酉不變范數下{1,3}-和{1,4}-逆的擾動界

孟令勝

(西北師范大學 數學與統計學院， 甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

廣義逆理論是一個應用十分廣泛的數學分支，在數值線性代數、線性規劃、最優化、控制論、馬爾可夫鏈、數理統計、信號傳輸、微分方程等重要領域都有極其廣泛的應用. 1955年PENROSE在MOORE關于廣義逆的基礎上提出了4個更加便于理解的方程[1]：

設A∈Cm×n，若存在G∈Cn×m使得

(1)AGA=A; (2)GAG=G;

(3) (AG)*=AG; (4) (GA)*=GA,

則稱G是A的Moore-Penrose逆，這4個方程稱為M-P方程.

全部或部分滿足M-P方程的矩陣G，稱為A的廣義逆. 若G滿足M-P方程中的第(i),…,(j)個方程，則稱G為矩陣A的一個{i,…,j}-逆，記為A{i,…,j}.A的所有{i,…,j}-逆的集合用A{i,…,j}表示，其中A{1},A{1,2},A{1,3}和A{1,4}都是常用的廣義逆，并且一般都不是唯一存在的.

廣義逆的擾動研究是廣義逆理論中一個非常重要的課題，WEDIN[2]、STEWART[3]、孫繼廣[4]和WEI等[5]等國內外專家都在此研究領域做出了重要貢獻. 迄今為止，廣義逆擾動理論的研究成果已有很多. 關于Moore-Penrose逆和Drazin逆的擾動理論可參閱文獻[1-12].

鑒于{1}-逆在矩陣理論和計算中的重要作用(例如相容線性系統Ax=b的通解可以表示為x=A(1)b+(I-A(1)A)y)，LIU等[12]研究了{1}-逆在保秩擾動下的連續性；WEI等[13]和MENG等[14]分別給出了{1}-逆在譜范數和Frobenius范數下的加法和乘法擾動界. 另外， 因為{1,3}-和{1,4}-逆在實際應用中也起著非常重要的作用，例如最小二乘問題min‖Ax-b‖2的最小二乘解可表示為x=A(1,3)b；相容線性系統Ax=b的最小范數解可表示為x=A(1,4)b[1]，所以MENG等[14]研究了這兩類廣義逆在譜范數和Frobenius范數下的加法和乘法擾動界.

因譜范數和Frobenius范數是兩類特殊的酉不變范數，因此，本文試圖將文獻[14]中的關于{1,3}-和{1,4}-逆在譜范數和Frobenius范數下的結果推廣到一般的酉不……