應用線圈模型的羊毛衫組織搭配與變形模擬

鄧逸飛， 鄧中民， 柯 薇

(武漢紡織大學 紡織纖維及制品教育部重點實驗室， 湖北 武漢 430073)

隨著人們生活水平的提高，對于羊毛衫的要求除保暖之外，更多的在于追求時尚。在購買羊毛衫時，其花型品種的多樣性具有決定性作用。而在設計羊毛衫的過程中，由于成圈、集圈、移圈和浮線這4種基本線圈結構的相互組合，使組織搭配變得多種多樣[1]。但是通過手工方式設計羊毛衫繁瑣且復雜[2]，因為不同線圈組合后整個組織的結構復雜多變，當組合改變，也許是1個線圈的位置變換或是線圈數量的增減，可使得整個結構發(fā)生很大改變。正是因為組織搭配的多樣性和復雜性[3]，現有的羊毛衫CAD系統(tǒng)都是通過意匠圖設計花型[4-5]，但不能體現出真實的紗線結構與變形，造成仿真的效果并不理想。

近年來，針織物的仿真和變形模擬[6-8]取得了很大的進步:Peirce模型及其衍生紗線模型、結構可控的非均勻有理B樣條曲線、NURBS曲線、彈簧質點模型[9]等都被應用到針織物仿真與變形研究中，但是對于直接使用線圈模型設計羊毛衫花型少有研究。本文構建羊毛衫的成圈、集圈、移圈和浮線的線圈結構模型，在此基礎上研究不同線圈組合后的組織結構，并推導出紗線排列邏輯關系，利用 VC++將組織搭配的過程數據化，完成了羊毛衫CAD的基礎開發(fā)，運用彈簧質點模型模擬織物內部不同組織相互作用下產生的變形，基于OpenGL使二維模型具有三維仿真效果。使用線圈模型設計羊毛衫花型，在設計花型的過程中可直觀地體現織物紗線的排列規(guī)律，并能夠進行準確的變形模擬，使仿真效果更加真實。

1 線圈模型

1.1 羊毛衫的基本組織

羊毛衫的基本花紋組織除成圈外，有集圈、移圈、浮線[10]。集圈組織是緯編針織物中花色組織的1種，結構單元是線圈和懸弧，其中集圈線圈不成圈，只是套在上1個線圈的針編弧上形成懸弧，通過集圈組織的不同放置可形成較多的花色效應。移圈組織是通過轉移線圈部分形成的組織，其在轉移過程中，線圈結構、線圈圈干都有一定的傾斜，而且針編弧的合并處有重疊。浮線屬于緯編花式組織，編織時紗線在某些織針上不參加編織而在舊線圈背面形成浮線，一般浮線不宜太長。

1.2 羊毛衫線圈模型的建立

本文在Peirce線圈模型的基礎上加以改進，采用7個控制點對線圈的形狀進行定義，分別繪制沉降弧P0P1、P5P6，針編弧P2P3、P3P4和圈干P1P2、P4P5。將圈干簡化成直線，貝塞爾(Bezier)曲線部分就是沉降弧和針編弧，模型如圖1所示。

圖1 成圈模型Fig.1 Loop model. (a) Peirce classic loop model; (b) Improved loop model

實際操作中以屏幕左下角為原點，為方便描述，假設圖 1(b)中網格左下頂點為原點。圖中h為圈高，w為圈距。根據織物實際形狀并參考文獻[11],結合程序多次驗證，最后利用SPSS進行回歸分析得到最優(yōu)數據，從而確定圖中相應控制點的位置坐標為：P0(0，-0.14h)；P1(0.39w，0.16h)；P2(0.13w，0.86h)；P3(0.50w，1.19h)；P4(0.87w，0.86h)；P5(0.63w，0.16h)；P6(w，-0.14h)。

1.3 Bezier曲線的應用

假定紗線在織物上呈現的是一段自由曲線，因Bezier 曲線與自由曲線的特征能夠較好吻合，且多段拼接的Bezier曲線可展現出連續(xù)的線圈路徑，甚至可構造出花式紗線形態(tài)輪廓等復雜自由曲線，因此，本文用三階Bezier 曲線繪制羊毛衫線圈模型的曲線部分。

三階Bezier曲線[12]由4個點定義：B0、B1、B2和B3，其中B0為起始點，B3為終止點，B1和B2為Bezier 曲線的中間點，為曲線提供走向趨勢，曲線并不會經過B1和B2。隨著參數t在0到1之間取不同的值，點B會不斷變化位置，其軌跡就是Bezier 曲線。以沉降弧P0P1的繪制為例，點P0(x0,y0) 作為Bezier 曲線的起點，P1(x1,y1)作為終點。繪制線圈模型如圖2所示。

圖2 Bezier曲線繪制線圈模型Fig.2 Loop model drawn by bezier curve

另外2個中間點，通過輸入表示曲線彎曲程度的參數b，可由式(1)、(2)計算出其坐標位置(見圖2 中A和C)。為簡化模型，構造的4個點為矩形的4個頂點。

(1)

(2)

式中：H為線段AP0的距離，即矩形的寬；W為線段P0P1的距離，即矩形的長。通過二元二次方程組求解點A(xA,yA)和C(xC,yC)的坐標，方程有2組解，根據點的位置關系，可舍去1組解。沉降弧P0P1段的表達式由三階Bezier曲線公式的參數方程得出。

(3)

式中：t為取值在0到1之間的參數；x(t)和y(t)為對應t取值的橫縱坐標，表示的點的軌跡為沉降弧P0P1。其余弧線部分的繪制與此類似。

1.4 其他組織的模型建立

圖3 集圈模型Fig.3 Tuck stitch model

2 組織搭配的設計

2.1 編織圖的數學模型

成圈、集圈、浮線和移圈是緯編針織物的基本線圈結構單元，不同形式的組合構成了各種緯編單面復合組織。在計算機中為方便準確地描述各種組織，本文利用二維數組的方法[13]，將各種狀態(tài)的線圈存儲在數組中，以此構建編織圖的數學模型，并引用二維網格的概念，實現線圈單元以數字的形式進行存儲，智能地在網格的二維區(qū)域內進行織物設計。建立二維數組Z

式中：i=1,2,3，…，n;j=1,2,3，…，m;zi，j表示二維網格在第i行、第j列，同時也表示此位置上線圈的狀態(tài)。定義zi，j=0表示成圈線圈，zi，j=1表示浮線，zi，j=2表示集圈線圈，Zi，j=3表示右移1個針距的移圈線圈，zi，j=4表示右移2個針距的移圈線圈，依此類推。

將成圈線圈看作是基本線圈，默認狀態(tài)下所有線圈為成圈線圈，即二維數組中每個元素的值都為0。通過改變目標線圈對應的數組中元素的值，即可得到所需要的組織。圖4示出一個3×3的二維數組所代表的組織。正中間的網格在數組中的位置為zi,j，使zi,j=3得到移圈線圈，其上方zi,j=0、右邊zi+1,j=0、右上角zi+1,j-1=0、左下角zi+1,j=0等表示移圈組織周圍的成圈組織。并且可觀察到，其上方zi,j-1處的成圈線圈，根部圈干由于沒有線圈握持會向兩邊張開。

圖4 二維數組與線圈的關系圖Fig.4 Relation between array and loop

2.2 控制點的變化

圖5 集圈線圈組合圖Fig.5 Loop combination photo

對于集圈組織下方的成圈組織，會在集圈位置進行成圈，于是將部分控制點上移某幾個圈高h的高度。上移的圈高個數取決于成圈線圈上方有多少個連續(xù)的集圈。若有m個，則上移m-1個圈高h。圖5中zi，j+1和zi+1，j+1處的成圈組織，就是將部分控制點的縱坐標增加了1個圈高h的高度。

控制點主要就是以圈距w和圈高h為基本單位進行改變，將改變后的控制點用直線或者曲線擬合成線圈，就得到需要的組織結構。

2.3 紗線排列的邏輯

由于緯編織物組織復雜多變，4種組織搭配后的結果多不勝數，考慮出每種搭配后紗線的排列關系不太現實，所以，本文通過大量數據分析和實物參考，綜合出了1套關于組織搭配的基本邏輯關系原則：1)每1橫行紗線的運動軌跡最低點是所對應二維網格左下角頂點下方的P0點；2)線圈根部圈干沒有被握持會向左右兩邊張開；3)集圈兩側只有為成圈或移圈時，兩側的圈干才會被握持住形成沉降弧，否則圈干會浮起且浮起程度不同；4)移圈左右上方是集圈或者浮線時，其針編弧沒有握持點，會隨著成圈線圈向上移動；5)同1橫行的2個相鄰的成圈線圈，無論二者之間有多少移圈、集圈或者浮線組織，它們的沉降弧都會經過P0點，即紗線終會回歸。利用此邏輯關系在VC++平臺上設計出相應的算法用于CAD系統(tǒng)的開發(fā)。圖6示出不同組織搭配后的組織結構模型。

圖6 不同線圈組合后的紗線排列圖Fig.6 Yarns arrangement photo of different loops combined.(a)Leno；(b)Fish scale pattern

3 基于彈簧質點的變形分析

3.1 羊毛衫線圈的變形機制

羊毛衫織物在實際生產過程中，使用不同的紗線材料、不同的規(guī)格或者調整編織工藝都會改變織物的結構。這是由紗線之間的相互作用而產生的，織物中紗線處于彎曲狀態(tài)，由彼此之間牽拉形成特殊的穩(wěn)定結構；而且緯編針織物由于花型的不同，其線圈形態(tài)也不一樣。在有移圈、集圈、浮線的情況下，組織由于某些線圈的拉伸和偏移，并不是保持理想的線圈形態(tài)，而是發(fā)生一定的變形。本文主要通過分析織物內部線圈由于不同組織相互作用下產生形變時，對這種形變狀態(tài)進行模擬研究。

3.2 彈簧質點模型

在織物變形研究中，彈簧-質點模型[14]運用的比較廣泛，且模擬出的效果較好。本文也選取了此模型來研究線圈變形?？椢镏械膹椈少|點模型是將織物假設為若干個質點的集合，各質點間以彈簧的形式相連接，則織物間的相互作用表現為質點間的彈簧作用。彈簧主要分為3類：彎曲彈簧、結構彈簧和剪切彈簧。

結構彈簧描述了相鄰兩質點間的連接形式，模擬織物拉伸時的受力，彈性系數很大，以阻止織物在經緯2個方向過度的拉壓變形；柔性彈簧描述2個間隔相鄰的質點間的連接形式，模擬織物彎曲受力，其彈性系數較小，在本文變形模擬中不予考慮；剪切彈簧描述了對角線上兩相鄰質點間的連接形式，提供給織物1個剪切剛力，彈性系數較大，以阻止斜向的過度變形并模擬織物的伸展性。

圖7 線圈模型與彈簧質點Fig.7 Relationship between loop and spring-mass

3.3 模型受力分析

在彈簧質點模型中，質點因其受到內力和外力作用產生速度和位移。由于本文研究的是在織物內部不同組織相互作用所產生的內力而導致的變形，屬于二維靜態(tài)仿真，所以只考慮內力的影響；內力是足夠小的，可假設影響的范圍是以目標網格為中心3×3個網格內的質點。

質點所受到的內力主要有彈簧力Fk和阻尼力Fd。假設質點OI是通過彈簧與質點OJ相連接的另一個質點，則質點OI所受該彈簧力Fk可由虎克定律式(4)計算得到，質點OI和OJ之間彈簧的阻尼力可由式(5)計算得到，由于目標質點是與多個質點相連接，根據式(6)可得到質點PI所受的內力。

(4)

(5)

(6)

根據牛頓第二定律建立質點的受力運動模型，如式(7)、(8)所示，加速度是位移對時間的二階導數：

FI=mp·aI(t)

(7)

(8)

式中：FI表示質點受到的合力；Fint(t)表示t時刻質點受到的內力；aI(t)表示t時刻質點的加速度矢量；XI表示t時刻質點的位移矢量。

3.4 模型求解

本文所需要得到的是變形后的最終效果，系統(tǒng)中沒有外力且內力較小，是靜態(tài)的二維變形模擬，所以選用顯式歐拉方法求解動力方程。該方法表示簡單，求解迅速，雖然精度不高，但是對于本模型已達到預期的效果。其公式為：

(9)

式中，Δt為選取的時間步長。在給出初始條件下，即t0時刻質點的受力與位移，以步長Δt進行迭代運算可知，初始時刻，質點的位移XI(t0)=0；改變組織的瞬間受力為初始受力FI(t0)，其值可參考有關文獻。

3.5 模型的約束條件

由于只有較小的內力作用，質點的位移不會很大。給予系統(tǒng)一定的約束條件，設質點在水平方向的位移ΔOx≤0.3w，在豎直方向的位移ΔOy≤0.3h。在給定的約束條件內多次模擬，對比出最佳的線圈變形效果，此時終止迭代時間，獲得最終效果圖。

4 線圈變形及三維效果的實現

4.1 質點對控制點的聯動

上文中彈簧質點模型模擬出了質點的位移，對于線圈的變形需要控制點的改變。經過多次模擬與數據分析，本文推導出質點與控制點的聯動關系：1)控制點與質點的運動方向大致相同，當二者的距離ΔSOP較小時，可認為二者運動方向一致；2)控制點的位移大小與其和質點之間的距離ΔSOP有關，設比例系數kOP∈[0,1]，則控制點在水平方向的位移ΔPx=kOP·ΔOx，豎直方向的位移ΔPy=kOP·ΔOy，且ΔSOP=0時，kOP=1；當ΔSOP≥h或者ΔSOP≥w時，kOP=0。

本節(jié)以集圈線圈的變形過程為例，說明線圈的控制點與質點聯動的關系。圖8示出變形示意圖。初始狀態(tài)下，改變組織的瞬間質點的受力方向及其速度與位移的方向如圖8(a)所示。將質點O(i+1,j)與P3(0.50w，1.19h)相關聯，且O(i+1,j)的坐標也為(0.50w，1.19h)，則可以得出O(i,j)(0.50w-w，1.19h)、O(i+2,j)(0.50w+w，1.19h)、O(i+1,j+1)(0.50w，1.19h-h)。經過時間Δt后，質點的位置從O(Ox,Oy)移動到O′(Ox+ΔOx,Oy+ΔOy)，根據上述的聯動關系，相應的成圈和集圈線圈的控制點同時發(fā)生運動。圖8(b)即為控制點移動后的集圈與左半部分成圈線圈的變形。

圖8 線圈變形示意圖Fig.8 Schematic diagram of loop deformation.(a) Loop and tuck stitch before deformation;(b) Loop and tuck stitch after deformation

4.2 基于 VC++和OpenGL的三維效果實現

本文先利用VC++進行二維建模，編譯CAD程序的基本雛形,然后在OpenGL上進行模型的渲染，使線圈的最終變形模擬具有三維的仿真效果。圖9示出經過OpenGL渲染正常的線圈模型和組織搭配后線圈變形的效果。

圖9 線圈三維仿真圖Fig.9 Three dimensional simulation of loop(a) Loop stitch simulation photo;(b) Stitch simulation photo after mixing and matching

5 結 論

本文基于羊毛衫線圈的結構特征，建立模型設計組織搭配，提出使用線圈模型直接設計羊毛衫花型的新方法，相比傳統(tǒng)的意匠圖設計羊毛衫花型，可模擬出羊毛衫在內力作用下線圈的變形，使仿真效果更加接近實物。

1)將1段完整的線圈模型切分成若干以控制點為端點的曲線，用Bezier曲線來建立屈曲形態(tài)并利用控制點將曲線擬合成線圈，運用這種方法來繪制各種能滿足緯編針織物的線圈模型。使用分段的結構和控制點能夠靈活地改變線圈模型的形態(tài)，這是在設計花型進行組織搭配時，繪制復雜的線圈結構關鍵所在。

2)針對羊毛衫織物花型的多變性及其設計的復雜性，通過實物分析以及測試模擬，推導出一套關于組織搭配的原則和邏輯關系，并在VC++平臺編寫了相應的算法，能比較準確和完善地繪制出4種線圈的聯動效果，實現了以線圈模型直接設計羊毛衫花型的CAD基礎開發(fā)。

3)利用彈簧質點模型研究了羊毛衫由于不同組織相互作用產生的形變。通過由質點的位移帶動線圈控制點的改變，實現了線圈變形效果的模擬。并進一步地利用OpenGL渲染二維模型，使變形后的線圈呈現出三維效果，實現了羊毛衫初步仿真。

FZXB

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