2016年阿塞拜疆奧賽試題的下界估計與推廣

安徽省滁州中學 (239000)

王瀟軒

文[1]中兩位老師給出該試題的證明，在微博上，安振平老師提出類似問題：

本文首先給出式(1)的下界，再將式(1)(2)作統一推廣.

定理1 已知a,b,c是滿足ab+bc+ca=3的正數，則

證明:式(3)等價于128+16(a+b)2+16(b+c)2+16(c+a)2-(a+b)2(b+c)2(c+a)2>0，

只需證明16[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]-(a+b)2(b+c)2(c+a)2>0，

易證(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2>(a+b+c)2，從而只需證16(a+b+c)2-(a+b)2(b+c)2(c+a)2>0，等價于證明4(a+b+c)-(a+b)(b+c)(c+a)>0，齊次化得

4(a+b+c)(ab+bc+ca)-3(a+b)(b+c)(c+a)>0，

等價于證明ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+6abc>0，此為顯然.

定理2 已知a,b,c是滿足ab+bc+ca=3的正數，λ≥2，則

只需證明

等價于證明(4+λ)(a+b+c)2≥3[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2+λ(ab+bc+ca)]，

整理后知，上式等價于證明(λ-2)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)≥0，結論顯然成立.

[1]李加軍,王永昌.賞析幾道2016年數學奧林匹克競賽試題[J],中學數學研究(江西),2016,10:48-50.