城市軌道交通工程邊長變形分析及超限處理方法探討

趙亞波，王智，李勇，張洪德，薛慧艷

(青島市勘察測繪研究院，山東 青島 266032)

1 引 言

城市軌道交通工程在建設過程中，不管是前期的地面控制網測量，還是隧道開挖過程中的地下導線測量，測距邊長都要經過高程歸化改正和高斯投影兩項改正[1]，高程歸化改正的作用是將測距邊長從觀測平面高程面歸算到城市軌道交通工程線路的平均高程面，若測距邊所在平均高程面比城市軌道交通工程線路平均高程面要高，則測距邊改算后變短，反之變長[2]；高斯投影改化的作用是將測距邊兩端點在橢球體上投影所形成的大地線改算到高斯投影面上的投影邊長，不在中央子午線上的測距邊，改正后邊長均變長[3]。

我國現行規范要求，邊長變形值不得超過 2.5 cm/km[4]。變形值在 2.5 cm/km之內，則用改正后的邊長進行平差計算，若變形值超限，則需進行選取不同的高程投影面或中央子午線等方法進行改算[5]，本文分析了高程歸化和高斯投影改化兩項改正的數學公式，并以青島地鐵4號線為例分析了當城市軌道交通工程邊長變形超限的處理方法。

2 數學模型

2.1 高程歸化

(1)

由上式可得歸化到城市軌道交通線路測區平均高程面上的測距邊長度D的計算公式為[6]：

圖1 高程歸化示意圖

(2)

式中：

R——參考橢球體在測距邊方向法截弧的曲率半徑(m)；

Hp——城市軌道交通工程線路的平均高程(m)；

Hm——測距邊兩端點的平均高程(m)。

由上式可以看出，高程歸化改算與測距邊長度、所在高程面以及城市軌道交通工程線路的平均高程面有關。

2.2 高斯投影改化

測距邊在高斯投影面上長度比橢球體上大地線S要短，比測距邊兩端點在高斯投影面上的投影點連接所形成的線段D要長，即其在高斯投影下長度比m有如下關系：

(3)

高斯投影坐標正算公式為[7]：

(4)

將上式對l取偏導數得：

(5)

將式(5)代入式(2)并變換得：

(6)

用平面坐標(x，y)表示的長度比m計算公式為：

(7)

式中：Ym——測距邊兩端點橫坐標平均值(m)；

R——測距邊中點的平均曲率半徑(m)；

△Y——測距邊兩端點近似橫坐標的增量(m).

式(6)和式(7)是用大地坐標和平面坐標計算高斯投影變形長度比的計算公式，實際使用過程中由于直接獲取的是平面坐標，所以普遍使用式(7)來進行高斯投影變形計算。

2.3 變形影響分析

對于城市軌道交通地面控制網邊長而言，利用高程歸化和高斯投影進行改正，前者使邊長縮短，后者使邊長伸長，存在兩者抵償的區域，即根據式(2)和式(7)，使：

(8)

考慮到測距邊相對于地球半徑是一個極小值，上式可寫成：

(9)

因為城市地區高程變化，Ym僅是平均橫坐標，地區總是有一個東西方向的寬度，因為完全抵償是不可能的，如果不能完全抵償而允許有一個殘差VS，則其相對差數為：

(10)

根據《城市軌道交通工程測量規范》要求，精密導線邊相對中誤差為±1/60000，即使上式VS/D=±1/60000，設R=6 371 km，則：

(11)

上式Ym和H均以千米為單位，由此得抵償區域的高差和相應橫坐標區間的關系，如表1所示：

抵償區域的高差和相應的橫坐標區間 表1

由上表可以看出，對于一定的高程存在一定的抵償區域，其東西寬度隨著高程的增加而越來越窄，城市的區域往往不可能正在這一區域內。

根據我國現行規范要求，工程測量每千米邊長經高程歸化和高斯投影改化值不得超過 2.5 cm，即長度比m滿足下式：

(12)

若僅考慮高程歸化影響，以地球平均曲率半徑 6 371 km計算，根據式(2)可知，當測距邊兩端平均高程與城市軌道交通工程測距平均投影面高程相差約 159 m時，每公里測距邊長度變形超限；若僅考慮高斯投影變形影響，測距邊長度變形值受緯度和距離中央子午線遠近有關，由式(6)和式(7)可知，緯度越高，變形越小，距離中央子午線越遠，變形越大。

綜上分析，測距邊長度變形分為高程歸化和高斯投影變形兩部分，兩者在局部可以相互抵償，變形值主要受三個因素影響，即測距邊高程、緯度及與中央子午線的距離，當城市軌道交通工程線路在中央子午線附近時，可主要考慮高程歸化的影響，當城市地形比較平坦，城市軌道交通工程采用的平均高程面與城市地勢一致，可主要考慮高斯投影變形的影響。

以青島市為例，中心建設城區平均緯度約為36°10′，雖然城區地勢有高低起伏，但城市軌道交通工程平均地勢接近平均海平面，平均投影面與平均海平面相一致，軌道交通建設測距邊變形主要考慮高斯投影變形影響，距離中央子午線超過 45 km時，每公里邊長變形值大于 2.5 cm。

3 工程應用

青島市4號線是東西走向西路，整條線路位于中央子午線東端，其最東端距離中央子午線約 48.4 km；最西端中央子午線約 28.9 km。

圖2 青島地鐵4號線走向及換乘線路示意圖

高斯投影變形最大處位于沙子口站，每千米高斯投影變形值為：

本工程線路加權平均大地高與青島市投影面高程相差約 8.2 m，高程歸化影響每千米為：

滿足規范不大于5 mm/km的變形要求。

高斯投影變形和高程歸化影響最大處位于線路最東端沙子口站，該處距離120°中央子午線 48.4 km，設計軌頂大地高為 -3.3 m，每千米邊長改正值為：

從以上分析可以看出，該項目邊長改正最大值超出規范要求的 2.5 cm/km，從測區地理范圍看，線路李宅路站往東約為 3.4 km的線路邊長變形超過 2.5 cm/km，全線使用原有的中央子午線不符合規范要求，若在線路東段選取獨立的中央子午線使得全線邊長變形不超限，全線均使用換帶后的獨立坐標系，則線路西部與已建1號線、2號線、3號線及規劃中多條線路換乘站坐標實際使用過程中將帶來頻繁的轉換，容易出錯，結合工程實際情況，本項目在西部采用青島市原有坐標系統，東部重新選取中央子午線，采用獨立坐標系，在李宅路站結合部提供兩種成果以便于坐標轉換。

4 總 結

(1)地鐵建設過程中測距邊長要經過高程歸化和高斯投影改化兩項改正，高程歸化改正與測距邊所在的高程與地鐵線路平均高程面的高差有關，高差越大，改正越大，高斯投影改化與測距邊距離中央子午線遠近有關，具有中央子午線越遠，改正越大。

(2)地鐵測量測距邊改正不得超過 2.5 cm/km，若超過該值，應結合地鐵工程建設實際，充分考慮已建地鐵線路與規劃線路，在超過 2.5 cm/km區域應選取獨立的中央子午線，并在兩種坐標系結合部提供兩種坐標系以便于坐標轉換。

[1] 孔祥元，郭際明，劉宗泉等. 大地測量學基礎[M]. 武漢：武漢大學出版社，2007.

[2] 王智，趙亞波. QDCORS在青島地鐵控制網中的應用研究[J]. 城市勘測，2016(4)：106～109.

[3] 梅熙. 高斯投影變形對高速鐵路線路設計的影響[J]. 鐵道工程學報，2010，27(10)：52～57.

[4] GB 50308-2008. 城市軌道交通工程測量規范[S].

[5] CJJ/T 8-2011. 城市測量規范[S].

[6] 趙俊生，劉雁春，王克平等. 關于高斯投影長度的探討[J]. 海洋測繪，2007，27(3)：9～11.

[7] 尹玉廷，陳莉莉，康明等. 對高斯投影長度變形問題的簡單探討[J]. 測繪與空間地理信息，2010，33(5)：211～212.