解讀特殊四邊形的特殊考點

考點一：平行四邊形的性質與判定

例1 如圖1，將?ABCD的AD邊延長至點E，使DE=[12]AD，連接CE，F是BC邊的中點，連接FD.

（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）若AB=3，AD=4，∠A=60°，求CE的長.

【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∵DE=[12]AD，F是BC邊的中點，

∴DE=FC，DE∥FC，

∴四邊形CEDF是平行四邊形.

（2）解：過點D作DN⊥BC于點N，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A=60°，

∴∠BCD=∠A=60°，

∵AB=3，AD=4，

∴FC=2，NC=[12]DC=[32]，DN=[332]，

∴FN=[12]，則DF=EC=[DN2+FN2]=[7].

【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質以及勾股定理等知識，熟練應用平行四邊形的判定方法是解題關鍵.在證明時我們要根據已知條件選擇合適的判定方法，運用平行四邊形的性質時，要從邊、角、對角線等方面去考慮問題.

考點二：特殊的平行四邊形的性質與判定

例2 如圖3，平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點F，連接CE，DF.

（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）①當AE= cm時，四邊形CEDF是矩形；

②當AE= cm時，四邊形CEDF是菱形.（直接寫出答案，不需要說明理由）

【解析】（1）證△CFG≌△DEG，推出FG=EG，根據平行四邊形的判定“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”推出即可.

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CF∥ED，

∴∠FCG=∠EDG，

∵G是CD的中點，

∴CG=DG.

在△FCG和△EDG中，

[∠FCG=∠EDG，CG=DG，∠CGF=∠DGE，]

∴△FCG≌△EDG（ASA），

∴FG=EG，又∵CG=DG，

∴四邊形CEDF是平行四邊形.

（2）①如圖3，過A作AM⊥BC于M，求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根據矩形的判定“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”推出即可.故答案為：3.5.

②求出△CDE是等邊三角形，推出CE=DE=CD，根據菱形的判定“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”推出即可.故答案為：2.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質和判定、菱形的判定、矩形的判定.注意：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

考點三：特殊四邊形與圖形變換

例3 如圖5，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E為BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內點F處，連接CF，則CF的長為（ ）.

A.[95] B.[125] C.[165] D.[185]

【解析】如圖6，連接BF，已知BC=6，點E為BC的中點，可得BE=3，根據勾股定理求得AE=5，根據三角形的面積公式求出BH=[125]，即可得BF=[245]，因為FE=BE=EC，可得∠BFC=90°，再由勾股定理可得CF=[185].故答案選D.

【點評】折紙已成為現代幾何學的一個分支，本題考查了圖形的翻折變換的性質以及矩形的四個角都是直角的性質，還用到了勾股定理.特殊平行四邊形中的折疊問題，既要用到折疊的性質，又要用到特殊平行四邊形本身的性質，有時還需要用到勾股定理或圖形的相似等知識建立線段、角之間的聯系.

考點四：特殊四邊形與平面直角坐標系

例4 如圖7，在矩形AOBC中，點A的坐標是（-2，1），點C的縱坐標是4，則B、C兩點的坐標分別是（ ）.

A.（[32]，3）、（[-23]，4）

B.（[32]，3）、（[-12]，4）

C.（[74]，[72]）、（[-23]，4）

D.（[74]，[72]）、（[-12]，4）

【解析】如圖8，首先過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF∥y軸，過點A作AF∥x軸，交點為F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案.即[1OE]=[23]，所以OE=[32]，即點B（[32]，3），所以AF=OE=[32]，點C的橫坐標為：-（2-[32]）=[-12]，則點C的坐標為（[-12]，4）.故選B.

【點評】此題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質.數和形是相互聯系的，將四邊形置于平面直角坐標系中，實則是引導我們將幾何問題代數化，同學們要掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用，做到由數構形，由形思數.

考點五：特殊四邊形與規律探尋

例5 一組正方形按如圖9所示的方式放置，其中頂點B1在y軸上，頂點C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x軸上，已知正方形A1B1C1D1的邊長為1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……，則正方形A2016B2016C2016D2016的邊長是（ ）.

A.（[12]）2015 B.（[12]）2016

C.（[33]）2016 D.（[33]）2015

【解析】易知△B2C2E2∽△C1D1E1，

∴[B2C2C1D1]=[B2E2C1E1]=[D1E1C1E1]=tan30°.

∴B2C2=C1D1·tan30°=[33]，∴C2D2=[33].

同理，B3C3=C2D2·tan30°=（[33]）2，

由此猜想BnCn=（[33]）n-1.

當n=2016時，B2016C2016=（[33]）2015.

故選D.

【點評】解答此類問題的關鍵是要能找到圖形之間的關系，正方形是非常特殊的四邊形，決定了本題中不同的正方形邊長之間具備了某種關系.每個正方形的邊長都不同，但都可以用C1D1來表示，而C1D1的長是不變的，這樣就化“變”為“不變”.而最終的答案又需要我們在不變中找到變化的規律，如本題中[33]冪的變化.

考點六：特殊四邊形與三角形綜合

例6 如圖10，在?ABCD中，BD是它的一條對角線，過A、C兩點作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F，延長AE、CF分別交CD、AB于M、N.

（1）求證：四邊形CMAN是平行四邊形.

（2）已知DE=4，FN=3，求BN的長.

圖10

【解析】（1）通過AE⊥BD，CF⊥BD證明AE∥CF，再由四邊形ABCD是平行四邊形得到AB∥CD，由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證得四邊形CMAN是平行四邊形.

（2）根據四邊形CMAN是平行四邊形，由性質推出對邊相等，即CM=AN，再得到DM=BN，故條件充足，可證得△MDE≌△NBF，根據全等三角形的性質得到BF=DE=4，再用勾股定理求得BN=5.

【點評】本題的主要考點是平行四邊形的判定與性質、全等三角形以及勾股定理的綜合運用.四邊形知識是三角形知識的延伸，因此，同學們在解決平行四邊形相關問題時，既要善于在平行四邊形的背景下思考問題，又要學會綜合運用三角形知識和全等三角形知識.上述幾例也都能在問題中尋到三角形的影子，本題第二問通過對角線將四邊形問題變為全等三角形、直角三角形問題，體現了化歸與轉化的思想方法，同學們要用心體會.

（作者單位：揚州大學附屬中學東部分校）