-1(1-s)α-1-

t

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s+

ληαtα-1(1-s)

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s+ληα(1-s)

當(dāng)0≤η≤s≤t≤1時(shí),

(α2-α)btα-1(1-s)α-2-p(0)(t-s)α-1}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-1-p(0)(t-s)α-1+

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}≥

(α2-α)btα-1(1-s)α-2-p(0)(t-s)α-1}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-1-p(0)(t-s)α-1+

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}≤

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s+ληαtα-1(1-s)α-1}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s+ληαtα-1(1-s)α-1}≤

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s+ληαtα-1(1-s)α-1}≤

當(dāng)0≤t≤s≤η≤1時(shí),

(α2-α)btα-1(1-s)α-2-λ(η-s)αtα-1}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-1-λtα-1η

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}≥

(α2-α)btα-1(1-s)α-1-ληαtα-1(1-s)α+

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-2-λ(η-s)αtα-1}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-1-λ(η-s)αtα-1+

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}≤

當(dāng)t≤s,η≤s時(shí),

(α2-α)btα-1(1-s)α-2}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}≥

(α2-α)btα-1(1-s)α-2}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}≤

若結(jié)論1)和2)成立,由p(s)的表示式易知結(jié)論3)成立.而結(jié)論4)可由結(jié)論1)獲得.證畢.

(i) ‖Sω‖≤‖ω‖,ω∈P∩?Ω1,‖Sω‖≥‖ω‖,ω∈P∩?Ω2;

(ii) ‖Sω‖≥‖ω‖,ω∈P∩?Ω1,‖Sω‖≤‖ω‖,ω∈P∩?Ω2;

2 正解的存在性

記

f0=

f0=

f∞=

f∞=

δ=

M=max

m=min

本文將使用如下條件:

(P)f(t,u):[0,1]×[0,∞)→[0,∞)是連續(xù)函數(shù);

令E=C[0,1],令范數(shù)‖u‖=則E為Banach空間.令

則P為E中的錐.

證明類似于文獻(xiàn)[6]的證明，本結(jié)論易證.

定理2.1假設(shè)條件(P)、(A1)和(A3)成立,則BVP(3)至少有2個(gè)正解u1和u2且0≤‖u1‖

證明由條件(A1)知,選取>0,滿足f0->,?0

f(t,u)>(f0-)u>u,

?t∈[0,1], 0≤u≤r0.

設(shè)r∈(0,r0),Ωr={u∈P|‖u‖

因此

r=‖u‖,

因此,‖Au‖>‖u‖,?u∈?Ωr.

f(t,u)>(f∞-)u>u,

?t∈[0,1],u≥H.

取R>R0max設(shè)ΩR={u∈P|‖u‖

R=‖u‖,

即‖Au‖>‖u‖,?u∈?ΩR.

設(shè)Ωp={u∈P|‖u‖

因此

s(1-s)α-2)f(s,u(s))ds<

p=‖u‖.

即‖Au‖<‖u‖,?u∈?Ωp.

綜上,由引理1.5知,結(jié)論成立.證畢.

定理2.2假設(shè)條件(P)、(A2)和(A4)成立,則BVP(3)至少有2個(gè)正解u1和u2且0≤‖u1‖

證明由條件(A2)知,選取>0,滿足f0+<,?0

f(t,u)≤(f0+)u

?t∈[0,1], 0≤u≤r0.

設(shè)r∈(0,r0),Ωr={u∈P|‖u‖

因此

f(t,u)≤(f∞+)u

?t∈[0,1],u≥H.

f(t,u)≤

?u∈(0,R),t∈[0,1].

則對于?u∈P且‖u‖=R,有

s(1-s)α-2)f(s,u(s))ds≤

(f∞+)RMs(1-s)α-2(2-s)ds<

f(t,u)≤L, ?u≥0,t∈[0,1],

因此,設(shè)ΩR={u∈P|‖u‖

設(shè)Ωp={u∈P|‖u‖

進(jìn)而

故

p=‖u‖,

即‖Au‖>‖u‖,?u∈?Ωp.

綜上,由引理1.5知結(jié)論成立.證畢.

推論2.4假設(shè)條件(P)成立,且f0=∞,f∞=0(次線性),則BVP(3)至少有一個(gè)正解.

推論2.6假設(shè)條件(P)成立,且f0=0,f∞=∞(超線性),則BVP(3)至少有一個(gè)正解.

例2.1邊值問題

(8)

至少有2個(gè)正解u1和u2且0≤‖u1‖<1<‖u2‖.

事實(shí)上,設(shè)f(t,u)=uλ(t)+uμ(t),則

M=max

取p=1,則對0≤u≤p有

f(t,u(t))≤pλ+pμ=2<=p,

由定理2.1及注1知,邊值問題(8)至少存在2個(gè)正解u1和u2且滿足0≤‖u1‖<1<‖u2‖.

[1] XU X X, JIANG D Q, YUAN C J. Multiple positive solutions for the boundary value problem of a nonlinear fractional differential equation[J]. Nonlinear Anal:TMA,2009,71(10):4676-4688.

[2] BAI Z B. On positive solutions of a nonlocal fractional boundary value problem[J]. Nonlinear Anal:TMA,2010,72(2):916-924.

[3] ZHAO J F, GENG F J, ZHAO J F, et al. Positive solutions to a new kind Sturm-Liouville-like four-point boundary value problem[J]. Appl Math Comput,2010,217(2):811-819.

[4] WANG X, LIU X P, DENG X J. Existence and nonexistence of positive solutions for fractional integral boundary with two disturbance parameters[J]. Boundary Value Problems,2015,2015:186.

[5] JIA M, LIU X P. The existence of positive solutions for fractional differential equations with integral and disturbance parameter in boundary conditions[J]. Abstr Appl Anal,2014,2014:1-14.

[6] HE Y. Existence and multiplicity of positive solutions for singular fractional differential equations with integral boundary value conditions[J]. Adv Difference Equ,2016,2016:1-14.

[7] CABADA A, WANG G T. Positive solutions of nonlinear fractional differential equations with integrsl boundary value conditions[J]. J Math Anal Appl,2012,389(1):403-411.

[8] WANG L, ZHANG X Q. Existence of positive solutions for a class of higher-order nonlinear fractional differential equations with integral boundary conditions and a parameter[J]. Appl Math Comput,2014,226(1/2):708-718.

[9] ZHANG X Q, WANG L, SUN Q. Nontrivial solutions for a class of fractional differential equations with integral boundary conditions and a parameter in a Banach space with lattice[J]. Abstr Appl Anal,2012,2012:1-18.

[10] 白占兵. 分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題理論及應(yīng)用[M]. 北京:中國科學(xué)技術(shù)出版社,2013.