港口泊位船舶間時距概率分布特性*

羅肖霞 劉 奕 劉敬賢

(武漢理工大學航運學院1) 武漢 430063) (內河航運技術湖北省重點實驗室2) 武漢 430063)

0 引 言

船舶間時距分布又稱船舶到達規律，屬于宏觀交通流特征的一種，是對大量船舶到達數據進行統計分析后挖掘出的一種船舶交通特征.研究船舶間時距分布規律對于船舶交通流特征度量、通過能力研究和岸線規劃研究均有一定意義.

國內外均已展開了具有一定深度和廣度的船舶間時距分布研究，文獻[1-2]利用統計學原理對分析船舶在港區和橋區的到達規律，得出船舶的到達規律服從泊松分布；劉敬賢等[3]對天津港主航道2003—2005年的船舶交通流的概率分布進行統計分析得出船舶到達規律服從正態分布.Kozan[4]在研究了澳大利亞布里斯班集裝箱碼頭到港數據后，總結出船舶到港規律符合指數分布模型.Noritake等[5]發現埃爾朗分布能有效擬合隨機到達的雜貨船的到港規律.張魯寧等[6-8]對集裝箱港區船舶到港時間間隔統計分析后得出，集裝箱港區概率服從符合埃爾朗分布.黃顯鑫等[9]分析廈門港主航道船舶到達數據后得出γ分布能有效擬合船舶的到達規律.總結研究現狀可知，已有船舶到達規律研究仍停留在運用傳統分布模型的層面，如指數分布、埃爾朗分布.而這兩種模型都有其局限性，無法涵蓋船舶間時距分布的某些特征點.

對數正態分布由于本身的性質，可用于描述某些呈右偏態分布的樣本，在金融市場和生物學領域有著廣泛應用[10].交通領域最早由Greenberg[11]引入用以研究車輛間時距問題，研究認為對數正態模型適用于交通負荷較大的區域.對數正態分布在公路的間時距分布問題上有較好的表現，其偏態分布的特性能較好擬合間時距較小，概率密度大的特征[12-13].而在水路交通領域，僅有初秀明等[14]在探索長江中下游航道通過能力時，使用了該模型對武漢段、蕪湖段船舶間時距進行擬合，但并未對模型的擬合優度進行分析.

本文旨在進一步研究對數正態分布在船舶間時距問題上的適應性和優越性.引入對數正態分布模型對港口泊位船舶間時距分布情況進行擬合，并與埃爾朗分布和γ分布橫向比較，通過卡方擬合優度檢驗確立三種函數中擬合最優分布模型.使用天津港2012—2014年的船舶到達數據作為實例演算，同時，為保證對數正態分布模型的普適性，考慮三種不同船型在進港排隊、船舶引航、貨物裝卸等方面的差異性，分別研究散貨、原油和集裝箱泊位的船舶到達間時距概率分布.

1 傳統船舶間時距分布模型

1)γ分布γ分布的概率密度函數為

t>0,α>0,β>0

(1)

(2)

式中：α為形狀參數；β為率參數；α，β均為實數；t為船舶間時距；Γ(α)為γ函數.

γ分布的累積分布函數為

(3)

式中：γ(α，βt)為不完全γ函數.

2) 埃爾朗分布 埃爾朗分布屬于γ分布的一種，當γ分布的形狀參數(埃爾朗分布中多用k表示)為正整數時，函數即為埃爾朗分布.

埃爾朗分布的概率密度函數為

(4)

式中：k為形狀參數；λ為率參數.

當式(4)中λ為常數時，則變量t服從k階埃爾朗分布，k為正整數.

k階埃爾朗分布的累積分布函數為

(5)

3) 指數分布 指數分布又稱負指數分布.當式(4)中的形狀參數k為1時，函數為指數分布，其概率密度函數見式(6).一般來說，如果船舶的到達服從泊松分布，則船舶間時距分布服從指數分布[15].

指數分布因其簡潔性而廣為所用，但指數分布并不適用于所有交通狀況下的間時距研究，特別是在交通較為擁堵、追越情況較少發生時；相對地，它更適用于船舶航行在寬闊水域或輕交通負荷的狀況下.

f(t;λ)=λe-λt,t>0,λ>0

(6)

4) 傳統分布模型的局限性 經廣泛查閱文獻、分析函數本身特性后發現，指數分布首先不適用于對港口某泊位船舶到達規律進行擬合，埃爾朗分布和γ分布也均存在一定的局限性：

指數分布中，當間時距趨近于零，函數對應最大的概率分布，此時表明船舶可以經常同時到泊位，這顯然與實際情況不符.港口內碼頭和泊位的數量是一定的，不可能無限接收船舶，船舶到港頻繁時勢必會需要等待.考慮到指數分布適用于開闊水域，而本文的算例研究選用了較繁忙的天津港水域，因此本文不對指數分布進行比對.

埃爾朗分布和γ分布則較為靈活，雖不存在這一問題，但一方面由于埃爾朗分布的形狀參數必須為整數，經擬合后求得的形狀參數一般需要經過四舍五入，因此,存在一定的誤差；另一方面，雖然γ分布不限定形狀參數必須為整數，但其分布形狀的左尾部較厚，這也并不符合港口泊位船舶到達的實際情況.

2 對數正態分布模型建立

2.1 對數正態分布模型概述

對數正態分布是正態分布經對數變換推演而來的.對數正態分布的概率密度函數和累積分布函數見式(7)～(8).對數正態分布函數的均值和方差見式(9)～(10).式(11)為對數正態分布的變異系數,式(12)為對數正態分布的偏度(又稱偏態，Skewness).

t>0,σ>0,μ∈

(7)

(8)

(9)

Var(t;μ,σ)=e2μ+σ2·(eσ2-1)

(10)

(11)

(12)

式(7)～(12)中:μ為位置參數，又稱對數均值參數，是變量t的自然對數的均值；σ稱為尺度參數，又稱對數標準差，是變量t自然對數的標準差.

2.2 參數估計

選定函數后需對函數進行參數估計，即確定參數μ和參數σ的值.

本文選擇極大似然估計方法進行參數估計.極大似然估計可通過求取對數似然函數最大值，尋求擬合結果的最優值.對數似然函數的表達式見式(13).

(13)

式中：Θ為參數的極大似然估計值；n為樣本總數；ti為第i個間時距值；f(ti)為所研究函數的概率模型.

將對數似然函數對各參數求偏導數，可得對數似然方程組.從方程組中求解即完成參數估計.為求解參數μ和參數σ，對式(13)做如下推導，并求得μ和σ的極大似然估計值[16-17]，見式(15)～(16).

lntn)=C+lnN(μ,σ|lnt1,lnt2,…,lntn)

(14)

式中：C為常數.

(15)

(16)

2.3 擬合優度檢驗

擬合優度檢驗可用于檢驗分布模型與實際船舶間時距分布的擬合程度與偏差值.擬合優度檢驗的常用表征值為顯著性概率，或稱p值.常用的擬合優度檢驗方法有卡方擬合優度檢驗、K-S檢驗等.因卡方擬合優度檢驗過程簡便，易于操作，本文選用卡方擬合優度檢驗分別對埃爾朗分布、伽馬分布、對數正態分布進行擬合優度檢驗.

卡方擬合優度檢驗中需將所有的數據合理劃分為不同區間，且每個區間樣本值不少于5.在確定假設函數后，引進如下檢驗統計量：

(17)

式中：Oi為區間i內的實測頻數；Ei為區間i內的理論頻數；n為區間總數.

在卡方分布中，臨界值只與自由度R有關：

R=n-s-1

(18)

式中：s為被檢驗分布的參數個數.

3 實例研究

本文使用天津港2012—2014年船舶到達數據進行案例演算.原始數據來源于天津海事局，主要有如下幾個特點：①數據涵蓋所有2012—2014年通過主航道進出天津港的船舶；②數據包括船舶基本信息，如吃水、船長、船名等；③數據包括船舶抵達泊位和離開泊位的具體時間.

為保證結論具有一定的普適性，不受船舶類型、船舶進出港優先順序等因素干擾，綜合考慮數據樣本豐富程度后，選取了三種船型篩選數據，即油船、集裝箱船、散貨船，每種船型選擇三個碼頭研究其到達規律.

根據對船舶進出港口數據的統計分析，作出統計樣本頻率直方圖，再分別將對數正態分布、埃爾朗分布、γ分布的概率密度函數與直方圖擬合，最終確定描述船舶間時距分布的函數.

3.1 統計分析

篩選后的9組樣本船舶到泊位間時距的基本統計量見表1.

表1 船舶間時距樣本的基本統計量

統計發現，樣本中船舶到達泊位總數(樣本數)與船舶到泊間時距的均值和標準差存在明顯函數關系，利用指數函數擬合的結果見圖1.隨著船舶總到泊數的增加，船舶到泊間時距的均值和標準差減少，說明間時距分布更集中于一個相對較小值.

圖1 船舶到達基本統計量的關系

由于本文中各樣本的數據覆蓋時間段相同，所以各樣本船舶總到泊數間的差異也是各泊位船舶交通繁忙程度的差異.因此，船舶到泊間時距的分布特征與船舶交通繁忙程度緊密相關.

3.2 結果計算

對上述9個泊位的間時距分布情況進行統計后，在MATLAB中使用對數正態分布、埃爾朗分布、γ分布模型擬合并進行擬合優度檢驗，擬合示意圖僅選擇G2散貨泊位、N3集裝箱泊位、N4原油泊位作為代表展示，見圖2.圖2中黑色實線為對數正態分布擬合結果，深灰色虛線為埃爾朗分布擬合結果，灰色實線為γ分布擬合結果.

圖2 船舶到達間時距分布擬合結果

完整的卡方擬合優度檢驗結果見表2，取顯著性水平為1%，當p值大于1%時假設不被拒絕，即船舶到達規律服從所檢驗分布.由檢驗結果可知，3種分布函數均沒有全部通過擬合優度檢驗.相較之下，廣為接受的埃爾朗分布在3種分布中表現結果最差，9個泊位中7個未通過檢驗；γ分布表現稍優，6個泊位未通過檢驗；而對數正態分布的擬合結果在3者中最優，9個泊位中僅3個未通過檢驗，且其卡方值在同樣自由度下均小于相應的埃爾朗分布(平均減少37.38%)和γ分布的卡方值(平均減少24.26%).

表2 擬合優度檢驗結果

3.3 結果分析

1) 使用埃爾朗分布對9組數據進行擬合，只有2組通過檢驗；使用γ分布只有3組通過檢驗；而使用對數正態分布有6組數據通過檢驗；

2) 在全部9組樣本中，使用對數正態分布進行擬合所得到的卡方值均最小，結果較埃爾朗分布平均提高37.38%，較γ分布平均提高24.26%；

3) 三種分布的擬合結果均未實現全部通過，分析認為船舶到泊間時距的分布特征與船舶交通繁忙程度緊密相關，而三種分布針對船舶交通較繁忙泊位的船舶到達間時距分布擬合結果均不理想.

因此綜合認為，對數正態分布在擬合港口泊位船舶到達間時距分布規律上，相對傳統的埃爾朗分布和γ分布具有一定的優越性；在研究不同類型的泊位時，對數正態分布均有更好的擬合結果，模型具有普適性.但在分析了檢驗通過組的樣本數后發現，當樣本數過大時，雖然對數正態分布模型的擬合結果最優，但也無法通過檢驗，顯示了簡單的分布模型在面對交通負荷較大情況時的局限性.

4 結 束 語

探尋擬合結果更優的港口泊位船舶到達間時距分布模型，綜合分析傳統模型的局限性后引入了對數正態分布模型，并以天津港過往3年數據為作為實例.同時，為確保結論的普適性，避免因船型差異造成影響，分別篩選了多個散貨、集裝箱和油船泊位進行驗證.實例驗證結果表明，對數正態分布在擬合港口泊位船舶到達規律上，相對傳統的埃爾朗分布和γ分布具有一定的優越性；在研究不同類型的泊位時，對數正態分布均有更好的擬合結果.但在交通負荷較大情況時，對數正態分布擬合結果也不理想.后續研究可重點針對這一局限性展開.

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