空間計量中長度單位和距離測量

劉 民 杜曉爽 馮偉利

（1．北京東方計量測試研究所，精密電磁測量與校準實驗室，北京 100086；2．北京無線電計量測試研究所，北京 100039；3．北京航天計量測試技術研究所，北京 100076）

1 空間維度與長度單位定義

我們在三維平直空間上建立的長度計量基準和距離測量方法如今遇到了新的挑戰。傳統計量理論與廣義相對論相結合產生了空間計量理論，空間計量理論讓我們站在四維時空中觀察自然世界，重新考察曾經定義的物理量和基本單位［1,2］。于是發現二維球面上的所謂直線，對于三維空間的觀者來說，其實是彎曲的測地線，三維空間的所謂絕對直線，對于四維時空的觀者也是彎曲的測地線。1793年，法國科學院定義的長度單位是“以經過巴黎的地球子午線從北極到赤道距離一千萬分之一為1米”［3,4］。地球子午線（經線）是二維曲面的測地線，站在地球表面上看子午線是直線，但在三維空間上看子午線是曲線。那么把二維空間所定義的直線尺度用于三維空間，必然存在曲線與直線之間固有的偏差。

假設，曲線的曲率半徑為R，弧長為l，弦長為d，兩者之間的偏差為：

若地球半徑R=6．4×106m，三維弦長直線距離d=（1～10）km，對應的二維弧長l以及相對偏差（l-d）/d，由式（1）計算可得數據，見表1。

表1 10km范圍內二維線長與弧長的相對偏差Tab.1 The deviation between length of arc and chord in 2 dimension under range of 10km

可見在10km的距離上出現約1．017mm的偏差，造成這種偏差的原因是單位定義所選擇的空間維度不同。同理，現在使用的長度國際單位SI米的定義是三維空間中測地線上的一段距離，在四維空間將會存在曲線與直線的微小偏差。

圖1 用二維曲面的測地線定義單位長度Fig.1 The length unit defined by geodesic in 2-D

2 SI秒和SI米

1983年，第17屆國際計量大會采用光速作為常數，重新定義長度單位：“米是光在真空中1/299792458s的時間間隔內的行程長度”［5］。這個定義說明了時間和空間是統一不可分割的。既然光速是常數，而時間測量受引力紅移、相對速度效應等相對論效應的影響，那么空間中的距離也會在強引力場中變長，弱引力場中變短，相對速度大時變短，探索引力波的方法正是這個原理［6］。根據廣義相對論，光線在引力場中會發生彎曲。而傳統長度單位是基于歐幾里得幾何學，在平直的空間定義的，認為光是直線傳播的。天文學用“光年”描述天體距離，觀測恒星發光的強度和周期的變化來計算天體距離［7］。如果宇宙空間不是平直的，所觀測的光線穿越各種引力場發生了彎曲，那么所計算的光年也就是測地線的弧長。并不是四維時空的直線距離。

國際單位制SI秒的定義是絕對定義的，不論在何種引力場下，不論相對運動速度如何，局域小空間內仍然要使用SI秒的定義復現時間單位，所測量的時間稱為局域內的“原時”，即使受相對論效應的影響，不同局域上的原時各不相同，它們通過相對論公式可以換算成為“坐標時”，利用坐標時相互比較［8］。愛因斯坦的廣義相對性原理要求“所有參考系中物理定律表達式相同”，進而要求長度單位定義也應是絕對定義的，每個局域空間內使用SI秒和光速常數c來復現長度單位SI米，使用原時測量光程間隔來測量空間距離。即使不同局域上的原時快慢不同，所測得的空間距離數值不同，通過相對論公式將原時換算為坐標時后，其測量結果就能相互比較了［9］。例如，在地面校準的1m標準尺子，送到空間站后，地面觀者認為該尺子受到了相對論的尺縮效應將會變短。而空間站的宇航員使用SI秒和光速常數復現的長度基準進行測量，結果仍是1m，沒有發生尺縮現象。這是因為空間站的SI秒受相對論效應影響，變快了。時間刻度和空間刻度同時成比例改變，在局域空間符合廣義相對性原理。但是事實上，很多衛星，包括導航衛星在內，都對星載原子鐘進行了修正，為保證與地面時間同步，衛星直接測量坐標時，不使用SI秒的測量原時。若空間站使用調整過的原子鐘作標準，就會發現尺子縮短了。這就要求空間計量理論必須建立在廣義相對論基礎之上，用四維時空觀理解空間距離測量問題。

3 慣性系與非慣性系

空間中的距離、速度、加速度等物理參數只有指定了參考系才有實際意義，測量他們之前必需定義好參考坐標系。愛因斯坦的狹義相對論僅適用于慣性系勻速運動的情況，不適用于有加速運動的非慣性系和有引力場存在的情況。光速各向同性以及光速不變原理也只適用于慣性系。慣性系的定義是“以絕對空間為參考，相對靜止或保持勻速直線運動的參考系為慣性系”，該定義依賴絕對空間參考物。實際上不論地球、太陽、銀河系中心還是河外星系都是運動變化的，不存在絕對參考物，所謂慣性系僅具有局域上的相對意義。給參考系定義了原點和坐標軸上的刻度后，就是坐標系。以銀河系中心為參照物，可定義以太陽系質心為原點的局部慣性坐標系；以太陽為參照物，也可定義以地心為原點的局部慣性坐標系；慣性系的特點是坐標軸固定不能旋轉。而坐標軸旋轉的就是非慣性系，如地心地固坐標系以地球質心為原點，以地球自轉軸為Z軸，以赤道面與零度子午線面交線為X軸，赤道面與90度子午面交線為Y軸，這樣的非慣性坐標系跟隨地球自轉，周期為24h，這是我們熟悉的坐標系［10,11］。

4 轉盤上測距問題

在慣性與非慣性坐標系上測量空間兩點的距離，其影響量是不同的。例如在轉盤上建立兩種坐標系，如圖2（a）所示。以盤心為原點，速度ω隨盤旋轉，非慣性坐標系表示為xμ=( )ct,r,θ,z；以盤心為原點，固定不轉的慣性坐標系Xμ=( )cT,X,Y,Z。盤上有固定的A、B兩點，用激光測量距離。B向A發射激光，經過時間Δt1到達A，A反射激光，經過時間Δt2到達B。因光速僅在慣性系中是常數，且直線傳播，對于慣性系觀者來說，因為A、B都在運動，當激光到達A時，A已運動到A'點，當反射光到達B點時，B已經運動到B''點，從圖2（b）中可見，去程時間大于回程時間，Δt1＞Δt2。與慣性系不同的是，非慣性系的觀者認為A、B相對靜止，如圖2（c）所示，光線彎曲，且去程和回程不經過同一條路徑。轉盤上的非慣性坐標系是典型的彎曲時空。而我們生活在類似轉盤的地球上，習慣地使用了非慣性坐標系，為什么沒有感到時空彎曲呢？為什么還固執地認為三點唯一確定一條直線是的真理呢？

圖2 轉盤上的慣性和非慣性坐標系Fig.2 The inertial and non-inertial coordination system on rotated plate

經計算地球赤道上相距10km的A、B兩點，激光去程和回程相對偏差5．4E-8，約0．54mm。但是一去一回可相互抵消，雙向測距的平均值與轉盤靜止狀態時A、B距離相同。當前先進的儀器很難有這樣的分辨力，能發現時空彎曲現象。

兩坐標系的變換如式（2），假設沒有引力作用，慣性系的時空可用閔氏空間表示，線元表達如式（3），對式（2）求導，代入式（3），得到轉盤上的時空坐標線元表達如式（4）：

可見轉盤上非慣性坐標系的坐標軸dt和dθ的度規和g22=r2均為變量，是彎曲的；坐標軸dr和dz的度規g11=1，g33=1，為常數，是平直的；dt和dθ軸之間的度規g02=g20=ωr2不為零，是相關，非正交的。轉盤非慣性系上用激光測距，光子的運動方程為ds2=0，代入式（4）中，以dt為變量，求解一元二次方程（5），解得dt的表達式（6），其中正負號表示光程的兩個方向［12］：

對式（6）的dt積分就是光子運行時間（坐標時）與空間坐標的關系，假設dz=0，因dr與光線彎曲的路徑有關，留在積分號中，去程與回程彎曲的路徑不同，Δt1與Δt2路徑分別計算，在非慣性系的距離DAB計算非常復雜，如式（7）：

慣性坐標系的時空是平直的，用簡單幾何關系，很容易理解計算，如圖2（b）。設三角形AOB的角度為φ，Δt1時間轉動角度α，Δt2時間轉動角度β。則去程距離DBA′和回程距離DA′B″的平均值為 AB 距離DAB：

式（9）和式（10）為隱函數，需要迭代求解。經計算，兩個相對靜止相距10km的點，按第一宇宙速度9．6km/s繞地球表面旋轉（ω=1．5E-3rad/s），按上述激光去程和回程計算，相差11．24mm，但去程和回程的平均值表示兩點距離，與ω=0情況偏差小于3．1nm，相對偏差為3．1E-13。

5 衛星與地面站的測距問題

衛星地面站與地球同步軌道的衛星之間進行測距時，也會受相對論效應影響，稱為Sagnac效應［13,14］。以地心為原點建立兩個坐標系，一個是跟隨地球自轉非慣性坐標系，另一個是固定不轉的慣性坐標系，如圖3所示。

在非慣性坐標系上的衛星A相對于地面站B靜止，地面站B發送無線電測距信號給衛星A，衛星再返回該信號，地面B測量無線電信號往返時間，可計算星地距離。但在慣性坐標系的觀者看來信號去程和回程不重合，且無線電信號傳輸路徑大于兩點直線距離。去程時間Δt1，回程時間Δt2，用非慣性系的距離計算式（7）計算A、B之間的測量值DAB，為簡化計算，近似認為信號沿相同路徑往返，則令dθ=0，再用一階泰勒級數近似處理，DAB的表達式：

式（10）的最后一項就是彎曲時空造成的Sagnac效應。當轉盤角速度ω=0時，時空是平直的，DAB=|rAB|，當角速度不為零時，彎曲時空造成了光線彎曲，出現Sagnac效應。

同樣的情況，慣性系觀者認為A和B都在運動之中，t1時刻B發送無線電信號，t2時刻A′反射，t3時刻B″再收到信號，這個過程中有如下關系：

假設慣性系中沒有引力，不存在時空彎曲，空間對稱的，則t2-t1=t3-t2=Δt≈|rAB|/c，且|rAB|=|rA′B′|，測量值為平均值：

圖3 衛星與地面站測距的Sagnac效應Fig.3 The sagnac effect of measuring distance between ground station and satellite

式（12）第一項與式（11）的第二項是相同的效應，對于非慣性系來說，因為相對靜止，感覺到的就是時空彎曲造成的Sagnac效應，也是一種相對論效應。對于慣性系來說，因為信號傳輸時間和相對運動，造成了測量偏差，與非慣性系的Sangac效應等價。上述討論是在沒有引力場假設下得出的結論，僅為說明坐標系選擇會影響測量結果，真實情況還要加入引力場造成的時空彎曲影響。廣義相對論給出4維空間固有距離（或稱為原距離）的公式［15］：

式中：gμυ——時空度規（metric）。

在廣義相對論公式中μ,υ,i,j是區分坐標軸的符號，稱為“指標”，表示第0,1,2,3坐標軸，不能當作指數運算符。第0表示時間軸，第1,2,3分別表示三維空間坐標軸。度規把坐標軸伸展成有刻度的坐標，度規給坐標軸刻度之間賦予一種比例關系，gμυ=0表示第μ和υ兩坐標軸相互垂直，內積為零，或不相關；gμμ=常數（一般為1或c）表示第μ坐標方向平直；閔氏空間中的時間軸度規是c，表示時間均勻流失；gμμ=變量（或函數）表示第μ坐標方向彎曲；在狹義相對論的坐標系變換式中，時間軸度規為表示時間軸的刻度與相對速度u有關，在慣性系中u是常數，時間軸不彎曲，也是平直的。廣義相對論中若g00是空間坐標的函數，表示時間軸彎曲，最簡單的愛因斯坦方程近似解中，，表示時間刻度dt和徑向刻度dr與引力勢有關，質量球體周圍的引力場中，時間和空間都是彎曲的。

6 結束語

空間計量理論將廣義相對論與傳統計量理論相結合，解決地球以外更廣闊的宇宙空間的測量單位統一和測量準確問題，要求我們站在四維時空的角度理解物質的存在和運動規律。光的直線傳播和光速不變原理僅適用于慣性坐標系和局域的平直空間。雖然我們已經習慣了隨地球自傳的非慣性坐標系，在其中沒有感到彎曲空間和彎曲的光線，但是當我們的測量儀器準確度繼續提高，當我們空間測量范圍從局域推廣到全域的話，諸如引力紅移、相對速度效應、Sagnac效應等相對論效應將會成為測量不確定度的影響因素之一。

空間計量理論仍然認同SI秒和SI米的絕對定義，但要清晰地理解原時和坐標時的區別。在局域范圍內使用SI定義復現的標準量值僅適用于局域范圍，當該標準量值傳遞到其它局域空間時，必須用廣義相對論公式換算為坐標時和坐標距離。

轉盤上的非慣性坐標系有助于我們理解什么是彎曲的時空，光線為何不沿直線傳播。在轉盤上進行等半徑測距和等角度測距時，均受到彎曲時空的影響。在不考慮引力的情況下，在慣性系中可以直接用幾何公式解決測距問題，在非慣性系中必須使用廣義相對論的時空度規解決測距問題。

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