基于知識(shí)結(jié)構(gòu)的“平行四邊形”教學(xué)設(shè)計(jì)

摘 要：好的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該基于知識(shí)結(jié)構(gòu)，一線串通、精中求簡(jiǎn)，讓學(xué)生學(xué)得輕松。這正是教育數(shù)學(xué)的追求。基于教育數(shù)學(xué)理念的“平行四邊形”教學(xué)設(shè)計(jì)可以安排如下課時(shí)內(nèi)容：平行四邊形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；平行四邊形、矩形和正方形；平行四邊形、菱形和正方形；矩形和菱形；從正方形到平行四邊形；梯形?；诮逃龜?shù)學(xué)理念的教學(xué)設(shè)計(jì)具有如下特征：整體性；重構(gòu)性；重復(fù)性；現(xiàn)實(shí)性；發(fā)展性。

關(guān)鍵詞：教育數(shù)學(xué) 知識(shí)結(jié)構(gòu) 平行四邊形 教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的理念多種多樣：有基于數(shù)學(xué)史的，有基于數(shù)學(xué)方法論的，也有基于學(xué)習(xí)理論的……好的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該以生為本，既能讓學(xué)生提升考試成績(jī)，也能讓學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)。筆者認(rèn)為，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該基于知識(shí)結(jié)構(gòu)，一線串通、精中求簡(jiǎn)，讓學(xué)生學(xué)得輕松。這正是教育數(shù)學(xué)的追求。

教育數(shù)學(xué)的理論與實(shí)踐正在興起。張景中院士基于教育數(shù)學(xué)的理念，成功地改造了平面幾何知識(shí)體系，重建了三角函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)。不過(guò)，現(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)和教材并沒(méi)有吸收這種做法。那么，能不能在現(xiàn)行的課程框架之下，利用教育數(shù)學(xué)的理念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)呢？下面，以“平行四邊形”為例進(jìn)行闡述。

一、基于教育數(shù)學(xué)理念的教學(xué)設(shè)計(jì)案例

平行四邊形是一類(lèi)特殊的四邊形，包含矩形、菱形、正方形等更特殊的情況。教學(xué)這一主題時(shí)，要讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)的傳承與擴(kuò)張，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的生長(zhǎng)方式，感悟數(shù)學(xué)的基本思想方法，積累數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。下面，給出可操作的、結(jié)構(gòu)化的教學(xué)設(shè)計(jì)程式。

（一）高觀點(diǎn)地整體理解教材內(nèi)容

平行四邊形在邏輯上最簡(jiǎn)單，正方形在圖形上最簡(jiǎn)單。既可以從平行四邊形講到正方形，也可以從正方形講到平行四邊形。從平行四邊形到正方形是強(qiáng)抽象的過(guò)程，是不斷豐富概念內(nèi)涵的過(guò)程；從正方形到平行四邊形是弱抽象的過(guò)程，是不斷擴(kuò)張概念外延的過(guò)程。

現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材大多采取的是強(qiáng)抽象的過(guò)程。其路徑如圖1所示?？梢钥吹剑@是一個(gè)雙線結(jié)構(gòu)，矩形和菱形是中間的兩個(gè)“驛站”。這兩個(gè)“驛站”之間是要相互溝通的，從而形成雙紐線結(jié)構(gòu)，教學(xué)時(shí)要注意到這一點(diǎn)。

內(nèi)容結(jié)構(gòu)的解析決定了教學(xué)方法的選擇。可以把“平行四邊形—矩形—正方形”當(dāng)作明線，把“平行四邊形—菱形—正方形”當(dāng)作暗線。若用講授法講明線，那么可用探究法學(xué)暗線。各種教學(xué)方法有機(jī)搭配，決不不恰當(dāng)?shù)靥Ц吣撤N方法，也不無(wú)根據(jù)地貶低某種方法。這是理解結(jié)構(gòu)之后，一線串通，確定教學(xué)的思路。

這兩條線變化的手法是一樣的，或變角度，或變長(zhǎng)度，只是順序不一樣。這突出了平面幾何的兩個(gè)基本量角度和長(zhǎng)度的作用。從本質(zhì)上講，這幾種平行四邊形其實(shí)是一樣的。因而更激進(jìn)一點(diǎn)的做法是，用啟發(fā)式講授法教學(xué)平行四邊形之后，讓學(xué)生仿照平行四邊形的研究方法來(lái)研究矩形、菱形和正方形的性質(zhì)和判定。這樣，學(xué)習(xí)后三種特殊的平行四邊形，其實(shí)就相當(dāng)于在復(fù)習(xí)平行四邊形的相關(guān)知識(shí)。因而，整個(gè)教學(xué)過(guò)程的重心應(yīng)放在平行四邊形的研究上。這是理解結(jié)構(gòu)之后，精中求簡(jiǎn)，確定教學(xué)的重點(diǎn)。

（二）低起點(diǎn)地從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)

現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材的引入方式主要有兩種：（1）直接指出兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形；（2）呈現(xiàn)生活中的一些平行四邊形形象，如小區(qū)的伸縮門(mén)、庭院的竹籬笆、載重汽車(chē)的防護(hù)鏈等。第一種引入法開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，直截了當(dāng)；第二種引入法從實(shí)例到抽象，有助于發(fā)展學(xué)生的抽象能力。但是，這兩種引入法的共同缺陷在于沒(méi)有和前面學(xué)過(guò)的全等三角形發(fā)生有機(jī)的關(guān)聯(lián)。

教育數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)“從學(xué)生頭腦中找概念”。基于這種想法，可以有這樣一種引入方式：讓學(xué)生拿出兩個(gè)全等三角形來(lái)進(jìn)行拼接，有可能拼成平行四邊形，也有可能拼成箏形；引入生活中的一些平行四邊形形象，說(shuō)明平行四邊形比箏形更常見(jiàn)，不妨先來(lái)研究平行四邊形。這種做法的理?yè)?jù)之一是還可以發(fā)展學(xué)生的組合思維能力：此處需要組合思維能力的強(qiáng)度強(qiáng)于從常見(jiàn)的實(shí)物圖中抽象出平行四邊形。

（三）教之以法，研究平行四邊形

課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生“能養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，掌握適合自身的學(xué)習(xí)方法”。由三角形全等，很容易推導(dǎo)出平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。然后，可以列表格，引導(dǎo)學(xué)生從邊、角、對(duì)角線這三個(gè)維度分析平行四邊形的性質(zhì)。

一般而言，圖形內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)的探究是比較困難的，需要教師的適切引導(dǎo)。因?yàn)檫@里的引入方法是建立在全等三角形基礎(chǔ)上的，所以學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)邊和邊、角和角的關(guān)系，但是不容易明白為什么要研究對(duì)角線以及對(duì)角線有怎樣的性質(zhì)。基于全等三角形，已經(jīng)自然生成了一條對(duì)角線，即兩個(gè)頂點(diǎn)已經(jīng)直接聯(lián)通了。這時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生：另外兩個(gè)頂點(diǎn)能不能直接聯(lián)通呢？這樣，兩條對(duì)角線就全生成了。這時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生：它們之間又有什么關(guān)系呢？讓學(xué)生展開(kāi)探究。聯(lián)通性的觀念來(lái)源于圖論。此處也是在滲透組合數(shù)學(xué)的思想。

（四）學(xué)會(huì)思考，從正面到反面

首先，可以這樣過(guò)渡：給定了平行四邊形，可以考察它的性質(zhì)；反過(guò)來(lái)，給定了一個(gè)四邊形，如何判定它是不是平行四邊形？其次，引導(dǎo)學(xué)生尋找判定條件時(shí)，需要滲透邏輯知識(shí)：A具有一系列性質(zhì)，那么具有這些性質(zhì)的事物是否就是A呢？即把反問(wèn)題變成正問(wèn)題，然后分別從邊、角、對(duì)角線的維度尋找判定方法。此處訓(xùn)練了學(xué)生逆向思考問(wèn)題的習(xí)慣和能力。

（五）組織變化鏈，突出基本特征

角度是平面幾何的基本量，而其中垂直是一個(gè)十分重要的關(guān)系。借助動(dòng)態(tài)幾何技術(shù)，把平行四邊形變成矩形，讓學(xué)生仿照研究平行四邊形的“套路”，研究矩形的性質(zhì)和判定。長(zhǎng)度是平面幾何的基本量，而其中相等是一個(gè)十分重要的關(guān)系。借助動(dòng)態(tài)幾何技術(shù)，把矩形變成正方形，讓學(xué)生仿照研究矩形的“套路”，研究正方形的性質(zhì)和判定。

上面的做法是先變角度后變長(zhǎng)度，能不能先變長(zhǎng)度后變角度呢？借助動(dòng)態(tài)幾何技術(shù)，把平行四邊形變成菱形（或把箏形變成菱形），讓學(xué)生仿照研究平行四邊形的“套路”，研究菱形的性質(zhì)和判定。借助動(dòng)態(tài)幾何技術(shù)，把菱形變成正方形，讓學(xué)生仿照研究菱形的“套路”，研究正方形的性質(zhì)和判定。

信息技術(shù)進(jìn)入課堂教學(xué)，于此處成了一種必須，而不是一種強(qiáng)求。

（六）反思總結(jié)，感受辯證思維

讓學(xué)生畫(huà)出學(xué)習(xí)路線，從而發(fā)現(xiàn)上述雙線結(jié)構(gòu)。然后，提問(wèn)：從平行四邊形可以漸次變化到正方形，那么由平行四邊形能否直接變到正方形？矩形和菱形之間能否相互演變？這樣提問(wèn)稍顯抽象，但是可以設(shè)計(jì)有序題組，讓學(xué)生明白：（1）順次連接矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；順次連接菱形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形。（2）從菱形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)分別向各邊引垂線，連接各垂足組成的四邊形是矩形；從矩形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)分別向各邊引垂線，連接各垂足組成的四邊形是菱形。此處訓(xùn)練了學(xué)生的辯證思維：事物是相互聯(lián)系的，“你中有我，我中有你”。

（七）逆向思維，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通

提出研究性問(wèn)題：既然能從平行四邊形出發(fā)，經(jīng)矩形或菱形，得到正方形，那么能不能從正方形出發(fā)，經(jīng)矩形或菱形，得到平行四邊形？如果能，又該如何研究它們的性質(zhì)？此處再次訓(xùn)練了學(xué)生逆向思考問(wèn)題的習(xí)慣和能力。

（八）構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，發(fā)現(xiàn)新的主題

讓學(xué)生構(gòu)建從四邊形到平行四邊形的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，再次運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象化手法。引導(dǎo)學(xué)生思考：“兩組對(duì)邊分別平行”的要求實(shí)在有點(diǎn)“苛刻”，若只要求一組對(duì)邊平行，得到的是什么樣的圖形？這樣就得到了梯形。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程。這樣的問(wèn)題是開(kāi)放性的，雖然不是考試所要求的，但是能夠作為是否學(xué)會(huì)了“數(shù)學(xué)地思考”的一種檢測(cè)。

根據(jù)上面的設(shè)計(jì)，便可以制作一張課時(shí)安排表：（1）平行四邊形的性質(zhì)；（2）平行四邊形的判定；（3）平行四邊形、矩形和正方形；（4）平行四邊形、菱形和正方形；（5）矩形和菱形；（6）從正方形到平行四邊形；（7）梯形。其中，（1）和（2）屬于基礎(chǔ)部分，學(xué)習(xí)（2）可視作復(fù)習(xí)（1）；（3）和（4）屬于強(qiáng)化部分，學(xué)習(xí)（4）可視作復(fù)習(xí)（3）；學(xué)習(xí)（5）是溝通矩形和菱形之間的關(guān)聯(lián)，屬于橫向?qū)W習(xí)；學(xué)習(xí)（6）可視作對(duì)（1）（2）（3）（4）（5）的一種另類(lèi)復(fù)習(xí)；學(xué)習(xí)（7）則是跳出圈外，尋找新的主題。經(jīng)過(guò)反復(fù)的滲透學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠在課堂上的寶貴時(shí)間內(nèi)掌握“四邊形”。

二、基于教育數(shù)學(xué)理念的教學(xué)設(shè)計(jì)特征

（一）整體性

根據(jù)教育數(shù)學(xué)理念，從整體的角度考察知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，并把它們安排在一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中，溝通它們之間的關(guān)聯(lián)。這與修訂后的高中數(shù)學(xué)課程理念是一致的：按“主線—主題—核心內(nèi)容”構(gòu)建數(shù)學(xué)內(nèi)容體系，“整體把握、抓住本質(zhì)、發(fā)展素養(yǎng)”。

（二）重構(gòu)性

根據(jù)教育數(shù)學(xué)理念，重新構(gòu)置課程，一線串通、精中求簡(jiǎn)，小而巧、不激進(jìn)，可以與傳統(tǒng)的課堂教學(xué)有機(jī)相融。

（三）重復(fù)性

這種教學(xué)設(shè)計(jì)認(rèn)為“學(xué)習(xí)即復(fù)習(xí)”，把訓(xùn)練與新課的學(xué)習(xí)有機(jī)融合在一起，讓學(xué)生真正成為主體，教師真正成為主導(dǎo)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)?zāi)茉诮處煹闹笇?dǎo)下反復(fù)熟悉與體會(huì)；把過(guò)程與結(jié)果統(tǒng)一起來(lái)，讓學(xué)生在課堂上感悟數(shù)學(xué)的基本思想方法，積累數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并生成陳述性知識(shí)，化為操作性技能。

（四）現(xiàn)實(shí)性

這種教學(xué)設(shè)計(jì)并不懼怕考試，其思維訓(xùn)練的深度大于常規(guī)的教學(xué)做法。因?yàn)樗岢龅膯?wèn)題是根本性的，學(xué)會(huì)了這些根本的思考方法，再加上一些具體的技法指導(dǎo)，自然不懼怕考試。

（五）發(fā)展性

這種教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展負(fù)責(zé)，不滿足于僅僅把學(xué)生送進(jìn)高等學(xué)校，而期望把學(xué)生送進(jìn)數(shù)學(xué)研究的殿堂。因?yàn)樗茏寣W(xué)生在具體主題的學(xué)習(xí)中，感悟“做”數(shù)學(xué)的過(guò)程，進(jìn)而化實(shí)為虛，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張景中.幾何新方法和新體系[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[2] 張景中.一線串通的初等數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2009.