基于Matlab的SAW模態耦合模型的仿真研究

李志鵬， 馬龍祥，孟 旭，史松卓

(東北林業大學 交通學院， 哈爾濱 150040)

隨著諧振型的聲表面波(SAW)技術的日益成熟，因其具有小型、高可靠性、多功能及高頻特性等優點，SAW傳感器成為傳感器中重要的分支之一[1]。早期的SAW傳感器由于延遲線的結構比較簡單，設計時側重考慮基片的材料、切向選擇對傳感器的穩定性及靈敏度的影響，所以大都采用延遲線型SAW傳感器[2]。近年來，由于性能上的優勢，SAW諧振器越來越引起研究人員的重視。因其結構的復雜性以及原理上的不同，SAW諧振器設計比延遲線要復雜得多，所以制作實物前的仿真是不可避免的[3]。最初，人們采用δ函數模型、脈沖響應模型對傳感器的頻率響應進行粗略的預計，但是這些模型不能把叉指換能器(IDT)內反射、端口阻抗的影響也包含進去[4]。20世紀后期，人們廣泛應用LCR等效電路模型進行深入研究。雖然LCR等效電路模型對帶內的頻率響應仿真比較準確，但是對帶外的頻率響應仿真相對較差。根據模態耦合仿真模型假設條件少、相對精度高、自身具有透明性等特點，本文提出了諧振型SAW傳感器的初值條件、邊界條件，采用模態耦合模型對諧振型SAW傳感器進行理論分析和模型建立，仿真、實驗結果表明：利用模態耦合模型對諧振型SAW傳感器進行分析是可行的。

從設計和仿真工具的角度來講，由于 Pspice軟件不能仿真復阻抗，還需采用Foster理論再進行一次電路等效，建模的復雜度明顯增加[5]。采用Matlab對傳感器進行建模，具有自由度高、可操作性強、簡單、快捷等特點，所以本文采用Matlab對SAW傳感器的頻率響應進行分析。

1 模態耦合模型原理

模態耦合模型是對波在周期性介質中傳播研究的一個分支，最早是由Suzuki等[6]提出。20世紀90年代末，Abbott等[7]提出了基于鉭酸鋰晶體的聲表面波模態耦合模型的理論參數。模態耦合模型是將整個聲表面波器件分為3個不同的矩陣，包括3×3的IDT傳輸矩陣、2×2分別反射柵聲波傳輸矩陣以及IDT與反射柵極之間的傳輸線傳輸矩陣。

1.1 IDT傳輸矩陣

一個3×3的傳輸矩陣與每一個叉指換能器(IDT)電極的聲電參數相關，傳輸矩陣[T]可用式(1)來表示。

(1)

圖1 IDT的電端與聲端的示意圖

式(1)中的IDT矩陣如式(2)所示

(2)

式中s為對稱參數，在IDT中根據電極對數為奇數還是偶數確定：為奇數時設s=1，偶數時s=-1。將式(2)分解成聲端和電端兩個子矩陣，可以分別表示為：

[Wi-1]=[ti][Wi]+ai[τi]

(3)

(4)

式中：ai為第i個參考平面的輸入電信號；[ti]為聲波子矩陣，它的組成如下：

(5)

式中τi為電信號子矩陣，具體形式為:

(6)

從IDT的分散矩陣可得得式(2)中的詳細組成[5-2]:

(7)

假設電極反射效應可以忽略，輻射電導Ga和輻射電納Ba可以分別表示為:

(8)

(9)

式中G0=8K2CSf0是機電耦合系數，為輻射電納。將這些值代入式(9)中運算，就可以求出IDT的頻率響應圖形。由傳輸矩陣方法可以很容易求出聲表面波器件的頻率響應[8]。

1.2 反射柵傳輸矩陣

(10)

(11)

(12)

1.3 傳輸線矩陣

設計聲表面波諧振器時，需要一個2×2的矩陣，這個矩陣用來表示分離IDT與金屬柵極之間的傳輸線

[W(d)]=[D][W(0)]

(13)

式中[D]復數矩陣的成分為

(14)

其中：d為延遲線長度；β=2π/λ。

2 諧振型SAW傳感器的模型建立及邊界條件

諧振型SAW傳感器分為單端口諧振型SAW傳感器和雙端口諧振型SAW傳感器。單端口諧振型SAW傳感器由1個放置在中間的IDT和兩邊對稱放置的反射柵組成，如圖2所示[9]；雙端口諧振型SAW傳感器由1個輸入IDT和1個輸出IDT及兩組反射柵組成[10]，如圖3所示。

圖2 單端口SAW諧振器

圖3 雙端口SAW諧振器

2.1 單端口SAW傳感器模型

為了降低插入損耗值、提高反射信號的能力，在數學模型的建立時要考慮能否準確反映損耗值。單端口諧振型聲表面波模態耦合模型(如圖4所示)的全聲學矩陣可以用一系列矩陣相乘來描述 ：

[M]=[G1][D1][T1][D2][G2]

(15)

式中：[G1]、[G2]為反射柵傳輸矩陣；[D1]、[D2]為傳輸線矩陣；[T1]為IDT傳輸矩陣。

如圖4所示，假設將外界激勵進來的瞬間記作起始條件，顯然可以得到a1不為0，b1=0，考慮到反射柵之外沒有聲波到達，邊界條件為W0-、W1+不為0，W0+=W1-=0；假設將信號反射出的瞬間作為最終條件，則b1不為0，a1=0，邊界條件仍然為W0-、W1+不為0，W0+=W1-=0。

圖4 單端口SAW傳感器矩陣元模型

2.2 雙端口SAW傳感器模型

雙端諧振型聲表面波模態耦合模型(如圖5所示)的全聲學矩陣可以用一系列矩陣相乘來描述：

(16)

式中：[T3]和[T5]為IDT傳輸矩陣；[D2]、[D4]、[D6]為傳輸線矩陣；[G1]和[G7]為反射柵傳輸矩陣。

圖5 雙端口聲表面波諧振器矩陣元模型

由IDT傳輸矩陣的定義可以得到

[W2]=t3[W3]+α3τ3

(17)

對雙端口諧振型SAW諧振器仿真時不僅要考慮聲波沿基片傳播的帶來的影響,而且考慮IDT的起始條件。如圖5所示,假設將外界激勵進來的瞬間記作起始條件,那么a3不為0,b3=0，考慮到反射柵之外沒有聲波到達，邊界條件為W0-、W7+不為0，W0+=W7-=0；假設將信號反射出的瞬間作為最終條件,那么b5不為0,a5=0，同樣不考慮反射柵之外的聲波，邊界條件仍然為為W0-、W7+不為0，W0+=W7-=0。由以上條件可以得出輸入端

(18)

由于T3、T5分別是輸入和輸出換能器，在輸出換能器處的傳輸矩陣可以寫為：[W5]=[D6][G7][W7]，可以得到整個諧振器輸出電壓和全相位響應為

(19)

3 仿真及實驗驗證

仿真選取兩種不同基底材料、不同切型，不同中心頻率的諧振器分別進行仿真，采用CS36110A數字標量網絡分析儀(如圖6所示)對仿真結果進行驗證。

圖6 CS36110A數字標量網絡分析儀

仿真及驗證1：選用單端對諧振器型號為R433.92，中心頻率為433 MHz,基底材料為石英，切型為ST切型。叉指換能器為鋁電極，叉指寬度p=1.7 μm,指間距和叉指寬度為1∶1，孔徑寬度是W=680 μm,叉指對數Nt=65。使用Matlab軟件對諧振器輸出響應進行模擬，得到的頻率響應如圖7所示。

圖7 R433.92諧振器輸出頻率響應

為了驗證模型仿真的準確性，設置R433.92型諧振器等效電路為：電感L=80.788 5 μH;電容C=1.666 9 fF;電阻R=19 Ω;電容C0=1.95 pF。等效電路如圖8所示。圖9為其頻譜特性，即輸入頻率為其諧振頻率時獲得的最大增益倍數。

圖8 R433.92等效電路

圖9 R433.92頻譜特性

仿真及驗證2：選用的諧振器型號為F8310,中心頻率為815 MHz,基底材料及切型為YZ-鈮酸鋰。使用Matlab軟件對諧振器輸出響應進行模擬，得到的頻率響應如圖10所示。

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圖10 F8310輸出頻率響應

R8310型諧振器等效電路為：電感L1=98.781 9 μH;電容C0=C1=2.5 pF,C2=0.340 5 fF;電阻R1=99.5 Ω;電容、等效電路如圖11所示。圖12為其頻譜特性，即輸入頻率為其諧振頻率時獲得的最大增益倍數。

圖11 F8310等效電路

圖12 R433.92頻譜特性

4 結束語

模態耦合模型本質上講是一種能量模型，其模型的建立關鍵在于正確提出其初值條件和邊界條件，從而保證仿真結果的準確性。本文對SAW傳感器的每一結構分別建模，提出了基于模態耦合模型的單端口諧振型SAW傳感器和雙端口諧振型SAW傳感器模型，進行Matlab頻率響應仿真，驗證了模態耦合模型用于SAW傳感器仿真的可行性。最后選用型號為R433.92的單端口諧振器和型號為F8310的雙端口諧振器，根據諧振器參數建立兩種諧振器的等效電路，利用等效電路模型對仿真結果進行實驗驗證。實驗結果和仿真結果相吻合，從而證明了應用模態耦合模型對諧振型SAW傳感器建模的準確性、可靠性。

參考文獻：

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[4] 曹亮.聲表面波濾波器技術及發展[C]//中國電子學會元件分會.中國電子學會第十四屆電子元件學術年會論文集.北京：中國電子學會元件分會,2006:10.

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