最小平均積分誤差粒子濾波算法的研究

王 孟，林自豪，馬 俊

（國家無線電監(jiān)測中心烏魯木齊監(jiān)測站，烏魯木齊 830054）

1 引言

雙站無源多普勒頻差定位是一種不主動發(fā)射電磁波信號，依靠單個或者多個定位站被動目標(biāo)輻射源信息，確定出輻射源的信號類型、參數(shù)，經(jīng)過復(fù)雜計算獲取輻射源位置的定位方法[1]。雙站無源多普勒定位方法中，方位角（Angle of Arrival，AOA）、 到 達(dá) 時 差（Time Difference of Arrival，TDOA）以及多普勒定位（Doppler positioning）已相對比較成熟，目標(biāo)距離越近，方位角定位方法精度越高。時差和多普勒定位不僅彌補方位角定位的定位精度受目標(biāo)的距離遠(yuǎn)近影響較大的缺點，而且更適合遠(yuǎn)距離運動目標(biāo)定位和跟蹤[2]。文獻(xiàn)[3]介紹了傳統(tǒng)多普勒測向和偽多普勒測向算法，并提出了改進(jìn)方案。但是這種基于相位的比較傳統(tǒng)的測向方法在高斯噪聲下有較高的可靠性，但是對于穩(wěn)定分布的噪聲測向精度相對較差。文獻(xiàn)[4]在多普勒定位系統(tǒng)中引入粒子濾波（Particle Filter，簡稱PF）算法，這一方法具有簡單易行、適用于非線性和非高斯噪聲環(huán)境。文獻(xiàn)[6]中遺傳優(yōu)化算法雖然對初值選擇不敏感，全局優(yōu)化能力強(qiáng)，然而定位精度不高，早熟現(xiàn)象的情況太過于頻繁。文獻(xiàn)[7]對粒子濾波算法進(jìn)行推廣和應(yīng)用。粒子算法理論源于蒙特卡洛思想，在Gordon，Salmond，Smith等人的研究下，應(yīng)用于實際算法中，在解決非線性、非高斯問題方面有明顯的優(yōu)勢，特別適用于SaS分布噪聲這類非高斯噪聲下的參數(shù)估計問題的優(yōu)勢更為突出[8]。本文將最小平均積分誤差粒子濾波這種思想引入到無源定位行系統(tǒng)中，對原始的粒子濾波功能進(jìn)行改進(jìn)和提高。通過仿真測試，該方法能取得較好的結(jié)果。

2 雙站無源定位原理

多普勒頻差變化率是由于輻射源和接收機(jī)之間存在相對運動而產(chǎn)生的接收頻率與發(fā)射頻率之間偏差變化的速率，該速率的變量與目標(biāo)的競相加速度以及角度變化率有關(guān)。無源定位多普勒頻差變化率利用接收機(jī)多次測量所偵探到的信號多普勒頻差變化率來確定干擾源目標(biāo)位置。多普勒定位模型如圖1所示。

圖1 無源雙站多普勒定位模型

假定某一時刻兩個接收機(jī)的站點位置為P1（x1，y1，z1），P2（X2，Y2，Z2）其中（Z1=Z2=0），分別對目標(biāo)站點的位置為 P（X，Y，Z）運動速度為 v1，v2。P1站所測量的參數(shù)（φ1，Φ1）組成測量子集，P2站所測量的參數(shù)（φ2，Φ2）組成測量子集，P1，P2子集相互結(jié)合后可得到四組測量子集（φ1，Φ1，φ2）、（φ1，Φ1，Φ2）、（φ1，φ2，Φ2）、（Φ1，φ2，φ2），其中為方位角，i=1，2，測得的俯仰角Φi，i=1，2為輻射源P點連線的夾角。以組合后的子集（φ1，Φ1，φ2）為例進(jìn)行分析：經(jīng)過站點P1、方位角為φ1、俯仰角為Φ1的射線經(jīng)過站點P2、方位角為φ2、俯仰角為Φ2為的射線相交便可求得干擾源的位置P（X，Y，Z）。由方位角φ1的三角公式，可以得到

由俯仰角Φ1的三角公式可以得出：

同理由方位角φ2的三角公式的得出：

其中，由俯仰角Φ2的三角公式得出：

將（1），（2），（3）方程式表示成矩陣形式為：

以上公式可以用A·X=B表示：

從而可以得到目標(biāo)位置X=A-1B。

2.1 多普勒定位模型

一發(fā)二收外輻射源定位系統(tǒng)的模型如圖2所示。

圖2 一發(fā)二收外輻射源定位系統(tǒng)的模型

假定目標(biāo)多普勒的測量模型為：

式中，Ry，Rx為干擾目標(biāo)縱、橫坐標(biāo)；VSY，VSX為干擾目標(biāo)點在縱橫坐標(biāo)上速度。CT是對矩陣C的轉(zhuǎn)置。由以上兩式及干擾目標(biāo)的多普勒頻率和干擾目標(biāo)的真實狀態(tài)的關(guān)系在文獻(xiàn)[4]中進(jìn)行表述。第i表示接收站對干擾目標(biāo)的多普勒頻率測量如下：

式中，λ為波長；向量[XiYi]為接收站（i=1，2）的位置矢量；向量R=[X0Y0]為干擾源的位置矢量，V=[VsxVsy]T，。||r||表示向量r求歐幾里德范數(shù)。在多普勒定位模型中，能獲得干擾目標(biāo)多普勒頻率測量，需要使用加權(quán)最小二乘法，能夠得到目標(biāo)的位置和速度：

2.2 粒子濾波算法

文獻(xiàn)[11]認(rèn)為PF算法是搜索預(yù)測法，過程如下：先驗證布抽取的狀態(tài)空間一組樣本，將該樣本表示為被估量分布，根據(jù)測量的數(shù)據(jù)計算出每一個樣本似然度，并作為概率引入重抽樣，并按照重抽樣是由原來的樣本集抽出數(shù)目為N的加權(quán)樣本作為被估量并作為樣本庫，經(jīng)過多次搜索，使樣本庫的被估量越來越能表現(xiàn)真實狀態(tài)。所以對概率密度和樣本重要性的適當(dāng)選擇是很重要的。粒子濾波動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)字模型可用如下公式表示：

式中，xk為系統(tǒng)的狀態(tài)；yk為測量向量；hk為獨立分布的系統(tǒng)噪聲；wk為服從獨立分布的觀測噪聲。假定xk服從一階馬爾科夫過程函數(shù)，P（x0）為系統(tǒng)的初始狀態(tài)|x0|的先驗分布，具體計算按照Bayes公式迭代在一定模型下得到最優(yōu)值，步驟如下：

（1）抽取樣本

（3）粒子的狀態(tài)估計

（4）多次反復(fù)采樣

令k=k+1反代回步驟（1）中。

2.3 應(yīng)用最小平均積分誤差處理的粒子濾波算法

上節(jié)介紹粒子濾波算法的基本原理，本節(jié)針對重要性序列采樣方法提出一種新的改進(jìn)方法。此方法是將最小積分誤差應(yīng)用到粒子濾波算法中，經(jīng)過該方法的處理，不僅提高粒子濾波的精度，使偏離真實值的點數(shù)明顯下降，而且在算法中使收斂速度加快，定位精度有所提高。該算法的基本原理是對分布函數(shù)求解之前，加入一個高權(quán)重的高斯白噪聲。選取高權(quán)重的高斯白噪聲的原則是：將抽取的粒子加入可改變權(quán)重的高斯白噪聲；經(jīng)過測量函數(shù)Sk變換后得到y(tǒng)k；對yk的測量值和值估計的最小平均積分誤差進(jìn)行計算；選取最小平均積分誤差時高斯白噪聲的權(quán)重。根據(jù)動態(tài)模型公式（7），首先定義一組x估計值的上一組值xk-1。在xk-1周邊隨機(jī)抽取M個粒子x′k-1，然后將x′k-1代入式（9）中，然后根據(jù)本文提出的最小平均積分誤差算法在式（10）中加入一個改變權(quán)重的高斯白噪聲，即

上述即為在最小平均積分誤差的準(zhǔn)則對最優(yōu)的Wk-1進(jìn)行求解。為了得到最好的權(quán)重Wk-1，所以我們首先根據(jù)公式（10）求得x″k時得y″k，然后計算y″k與測量值yk之間的最小平均積分誤差為求得權(quán)重最優(yōu)的Wk-1。

公式（11）即為提出的最小平均積分誤差應(yīng)用到粒子算法中。根據(jù)分布函數(shù)將x″k和yk可以求得重要分布函數(shù)Pk，然后根據(jù)Pk即可得出所估計出高權(quán)重的M個粒子Xk，Xk的均值即為xk的估計值。具體算法流程如圖3所示：

3 本文算法和改進(jìn)粒子算法的比較

為了驗證上述提出的算法本文使用聯(lián)想電腦，型號為T440P，硬件配置CPU是Intecore i7 4710MQ，2.5GHz，4GB內(nèi)存，操作系統(tǒng)是wi ndows7，64 位。采用系列長度為60，粒子數(shù)為4000，加入的白噪聲均值為0，方差為10和1，且相互獨立，使用MATLAB6進(jìn)行仿真比較。按照上述公式對傳統(tǒng)的粒子濾波算法和本文提出的算法結(jié)果進(jìn)行比較，將此實驗運行100次，比較出結(jié)果的平均值。可以從圖中明顯的看到本文提出的算法對粒子狀態(tài)估計明顯優(yōu)于傳統(tǒng)粒子濾波算法，比較精確地估計出粒子的狀態(tài)。假定粒子的狀態(tài)如式（12）所示：

圖3 最小平均積分誤差算法流程

4 本文的算法在對雙站無源多普勒定位的應(yīng)用

假定觀測站的位置為P1（-20km，10km，0），P2（20km，10km，0），運行速度為v=150m/s，信號的目標(biāo)位置為S（0，0，0），兩次信號測量的間隔為2s，觀測時間為150s，測量的噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差是r=0.1*pi/150，測量噪聲和系統(tǒng)噪聲相互獨立，標(biāo)準(zhǔn)偏差Q=3，信號源發(fā)射出一個正弦相異脈沖信號，該信號被高斯白噪聲污染，信號為：

式中，A為信號幅度；φ0為初相位；f為信號頻tΔ率；為采樣間隔；N為信號樣本點數(shù)；W（n）的均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲。

圖5為傳統(tǒng)方法和最小平均積分誤差粒子濾波算法估計比較，可以看出最小平均誤差粒子濾波比最小均值粒子濾波在相同的信噪比下更能精確對干擾源進(jìn)行定位。然后將該方法用到干擾源定位方面，相對于最小均值的粒子濾波法定位精度有所改進(jìn)。

圖5 定位誤差隨接收信號信噪比的變化曲線

5 結(jié)束語

無源多普勒定位是一個難點和重點，因為這個定位過程比較復(fù)雜，影響定位的因素較多，特別是定位過程是一個復(fù)雜非線性的問題。為了解決這些問題，本文根據(jù)目前研究的成果，提出一種最小平均積分誤差粒子濾波算法，該方法在對粒子估計過程中根據(jù)粒子的權(quán)重大小，對粒子進(jìn)行估計，然后經(jīng)過估計值得到粒子的分布函數(shù)。經(jīng)該方法處理的粒子相對精確地估計出狀態(tài)值，然后再將該理論運用到多普勒頻差定位中，能得到較好的定位結(jié)果，該方法有較好的使用價值。

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