濕陷性黃土地基沉降預測模型及其精度分析

摘 要：本文介紹了Logistic曲線、Gompertz曲線和Poisson曲線等三種沉降預測模型及其預測參數的計算途徑，基于沉降實測資料對各模型的預測精度進行了對比分析。結果表明，Gompertz曲線的擬合精度最高，適用于濕陷性黃土地基沉降的預測。

關鍵詞：Logistic曲線；Gompertz曲線；Poisson曲線；擬合精度

中圖分類號：U416.1 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5168（2018）01-0118-03

Settlement Prediction Model of Collapsible Loess Foundation

and Its Precision Analysis

TIAN Zhenghua LI Yanmin WEI Yao

（Department of Surveying and Mapping，Shanxi Railway Institute，Weinan Shanxi 714000）

Abstract： This paper introduced the way of calculating the Logistic curve， Gompertz curve and Poisson curve of three kinds of settlement prediction model and prediction parameters， prediction accuracy of each model based on settlement data measured in field were analyzed. The results showed that the Gompertz curve fitting of the highest accuracy， suitable for prediction of collapsible loess foundation settlement.

Keywords： Logistic curve；Gompertz curve；Poisson curve；fitting accuracy

地基或建筑物沉降是工程建設中的常見問題，濕陷性黃土地區的建筑物沉降危害更為突出。為了避免沉降帶來的工程災害，必須定期進行建筑物沉降觀測，以掌握沉降變化的規律。而利用實測數據建立數學模型來預測沉降發展的趨勢，在工程上具有重要的現實意義。本文選擇Logistic曲線、Gompertz曲線及Poisson曲線等三種數學模型，對濕陷性黃土區地基沉降量進行預測和擬合精度分析，以選擇適用于該類地基沉降特征的預測模型。

1 三種常規沉降預測模型

1.1 Logistic曲線模型

Logistic曲線（簡稱L曲線）是比利時數學家維哈爾斯特發現的一種特殊曲線，它屬于增長型曲線，其初始階段發展緩慢，接著是急劇增長階段，然后是一個平穩的發展時期，最后達到飽和狀態。該曲線實質上是一個累積增長或生長的曲線，適合地面沉降有界增長的趨勢[1]，被廣泛用于沉降預測。L曲線可描述為：

[y（t）=1a+bct] （1）

式（1）中，[y（t）]表示第[t]期的沉降預測值；[t]表示時間；a，b，c表示待定參數，且a>0，b>0，0

1.2 Gompertz曲線模型

Gompertz曲線（簡稱G曲線）是英國數學家龔伯次提出的技術發展模型，又稱為雙指數曲線模型，也屬于增長曲線，適用于擬合“S”型增長的沉降曲線[2]，其可描述為：

[yt=abct] （2）

式（2）中，[yt]表示第t期的沉降預測值；t表示時間；a，b，c表示待定參數，且a>0，b>0，0

1.3 Poisson曲線模型

Poisson曲線（簡稱P曲線）是一種精度較高的沉降預測模型，也稱為飽和曲線[3]。在時間序列預測中，P曲線模型可描述為：

[yt=c1+ae-bt] （3）

式（3）中，[yt]為第t期的沉降預測值；t為時間；a、b和c為待定參數。

2 模型參數的求解途徑

將式（1）的L曲線方程取倒數，令[SL=1/y（t）]，則式（1）轉換為：

[SL=a+bct] （4）

將式（2）G曲線方程取對數，[lnyt=lna+ctlnb]，令[SG=lny（t）]，[a′=lna]，[b′=lnb]，則式（2）轉換為

[SG=a+bct] （5）

式（4）和式（5）都是修正指數方程[yt=a+bct]的形式，對該方程的三個參數可采用Bryant法求解[4]，其計算式如下：

[c=（N-1）t=1N-1y（t）y（t+1）-t=1N-1y（t）t=1N-1y（t+1）（N-1）t=1N-1y（t）2-（t-1N-1y（t））2] （6）

[b=Nt=1Ncty（t）-t=1Nctt=1Ny（t）Nt=1Nc2t-（t=1Nct）2] （7）

[a=1N（t=1Ny（t）-bt=1Nct）] （8）

上式中，N為觀測的總期數，其他參數與式（1）和式（2）相同。

對于P曲線方程式（3），可利用三段計算法求取各個參數。設[S1]、[S2]、[S3]分別為3段內各項數值的倒數和，則有：

[S1=t=1r1yt] （9）

[S2=t=r+12r1yt] （10）

[S3=t=2r+13r1yt] （11）

其參數為：

[b=ln（s1-s2）（s2-s3）/r] （12）

[c=r/s1-（s1-s2）2（s1-s2）-（s2-s3）] （13）

[a=（s1-s2）2（1-e-b）c（s1-s2）-（s2-s3）e-b（1-e-rb）] （14）

上式中，其時間序列中的數據項數或時間的期數n是3的倍數，并把總項數分為3段，每段含[n/3=r]項。第1段為[t=1，2，3，L，r]；第2段為[t=r+1，r+2，r+3，L，2r]；第3段為[t=2r+1，2r+2，2r+3，L，3r]。若已有觀測數據的期數不是3的倍數，則可以對數據進行取舍，即取前m（m是3的倍數）個數，將另外m-n個數舍棄。

自變量t的時間間隔相等或時間長短相等，前后連續，期數t由1開始順編，即取[t=1，2，3，L，n]。按此要求，則時間序列中各項數分別為：[y1，y2，y3，L，yn]。

3 預測模型的擬合精度評價

預測模型的有效性是指平均的、全面的或者是典型的精確性[5]。本文以MAPE（平均絕對百分誤差）作為預測模型精度評定的標準。平均絕對百分誤差的計算式為：

[MAPE=1Nt=1Nε（t）y（t）×100] （15）

其中，[y（t）]是第[t]個觀測值，也就是某個點在第[t]期高程值；[ε（t）]是指預測的誤差，即真值與預測值的差值，[ε（t）=y（t）-y（t）]。其中，[y（t）]為通過模型計算的預測值。Lewis依據MAPE值的大小將預測模型有效分為四個等級（見表1）。

表1 MAPE等級劃分表

[MAPE擬合等級<10高精度10～20良好20～50合格>50不合格]

4 濕陷性黃土區建筑物沉降預測實例

陜西地區廣泛分布著濕陷性黃土層，其地基具有遇水沉陷的特性，在建筑物荷載作用下發生的沉降量往往大于其他地區，其沉降變化特征也較為復雜。本文對西安南郊濕陷性黃土區某建筑物進行等時距的沉降觀測，得到一組實測數據，如表2所示。

表2 沉降觀測數據

[ty（t）/mm11.2622.9034.5745.1855.5065.8175.9986.05]

對表2數據分別用L曲線、G曲線、P曲線進行預測，通過計算，得到的參數值如表3所示。

表3 各預測模型的參數計算結果

[參數與模型L曲線G曲線P曲線a0.171 648 86.047 20512.498 84b2.223 4010.032 222 971.264 548c0.279 697 30.456 706 75.732 039]

用各模型對應的參數對該建筑物的沉降量進行預測，其結果如表4所示。

表4 各模型預測結果及其誤差（單位：mm）

[t實測值L曲線預測值G曲線預測值P曲線預測值11.261.261.261.2622.902.892.952.8734.574.544.364.4745.185.395.215.3155.505.695.655.6165.815.785.865.6975.995.825.965.7286.055.826.015.73]

根據實測值與預測值之差用式（15）算出各模型的平均絕對百分誤差，如表5所示。

表5 各預測模型的精度指標值比較

[模型類型MAPEL曲線模型1.97G曲線模型1.47P曲線模型2.46]

考察MAPE值可以看出，G曲線模型的MAPE值最小，擬合精度最高。圖1是三種模型預測曲線。觀察這幾條曲線，在拐點前增長速度越來越快，增長曲線呈下凸形，在拐點后的增長速度越來越慢，增長曲線呈上凸形，最終趨于一個有限值[6]。從圖1可知，在沉降后期，G曲線與實測沉降曲線最為吻合。因此，對于本組沉降數據，G曲線最適合用于該項沉降預測。P曲線（泊松曲線）在沉降前期擬合精度尚可，但后期偏離漸大，預測精度隨之降低。

5 結語

L曲線、G曲線和P曲線都是“S”型增長曲線，都能反映出濕陷性黃土區建筑物沉降量與時間的關系。但由于濕陷性黃土地基沉降的發生機理和變化趨勢往往十分復雜，每種預測模型均具有不同的參數和曲線特征。對于一組具體的沉降實測數據而言，難以直接判別其更適合于哪一種模型，可應用多種模型分別進行擬合預測，根據MAPE值的大小來確定模型的預測精度，以指導工程實踐。鑒于濕陷性黃土區建筑物沉降規律的復雜性，單一的預測模型總是存在某方面的缺陷，若能把不同的模型預測結果以適當加權的方式組合起來，將會大大提高沉降預測的精度。

[t][實測沉降曲線][L曲線][G曲線][泊松曲線][時間t][沉降量/mm]

圖1 三種模型預測曲線

參考文獻：

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