中立型時滯切換系統的有限時間有界性和增廣耗散性分析

， ，

(聊城大學 數學科學學院，山東 聊城 252059)

切換系統是一類重要的混雜系統, 由有限數量的子系統及操縱這些子系統切換的邏輯規則組成，是混雜系統研究的重要方向，不僅有重要的理論價值，而且具有廣泛的實際應用背景，如電力系統、機器人控制系統和車輛控制系統等。因此，切換系統得到國內外學者的廣泛關注，出現了許多研究成果[1-5]。眾所周知，時滯現象在許多工程系統中廣泛存在，使得系統性能變差，甚至是導致系統不穩定的重要原因之一。中立系統是一類特殊的時滯系統，時滯現象不僅存在于狀態而且存在于狀態導數中。近年來，也涌現出很多關于中立系統穩定性[6-7]、H∞控制[8]等方面工作。

值得注意的是，目前大多數關于切換系統性能的文獻集中于定義在無窮時間區間上的李雅普諾夫漸近穩定，而在有限時間內的系統動態性能的研究相對較少。文獻[9]，對一類切換系統引進了有限時間穩定的概念，文獻[10]研究了切換系統有限時間有界與L2增益分析等。因此，對于時滯切換系統有限時間性能的進一步研究具有現實意義。同時，Zhang等[11]首次提出增廣的耗散性概念，即通過矩陣參數調整，使增廣的耗散性涵蓋一些著名的性能指標如H∞、L2-L∞、無源性、(Q,S,R)-耗散性等，更便于系統性能的分析，目前該概念已經被引入神經網絡等問題的研究中[12-13]。

但增廣耗散性能指標在切換系統中還少有研究，因此本研究將增廣耗散性能指標的研究擴展到中立時滯切換系統，并分析系統的有限時間有界性。首先，給出問題陳述及相關引理，然后基于平均駐留時間以及線性矩陣不等式方法得到中立時滯切換系統有限時間有界且滿足有限時間增廣的耗散性性能指標的充分條件，最后給出相關結論并通過數值仿真實例驗證方法的有效性。

1 問題描述

考慮下面帶有時變時滯的中立切換系統：

(1)

zt=Fσ(t)x(t) ，

(2)

x(θ)=φθ，?θ∈-τ,0。

(3)

假設3矩陣ψ3，ψ4滿足以下條件：

2) ‖ψ1‖+‖ψ2‖‖ψ4‖=0。

假設4對?α≥0，μ≥1，?t∈0，Tf，有eαtμNσ(0,t)≤b，Nσ(0,t)代表σ(t)在0,t區間上的切換次數，b為正的常數。

定義111對給定的矩陣ψ1，ψ2，ψ3和ψ4滿足假設3，當初始狀態x(0)=0，系統(1)、(2)具有增廣的耗散性，如果對任意的Tf≥0及w(t)∈L20,∞以下的不等式成立:

(4)

其中：

J(t)=zΤ(t)ψ1z(t)+2zΤ(t)ψ2w(t)+wΤ(t)ψ3w(t)。

在定義1中，通過調整矩陣參數，增廣的耗散性涵蓋了一些著名的性能指標：

1)L2-L∞性能指標:ψ1=0，ψ2=0，ψ3=γ2I，ψ4=I；

2)H∞性能指標:ψ1=-I，ψ2=0，ψ3=γ2I，ψ4=0；

3) 無源性:ψ1=0，ψ2=I，ψ3=γI，ψ4=0；

4) (Q，S，R)-耗散性:ψ1=Q，ψ2=S，ψ3=R-βI，ψ4=0。

定義210給定三個常數c1,c2,Tf且c1

(5)

成立，若w(t)=0，則稱為有限時間穩定的。

定義310對任意T2>T1≥0，Nσ(T1,T2)代表σ(t)在時間區間T1,T2上的切換次數，如果

對于τa>0和整數N0≥0都成立，則τa稱為平均駐留時間。

N0為擾動界，不失一般性，本文取N0=0。

引理114X,Y為適當維數的實向量，則2XΤY≤XΤX+YΤY成立。

引理214對正定矩陣N∈Rn×n，標量τ>0和向量函數x·:R→Rn，積分不等式

2 主要結果

2.1 有限時間有界分析

定理1考慮系統(1)～(3)，令對給定正的標量rm，如果存在適當維數的對稱正定矩陣Ni,以及適當維數的矩陣X11i，X12i，X22i，H1i，H2i使得

(6)

(7)

其中，

(8)

成立，同時，

λ2+hmeαhmλ3+τmeατmλ4+hmeαhmλ5+rmeαrmλ6c1+λ7d

(9)

進一步，平均駐留時間滿足：

(10)

其中

λmin(Pi)=λ1,λmax(Pi)=λ2,λmax(Qi)=λ3,λmax(Zi)=λ4,λmax(Ti)=λ5,λmax(Mi)=λ6,λmax(Ni)=λ7。

(11)

且μ>1滿足

(12)

則切換系統(1)～(3)基于c1,c2,Tf,d,R,σ是有限時間有界的。

證明選取候選李雅普諾夫函數為

V(t)=Vσ(t)(t)=Vi(t)=V1i(t)+V2i(t)+V3i(t)+V4i(t)+V5i(t)。

基于系統(1)～(3)對V(t)求導得：

由牛頓-萊布尼茨公式得：

顯然成立。

又因為

其中，

由引理2得

因此，在狀態xt≠0的條件下，由式(7)～(8)得

(13)

積分式(13)，由式(12)～(13)得對?t∈tk,tk+1，

(14)

由定義3得：

(15)

另一方面，

(16)

≤[λmaxPi+hmeαhmλmaxQi+τmeατmλmaxZi+hmeαhmλmaxTi+rmeαrmλmaxMi]

≤λ2+hmeαhmλ3+τmeατmλ4+hmeαhmλ5+rmeαrmλ6c1。

(17)

由式(15)～(17)得

(18)

當μ=1，由式(9)得

xΤ(t)Rx(t)

當μ>1，由式(9)得

ln(λ1c2)-lnλ2+hmeαhmλ3+τmeατmλ4+hmeαhmλ5+rmeαrmλ6c1+λ7d-αTf>0

由(10)得

(19)

把式(19)代入式(18)得

證畢。

推論考慮系統(1)～(3)，令w(t)對給定正的標量rm，存在適當維數的正定對稱矩陣以及適當維數的矩陣X11i，X12i，X22i，H1i，H2i使得

λ2+hmeαhmλ3+τmeατmλ4+hmeαhmλ5+rmeαrmλ6c1

其中λ1,λ2,λ3,λ4,λ5,λ6滿足式(11)，μ>1 滿足式(12)。

其中，

成立，當平均駐留時間滿足

時，切換系統(1)～(3)基于c1,c2,Tf,R,σ(t)是有限時間穩定的。

證明證明過程與定理1相似。證略。

2.2 有限時間增廣的耗散性分析

定理2考慮系統(1)～(3)，令對給定正的標量rm，存在適當維數的正定對稱矩陣以及適當維數的矩陣X11i，X12i，X22i，H1i，H2i使得

(20)

(21)

(22)

其中，

(23)

(24)

平均駐留時間滿足

(25)

則系統滿足增廣的耗散性性能指標且基于0,c2,Tf,d,R,σ(t)是有限時間有界的。

證明與定理1的證明相似，可得：

其中，

由式(22)～(23)得：

在零初始狀態V(0)=0下，得

因此

由假設4得

所以

考慮不等式

若ψ4>0，由假設3得ψ1=0,ψ2=0,ψ3>0，所以

因此對?

由(20)有

得

因此增廣的耗散性證明完成，以下證明有限時間有界，由以上證明得

從而

又因為ψ1≤0，所以

由以上不等式得

則

又因為

則由式(25)得xΤ(t)Rx(t)

3 仿真實例

考慮兩個子系統的情況，令系統(1)～(2)的參數為

以上仿真結果表明，存在相應的矩陣使得相應的矩陣不等式成立，系統有限時間有界與增廣的耗散性成立，從而驗證了方法的有效性。

4 結論

運用平均駐留時間及線性矩陣不等式方法分析了系統有限時間有界與增廣的耗散性問題，基于增廣的耗散性概念，將H∞，L2-L∞，無源性，(Q,S,R)-耗散性指標整合到一個統一的框架，使得系統性能的分析更加方便。用線性矩陣不等式方法可使仿真結果驗證更加便利。未來增廣的耗散性概念將會應用到更多復雜動態系統中。

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