考慮需求波動的單元裝配系統構建問題的多目標模型

王 曄，唐加福，趙林度

(1.東北財經大學管理科學與工程學院，遼寧 大連 116025；2.東南大學經濟管理學院， 江蘇 南京 210096)

1 引言

在全球經濟一體化的過程中，制造業的發展扮演著不可或缺的角色。根據德勤公司的2016年全球制造業競爭指數調查的結果顯示，制造業對全球的經濟發展都起到了關鍵帶動作用，包括基礎設施提升、增加就業崗位、對全民GDP以及人均GDP的貢獻率等[1]。隨著人工智能和高新技術與民用產品的結合，當今市場呈現對產品智能化、多樣化的更高需求。在市場需求的變化下，生產制造企業在應對多品種、小批量且生命周期短的產品生產過程中面臨巨大的考驗，并不斷探索應對方式。例如通過供應商和制造商之間的訂單分配[2]，平衡生產和庫存[3-4]以及協調制造商和銷售商[5]等方式實現總體利潤最大化，與此同時，制造企業內部生產流程的優化也是提升企業整體競爭力的重要環節。

日本制造企業在20世紀80年代的經濟大發展時期由于需求的迅速增長，引進了大批的生產線設備進行大規模生產。然而，90年代經濟泡沫破滅的連鎖反應導致日本制造業面臨前所未有的挑戰。由于市場對產品的需求轉變，原有的流水線生產方式明顯無法應對高技術附加值、生命周期短等特點的產品生產，日本式單元制造模式應運而生[6-8]。日本式單元制造系統(Seru production system)是由以佳能、索尼等日本電子裝配業公司的不斷探索實踐中總結出來的一種先進生產組織方式。它融合了西方傳統單元制造、日本精益生產和敏捷制造等生產模式的特點，兼備流水線的高效性、傳統單元制造的靈活性以及精益生產的低成本，以應對多品種、中小批量，特別是變批量的生產方式[7-10]。Seru是日語中英文單詞cell的發音，源于西方傳統單元制造(Cellular manufacturing)中的cell一詞。Seru是指為完成一個或多個產品的組裝，由一個或多個員工和一些設備組成的一個裝配單元，主要實現形式為以裝配單元取代原有的傳送帶，即流水線裝配向單元裝配的轉換[9]。

有關日本式單元裝配系統的研究由日本的企業界和學者最先總結歸納[11-12]，并得到了各國學者的廣泛關注[7-10]，其中日本式單元構建研究成為研究的重點[13-21]。Kaku等[13]最先提出以最小化總產出時間和總加工時間為目標，構建流水線裝配和單元裝配混合系統的多目標優化模型，以數值仿真的方法驗證模型的有效性并分析了產品種類、批次數量、批次大小以及任務規模對目標函數的影響。Liu Chenguang等[16]考慮由流水線裝配向單元裝配系統轉換過程中的工人培訓成本，以最小化培訓成本和加工周期為目標進行單元系統的構建。Yu Yang等[17-21]對流水線裝配向純單元裝配系統轉換的問題進行研究，以最小化總加工時間和最小化工人加工時間以及以減人為目標建模。以上研究的一個共同點是，針對(每天)特定的生產任務(包括產品種類和數量)，在流水線向單元裝配轉化的生產場景下，給出相應的單元裝配系統(混合單元裝配線或純單元裝配線)以及生產調度方案。這種單元裝配系統的好處是，柔性好，針對任何不同的生產任務(需求)，產品種類和批量大小，均能適應的裝配單元系統；然而，該系統的缺點是，由于現實需求的波動(包括產品種類和批量大小)和不穩定，制造企業需要頻繁進行生產系統的構建，這樣不僅造成資源閑置和浪費(如新添置工作平臺、輔助性的移動設施和工具等)，而且單元內部的人員頻繁調整，合作不穩定，生產效率受到相應影響。另外，在實際的制造企業中，頻繁調整生產線也不容易被接受。Yu Yang等[17-21]雖然提出生產任務的批次種類和批次大小按照相應規律隨機生成，但在優化的過程仍是按照已知的任務進行。利用現有的研究成果進行單元系統的構建會產生較高的單元系統重構成本以及工人頻繁變動引起的工人滿意度下降、管理成本過高等問題。因此，在既要保證系統柔性，同時兼顧效率和穩定性，考慮面向一定周期的單元裝配系統的構建具有十分重要的現實意義，不僅豐富和發展單元系統構建的理論，而且也為生產管理者提供更為貼近現實生產環境的單元構建方法。

針對這一不足，本文的主要貢獻是討論需求波動情境下的流水線裝配向單元裝配系統的轉換問題。總加工周期(Make span)的大小直接關系到產品的交貨期，通過縮小總加工周期可以直接提升企業在動態多樣化的市場上的競爭力。因此本文為避免由于需求波動引起的單元系統重構成本，通過建立考慮需求波動的流水裝配向單元裝配系統轉換方案，決策需要構建的裝配單元的數量、工人與裝配單元之間的分配方式以及產品批次向單元的分配方法，構建需求波動情境下最小化總加工周期的期望和方差的單元構建多目標優化模型。其中最小化總加工時間的期望值和方差值分別是為了使系統能在需求波動的場景下具備較好的期望性能和較為穩定的表現。任務確定型的流水線裝配向單元裝配系統轉換問題已在文獻[18]中被證明為NP-hard問題，不存在多項式時間內求得最優解的精確優化算法。本問題由于考慮了需求的波動性而比原問題更為復雜，因此需采用有效的啟發式優化算法對問題進行求解。NSGA-II(Non-dominatedsorting genetic algorithms)算法作為求解多目標優化問題的啟發式算法在收斂速度和解的多樣性方面均表現出較好的性能，是目前綜合性能較好且應用較為廣泛的多目標優化算法。本文針對模型的特點采用基于NSGA-II的算法對本問題進行求解，并通過數值實驗說明模型和方法的運用規則和相關性質。

2 問題描述與模型建立

2.1 問題描述

Stecke等[9]提出日本式單元裝配系統中的單元(Seru)按照理想程度被分為分割式單元(DivisionalSeru)、巡回式單元(RotatingSeru)以及單人單元(Yatai)，其中最理想的狀態為單人單元，即每名工人獨立組成一個單元，可以直接通過增減單元的數量來應對產品需求的變化。但在實際企業的應用過程中，由于考慮到構建單元的成本及工人在工作中的互相交流等問題，多采用分割式單元和巡回式單元。

圖1 流水線裝配向單元裝配轉化(8名工人)

本文采用巡回式單元作為構建單元裝配系統的基本單位，即分配到單元內的每一名工人獨立完成所有類型產品所有工序的裝配。當多名工人分配到同一個巡回式單元內時，員工各自按順序完成所分配產品的全部工序，因此巡回式單元也被稱為逐兔式單元。由8名工人組成的流水裝配線轉換成巡回式單元系統的轉換方式如圖1所示，原流水線上完成第2、4和8號工序的工人被分配到單元2中。

本文考慮在一個需求波動的環境下存在S種需求場景，第s種場景出現的概率為ps，∑ps=1。每種場景下的需求均為N種產品的不同批次組合，每種場景會有M個批次且每個批次只有一種產品類型。在此生產環境下，設計由W個工人組成的流水裝配線向純單元裝配轉換的構建方案。在生產系統中所有工人均為多能工，即可以獨立完成任何一種產品類型的全部裝配操作且全部分配到各個單元中。流水線裝配的節拍時間T、完成第n種產品的各工序l的標準加工時間Tnl(Tnl≤T)以及工序的先后關系已知。單個批次的產品全部分配到同一個單元內進行加工且批次不拆分。由于工人全部為多能工，每個單元都具備完整加工任何類型產品的能力，因此不存在產品的單元間移動。系統中的基本單位均為巡回式單元，分配到每個單元內的工人數可以不同。通過決策構建單元的數量、每個單元內分配的工人數量以及每種場景下各批次與單元的分配方案，構建最小化總加工周期的期望和方差多目標優化模型。總加工周期期望值最小化可以減小生產的期望交貨期，在需求波動環境下提升企業的競爭能力；最小化加工周期的方差保證了在需求變動的環境下系統的穩定性，不會因為需求的波動而造成加工周期的變動幅度過大。每種場景下的批次之間均采用先到先服務(FCFS, First come first service )的調度方式，按照批次順序依次分配到第一個空閑的單元當中，如果沒有空閑的單元就分配到預計最先完成加工的單元中。由8個批次組成的生產任務分配到三個單元中的FCFS調度方案如圖2所示，矩形條內的數字代表批次到達的順序，矩形條的長度代表該批次的加工時間。

圖2 FCFS調度方式實例

2.2 模型建立

模型參數：

L為原有流水線上的工作站即工序的數量，每個工序由一名工人進行操作，總工人數為W，l為工序的索引號，i為工人的索引號，i=1,2,…,W，l=1,2,…,L，W=L；

N為生產任務中產品的種類數，n為產品類型的索引號，n=1,2,…,N；

M為每種情境下的批次的個數，m為批次順序的索引號，m=1,2,…,M；

Vmns=1表示在情境s下的第m個批次的產品類型為n，否則Vmns=0；

Bms為在情境s下的第m個批次的產品數量；

Tnl為第n類產品的第l個工序的標準加工時間；

γil表示工人i對工序l的操作熟練程度；

Stn為第n類產品在單元內的生產準備時間；

SLn為第n類產品在流水線上的生產準備時間；

決策變量：

J為構建單元的數量，1≤J≤W；

Xij為工人分配方案的0-1決策變量，工人i分配到單元j中，Xij=1，否則Xij=0，i=1,2,…,W；j=1,2,…,J；

Zmjks為s情境批次與單元分配方案的0-1決策變量，在情境s下第m個批次以第k個順序被分配到單元j中則Zmjks=1，否則Zmjks=0，m=1,2,…,M，j=1,2,…,J，s=1,2,…,S，k≤M。

本文研究的流水線裝配向單元裝配的轉換問題中，工人原有的工作為流水線上的某一道工序。對于原有L個工序和W個工人的流水線向單元裝配轉換問題，在培養流水線單序工人成為全能工的過程中，由于工人學習能力和自身工作經驗等原因，工人i對工序l的熟練程度是不同的，以γil≥1表示。γil越接近1時工人i對工序l的操作熟練程度越高，反之γil的值越大表示工人對該工序的熟練程度越低。因此工人i完成第n類產品第l個工序的加工時間為Tnl*γil。在情境s下第m個批次中的單個產品在所分配的單元j中的操作時間TTms如式(1)所示，第m個批次全部產品完成加工的時間TF如式(2)所示。

(1)

(2)

對于每類產品在進行生產之前都需要進行生產環境的重設置，產生生產準備時間。生產過程中，每個單元生產產品的前后兩批次產品類別不同時便會產生生產準備時間，當前后加工的兩個批次為相同產品類型時則準備時間為0，在情境s下第m批次的生產準備時間TSms如式(3)。第m批次的開始加工時間TBms為上一個批次完成的時間，如果第m批次為所分配單元的第一個進行加工的批次，則開始時間TBms為0，具體表達如式(4)所示。在此基礎上，情境s下的總加工時間Make span以該單元裝配系統中最后一個完成生產任務的單元總完成時間表示，表達式如式(5)所示。

{(j,k)Zmjks=1,?j,k}

(3)

(4)

(5)

考慮需求波動的流水線裝配向單元裝配系統轉化最小化Make span均值和方差的多目標模型為：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

m=2,3,…,M,?s

(13)

1≤J≤W

(14)

Xij,Zmjks∈{0,1},?i,j,k,s

(15)

目標函數式(6)表示最小化各種可能情境下的總加工周期的期望值；目標函數式(7)表示最小化各種可能情境下的總加工周期的方差；約束式(8)表示每名工人只能被分配到一個單元內；約束式(9)(10)表示分配到任一單元內的工人數不超過原有流水線上的總人數，且所有工人都分配到了單元系統當中；約束式(11)表示在任一情境下的每個批次都會被分配也只能被分配到一個單元中，且不能被拆分；約束式(12)表示所有的批次都不會被分配到沒有工人的單元內；約束式(13)表示任一情境下的各個批次都要按序進行分配，保證FCFS的調度規則；式(14),(15)是決策變量的取值范圍約束。

3 算法設計

本文提出的流水線裝配向單元裝配轉化問題的模型屬于多目標優化問題。考慮一個簡單的情景，當s=1時，本問題轉換為確定性任務的日本式單元構建問題，該問題在Yu Yang等[18]中已經證明為NP-hard問題。因為本問題中s≥1，復雜程度更高，所以本問題也是NP-hard問題，不存在多項式時間內求得最優解的精確算法。對于多目標問題的求解，一般使用加權重的方式將多目標問題轉化為單目標問題進行優化求解，但權重方法本身存在求解的劣勢[22]。首先多目標之間存在相互制約，如何確定加權系數對問題最終的求解存在較大的影響。其次，由于多目標的帕累托最優集存在多個最優解，運用簡單加權重的方式只能求得單個最優解而無法求得全部最優集[22]。針對這一問題，多目標啟發式算法成為解決多目標優化問題的主要方法[23-25]，如多目標差異演化算法(Multi-objective differential evolution，MODE)[23],帕累托獲取演化策略(Pareto archived evolution strategy，PAES)[24]，NSGA-II[25]等。在這些多目標優化算法中，NSGA-II算法的應用較為廣泛并且在各類問題中都表現了很好的準確性和高效性[18, 25]，特別是對多目標帕累托前沿的獲取。因此本文根據所研究問題的特征，選擇使用基于NSGA-II的優化算法進行求解。

NSGA-II算法是在遺傳算法的基礎上引入了非支配排序和擁擠距離來評價多目標優化解的優劣，在求解的收斂速度和解的多樣性保留方面均表現出較好的性能，是目前綜合性能較好且應用較為廣泛的多目標優化算法。NSGA-II延續了GA算法在種群的交叉遺傳變異以及子代種群的產生方面的思路，但是在具體的個體優劣的評價和適應度的計算方面卻有很大的區別。本文的目標函數有兩個，分別為：總加工周期的期望和方差。在基于NSGA-II的優化算法中運用非支配排序和擁擠距離評價解的適應值，并進行解的選擇。在兩個解的對比中，若其中一個解的兩個目標函數值均優于第二個解或第一個解的一個目標值優于第二個解而另一個目標值相等時，稱第一個解占優于第二個解，或稱第一個解支配第二個解。對所有的解進行非支配排序，占優級別越高的解具有更小的級別編碼。當非支配級別相同時，為了保證種群中最優解的差異性，更好的解指的是在兩個解當中，擁擠距離較大的一個解。擁擠距離是指在解空間中，兩個解之間的歐氏距離。結合多目標解的評價機制的同時，運用GA來進行每一代種群的選擇、交叉和變異等操作，最終選定最優解的組合。結合本問題的特征，在染色體編碼、交叉與變異算子的選擇和操作方法上都進行了相應的調整。

3.1 染色體編碼

本文目的為求工人組成單元系統的構建方案，因此每條染色體以工人和單元的對應關系為描述對象，采用順序編碼的方式進行編碼。對于W個工人的流水線向單元轉換的問題中，采用1到2W-1的數字來編碼，小于等于W的數字代表工人，大于W的數字代表分割數，以此編碼表示工人與單元的對應關系。例如染色體“7264513”表示一個由4名工人的流水線裝配向單元裝配轉化問題中的一個構建方案。其中大于4的數字代表分隔符號，小于等于4的數字代表待分配工人的編號，該染色體表示系統共分割為3個單元，工人2分配到第一個單元，工人4分配到第二個單元，工人1和工人3分配到第三個單元。

3.2 交叉與變異

為了適應本文的編碼方式，確保交叉運算后染色體的可行性，本文選擇了Davis[26]提出的兩點順序交叉法進行交叉運算。例如染色體1“7264513”和染色體2“3142657”進行交叉運算，采用兩點順序交叉法得到的運算結果為子染色體1“1 2 |6 4 5 |7 3”和子染色體2“7 5 |4 2 6| 1 3”，具體交叉運算的步驟參考Davis[26]。運用該交叉方式可以滿足染色體的可行性，免去對染色體調整所產生的運算復雜性。

在變異運算中，針對本問題的特征采取隨機選擇兩點元素互換的方式進行。例如染色體“3142657”進行變異運算，將在染色體中選擇隨機的兩點進行，變異結果為“3642157”。通過兩點互換的變異操作可以更改原有單元構建方案中工人的分配方式或者構建單元的數量。該變異方式可以在保證個體可行性的同時豐富解的多樣性。

3.3 精英保留策略

每一次迭代根據規模為N的父代種群Pi生成與父代種群規模一致的子代種群Qi，將Pi和Qi合并。由于問題特殊性，編碼規則的特征會導致不同染色體編碼得到同樣的解碼結果，例如“7264513”和“6 2 5 4 7 31”兩個個體的編碼不同，但解碼結果是一樣的。為了避免優化進入局部最優解，首先將并集進行重復性剔除，即剔除解碼相同的個體。在此基礎上，運用錦標賽法對全部個體進行非支配排序，按照種群內個體的優劣程度選擇最優的N個個體作為新一代的父代種群Pi+1。

3.4 算法步驟

基于Deb等[25]提出的NSGA-II算法，針對本文研究問題的特點，運用的算法步驟如下：

步驟1：隨機生成規模為N的初始種群P0；

步驟2：將種群內的個體解碼并計算每個個體的各分目標的目標值和適應值；

步驟3：對種群內的個體進行非支配排序和擁擠距離的計算，并按優劣程度排列個體；

步驟4：通過交叉和變異等操作進行GA的運算，生成規模為N的后代種群Q0；

步驟5：將P0和Q0合并為規模為2N的種群P0∪Q0；

步驟6：對P0∪Q0進行解碼重復個體的剔除操作；

步驟7：將種群內的個體解碼并計算每個個體的各分目標的目標值和適應值；

步驟8：對種群內的個體進行非支配排序和擁擠距離的計算，并按優劣程度排列個體；

步驟9：按序選擇最優的N個個體作為新的父代種群P1；

步驟10：重復步驟4到步驟9，直至到達最大迭代次數；

步驟11：輸出最終非支配排序解。

4 數值檢驗分析

4.1 基本算例

上述算法用MATLAB語言編程實現，并在Intel(R) Core i5內存8G的計算機上進行了大量的數據檢驗計算，取得了較好的效果。下文給出一個具體的算例來說明模型和算法的應用。基于前文提出的考慮需求波動的流水單元轉換模型，本文以Yu Yang等[18]提出的Benchmark數據為例，來驗證本文提出的模型和算法的效果。由于Yu Yang等[18]的研究沒有考慮需求波動的因素，本文在原問題的基礎上，對參數進行擴充來適應動態需求場景下的單元系統構建問題。在本文中，假設有5種可能出現的場景，各種場景出現的概率和為1。在一條由6道工序組成的流水線上有6名工人完成5種不同產品的裝配。針對每個可能出現的場景隨機生成25個批次的生產任務，每個批次內由單一種類的10件產品組成，產品種類隨機生成，具體數據如表1所示。表1中的每一列代表可能出現的場景中批次的信息(產品編號)以及可能出現的概率，例如第1列表示場景1中第一個批次是產品類型5，第二個批次是產品類型3，以此類推。最后一行代表5個場景發生的概率分別為0.1，0.4，0.2，0.1，0.2。流水線裝配的一個顯著特點是各工序的操作時間小于等于流水線的節拍時間，假設原流水線的節拍時間為1.8分鐘，而第n類產品的第l個工序的操作時間Tnl在區間[1.4,1.8]上隨機產生，如表2所示。表中每一行代表不同產品類型，每一列代表產品加工的工序，例如表中第2行第3列表示第2類產品第3個工序的標準加工時間為1.6分鐘。由于先前的工作經驗等原因，不同的工人對每道工序的熟練程度γil不同，γil≥1表示工人i對工序l的熟練程度。γil越接近1時工人i對工序l的操作熟練程度越高，反之γil的值越大表示工人對該工序的熟練程度越低。具體數值如表3所示，例如第1行的第4列代表工人1對工序4的熟練程度為1.05，因此如果由工人i操作第n類產品的工序l時裝配時間為Tnl*γil。當單元生產的前后兩個批次為不同種產品時會產生生產準備時間，由于產品類型的不同，準備時間不完全一致，具體如表4所示，每行為該類產品在單元內和在流水線上的生產準備時間。

表1 各場景的產品組合和概率

表2 產品在流水線上各工序的操作時間Tnl(min)

表3 工人對各工序的熟練程度γil

表4 產品生產準備時間(min)

4.2 基本算例的Pareto 解

運用本文提出的算法，種群規模為100，交叉概率為0.8，變異概率為0.2，迭代次數60次。求得由6名工人組成的流水線裝配向單元裝配系統的轉化，考慮需求波動的因素所構建的單元系統有7個帕累托集，如表5和圖3所示。運用NSGA-II算法求得的結果與枚舉法求得的最優解相一致，證明算法的有效性。表中結果均為帕累托最優集并按照總加工周期的期望值從小到大排列，從表中計算結果可知，總加工周期的期望值較低時將同時具有較高的方差值，即期望值的更優是以波動性更大為代價的。決策者可以根據對總加工周期的偏好選擇適合自己的方案進行單元系統的構建。若決策者更關注期望值的降低則選擇方案一，若決策者更希望減少場景波動時的變動則選擇方案五，即方差較小的方案。

表5 由6名工人構成的流水線向單元轉化的帕累托集

圖3 由6人流水線向單元轉化的帕累托集

當使用流水線裝配方式進行生產時，總加工時間由節拍時間決定。根據流水線裝配時間以及換產時間，在可能發生的五種場景下，流水線的總加工時間分別為687.3min；642min；709.7min；698.3min；654.5min，期望值為668.2min。對比運用日本式單元制造的方式，總加工時間的帕累托前沿中最大的期望值只有488.9min。這也證明了運用日本式單元裝配系統進行該情境下的生產可以減少總加工時間、提升企業的生產效率。對于大規模算例采用多次運行算法的方式求得帕累托集，本實驗對10人，15人和20人的日本式單元構建問題進行求解，由于篇幅有限不一一列舉，10名工人流水線向單元轉化構建方案帕累托集如圖4和表6所示。

圖4 10名工人流水線向單元轉化結果的帕累托集

4.3 與任務已知型單元構建方法的比較分析

不考慮需求的波動，面對不同的需求場景時采用任務已知情境下的單元構建方法，構建的單元方案結果如表7所示。由結果可見，雖然在各場景下的最優方案獲得了更短的加工時間，但是每種場景的最優情況構建方案中所構建的單元數量以及工人的分配組合各不相同。例如在構建生產系統時為了滿足場景1的最優結果需要構建5個單元，而其他場景出現時因為所需單元的數量減少出現有單元空閑的情況，導致生產設備浪費的問題。與此同時，當需求波動時工人需要頻繁轉換工作所在的單元，且工作的伙伴也在變化。

為進一步分析在生產實踐中各因素對構建方案的影響，在6名工人單元構建問題的基本實驗基礎上通過增加批次大小為5和2的實驗，驗證批次大小對單元構建方案的影響。實驗結果如圖4所示，在其他參數不變的條件下，隨著批次大小的增加總加工周期的期望和方差均呈現減小的趨勢，也就是說當批次大小增加時，單元系統的期望加工時間和穩定性得到提升。企業在進行生產調度的設計過程中，可以通過更改批次容量的方式提升生產系統的效率。

表7 各場景下的最優構建方案

圖5 批次大小對總加工周期的影響

5 結語

本文根據日本式單元制造問題的特點，研究需求波動情境下的流水線裝配向單元裝配的轉換問題，以最小化總加工周期的期望和方差為目標函數，構建考慮需求波動的單元裝配系統構建問題的多目標模型，決策構建的單元系統中單元的數量以及工人與單元對應關系的分配方案，以期通過構建穩定的單元裝配系統應對波動的市場需求。根據問題的特征設計了針對大規模問題基于NSGA-II的啟發式算法，并在小規模案例中與枚舉法的結果對比驗證了算法對模型求解的有效性。在大規模問題的求解問題中，采用了多次運行算法的方法進行求解，并得到較好的結果。通過對比任務確定型單元構建方法在應對需求波動環境時存在的不足分析本研究的重要性，并分析了生產批次大小對系統性能的影響。

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