導向向量誤差概率約束的寬容性波束形成

(浙江工業大學 之江學院，浙江 杭州 310024)

自適應波束形成雖然能夠提高目標分辨力和干擾抑制能力，但是當陣列導向向量與目標的真實響應向量存在誤差時，性能會急劇下降，甚至期望信號被看作干擾而受到抑制.對角加載方法[1](即白噪聲增益控制方法)是最常用和最有效的寬容處理方法，而且易于實現，其缺點是難以確定合適的對角加載量.Li等[2-4]提出了一種在導向向量誤差最大情況下，使性能最優的寬容處理方法，將自適應波束形成問題歸結為在誤差不確定性集合的邊界上的約束優化問題.Li等[2]證明了文獻[2-4]的方法都等效于對角加載方法，不同之處在于加載量的確定方法不同，Lorenz等[3]采用有效的Lagrange(拉格朗日)法，而Vorobyov等[4]采用了計算較為復雜的二階錐規劃方法，限制了其實用性.概率約束方法[5]減小了誤差最大情況下性能最優化方法的局限性，因為誤差最大情況實際并不總能出現，Li等[2-4]方法在模型無失配的情況下將會使背景噪聲電平升高，分辨力下降.He等[6]分析了概率約束方法和Li等[2-4]方法的關系，即對角加載量之間的關系.筆者綜合考慮分辨力和寬容性，研究導向向量誤差概率約束的寬容算法，波束形成性能的優化不局限在不確定性集合的邊界上，而是在誤差變化集合的內部尋找最優權向量，有助于提高導向向量誤差較小情況下的性能.

1 背景知識

1.1 常規自適應算法

考慮M元均勻線列陣，間距為d，接收到空間L個遠場窄帶平面波信號，陣列接收信號的第k個采樣可表示為

(1)

式中：si(k)為第i個信號源的第k個采樣；x(k)=[x1(k),x2(k),…,xM(k)],T為M×1維陣列輸出信號向量；n(k)=[n1(k),n2(k),…,nM(k)],T為M×1維加性噪聲向量；A為M×L維陣列導向矩陣，A可表示為A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θL)]，θi為第i個信號源的入射方向(相對正橫方向)，a(θi)為相應的陣列導向向量，其第m個元素(即第m個陣元對θi方向的單位幅度復信號的響應)可表示為

am(θi)=exp[j2π(m-1)dsinθi/λ]

式中：d為陣元間距；λ為信號波長.

設a=a(θ)為陣列對期望信號的導向向量，則基于樣本矩陣求逆(Sample matrix inversion, SMI)的自適應波束形成[1]可表述為

(2)

利用Lagrange法可得自適應權向量為

(3)

當導向向量a(θ)與第i個入射信號的響應向量a=a(θ)一致時，θi方向的波束輸出信號具有最佳的信干噪比；當a(θ)與a(θi)有誤差(失配)時，期望信號受到抑制，輸出發生畸變，即信號自消(Self-canceling)現象，所以寬容性(穩健性)設計是自適應算法需要解決的問題.

1.2 寬容性Capon波束形成(RCB)

Li等[2]提出的寬容性Capon算法(Robust capon beam-forming, RCB)是在信號響應向量不確知的情況下，提供期望信號功率的寬容估計.實現方法是在導向向量的不確定性變化范圍內，使期望信號的輸出功率最大，因為導向向量誤差將會使期望信號的輸出功率減小.RCB算法可表述為一個模約束優化問題[2]，即

(4)

(5)

式中λ為Lagrange乘子.求L關于向量a的偏導數，并令其為0，可得滿足代價函數最小的導向向量為

(6)

將式(5)代入式(4)的球面約束條件，并定義函數為

(7)

(8)

為了簡化式(7)，定義臨時向量[2]為

(9)

將式(9)代入式(7)，可得

(10)

式中zm為向量z的第m個元素.

顯然式(10)是關于λ的單調遞減函數，且有

所以只要確定了λ取值的上界和下界，就可用一元函數求根的方法唯一確定λ，從而根據式(6)可得滿足式(4)的導向向量，使信號的輸出功率最大，提高對導向向量誤差的寬容性.根據式(10)，可確定λ的取值范圍[2]為

(11)

(12)

可見，RCB算法也屬于一種對角加載方法，只是通過導向向量的球體約束(或更一般地，橢球約束[2])，確定合適的加載量(1/λ).

2 概率約束寬容波束形成

上述RCB算法只需要作矩陣特征值分解和函數求根運算，而式(9)函數求根運算的計算量與特征值分解的計算量相比，可忽略不計.RCB算法的效率遠高于SOCP[4]方法，而性能與SOCP方法相當，所以RCB方法具有工程可實現性.

RCB算法的主要問題是如何確定導向向量不確定性集合的大小，ε取得過大，雖然寬容性大，但損失了分辨力，ε過小，則寬容性不夠.為了減弱失配最大情況下波束性能最優化方法[4]的過穩健性(Overly conservative[6])，文獻[6]將文獻[4]方法對不確定性集合內加權向量的約束條件，附加了概率約束.也就是當權向量的約束條件大于某個概率時，才尋求最優的權向量使代價函數最小[6].筆者研究概率約束的RCB算法，并減小RCB算法的過穩健性.

2.1 概率約束RCB算法

Pr{‖δ‖≤ε}≥p=1-pout

(13)

假設δ為均值為零、協方差為Cδ的復高斯向量，即

δ～N(0M,Cδ)

(14)

顯然，若δi(i=1，2，…，M)服從高斯分布，則隨機變量v服從χ2分布，其概率密度函數[7]為

pv(v)=[2M/2Γ(M/2)]-1vM/2-1exp(-v/2)

(15)

將式(15)代入式(14)，有

(16)

式中I為皮爾遜(Pearson)不完備Γ函數[7]，即

(17)

根據式(13，16)，可得

(18)

根據式(18)，就可用RCB算法得到寬容性波束權向量.

2.2 Lagrange乘子λ的確定

RCB算法對Lagrange乘子λ的求解是在導向向量不確定性集的邊界上，即導向向量失配最大的情況，所以RCB算法具有過穩健性.為了減小過穩健性，對式(9)的求根采用二分法，在約束球體內尋求滿足g(λ)≤0的λ的值，而不是局限在約束球面上精確地求取滿足g(λ)=0的方程的根.具體實現步驟如下：

1) 設定迭代次數K和求根精度ξ.令K=0,判斷g(λmin)和g(λmax)是否為0，若g(λmin)=0或g(λmax)=0，則λmin或λmax即為所求值，結束迭代求根過程，否則，令x1=λmin,x2=λmin.

由以上步驟可見：此方法是通過設定迭代次數和求根精度來控制算法的寬容性，因為利用該方法所求的寬容性導向向量式(6)可能落在不確定集的內部，而不僅僅在邊界上，所以弱化了算法的過穩健性.

3 數值分析

考慮λ/2間距10元均勻線列陣，30°和50°方向存在兩個干擾源，干噪比(干擾功率與背景噪聲功率之比)均為20 dB.比較上述方法、RCB方法、LSMI方法(固定對角加載的SMI方法,Loaded SMI)和SMI方法4種算法.定義輸出信干噪比[4]為

(19)

(20)

將式(20)代入式(19)，可得理想SINR為

(21)

3.1 導向向量無誤差情況

圖1 輸出SINR與SNR的關系Fig.1 The relationship between output SINR and SNR

3.2 信號散射引起的導向向量誤差情況

信號源經過傳播介質到達接收陣，由于多途和散射效應，信號源往往不能看作理想的點源，而是空間分布源，例如水聲信號，目標具有多個亮點，且水下傳播介質具有不均勻性，造成接收信號的散布性，波陣面非理想的平面波.

考慮萊斯(Ricean)相干散射傳播信道[4,6]，信號為中心角為θ0的空間散射源，導向向量的誤差可建模[6]為

(22)

對于散射信道情況，輸出信噪比表示為

(23)

(24)

式中PEV{·}為求主特征向量.式(24)代入式(23)，可得散射源的輸出信噪比.

圖2 輸出SINR與SNR的關系Fig.2 The relationship between output SINR and SNR

當導向向量誤差不確定集的大小ε均取1.2時，比較提出的算法和RCB算法的分辨性能，圖3為SNR=-10 dB時的空間譜圖，可見該算法的分辨力強于RCB方法，期望信號方向的功率輸出大于RCB方法.利用該方法，在干擾方向的輸出功率接近實際值(20 dB)，也即功率估計的偏差小于RCB方法.說明了2.2節提出的算法既能提高寬容性，又能保持較高的分辨力.

圖3 空間譜圖比較Fig.3 Comparison of spatial spectra

4 結 論

基于目標信號功率約束優化的寬容性Capon算法是一種寬容自適應波束形成的有效實現方案，但具有過穩健性.通過對導向向量誤差施加概率約束，將誤差約束集大小用波束損耗功率和導向向量誤差的功率來描述，提供了一種誤差約束集大小的經驗設計方法.同時，提出了一種在導向向量誤差約束集內部，對期望信號作最優功率估計的方法.理論和數值分析結果表明，寬容性波束形成既對導向向量誤差具有寬容性，又有較高的分辨力，并提高了計算效率.

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