不完全量測下事件觸發卡爾曼一致濾波及在光電探測網中的應用

陳燁，盛安冬，戚國慶，李銀伢

(南京理工大學 自動化學院，江蘇 南京 210094)

0 引言

光電探測網絡主要通過激光、紅外、可見光譜段的光電探測器實現目標信息的獲取，并以有線或無線通信的方式實現探測網絡的構建及信息共享。近年來，光電探測系統以其低成本、小型化、多功能、高成像質量等優點被廣泛應用于近程防空目標探測等領域，已成為分布式火控網中的重要組成部分之一[1-4]。

在光電探測器對運動目標進行量測的過程中，由于各類因素的制約，會導致探測器出現不完全量測現象[5-7]。這一現象引起了學者們的廣泛關注：Wang等[5]研究了不完全量測下多智能體系統的一致性控制策略問題；Dong等[6]對方差約束下不完全量測非線性估計問題進行了研究；Li等[7]研究了不完全量測下的分布式一致估計算法。

在運用卡爾曼一致濾波算法對運動目標狀態進行估計時，每一估計周期中各探測器均需就目標預測估計值進行信息交互[8]，因此其一方面加重了系統中通信網絡的負擔，另一方面在一定程度上增加了各光電探測器節點被偵測到的幾率，制約了此類算法的應用。

為協調各探測器節點間就局部預測估計值的信息交互過程，本文將事件觸發機制應用至不完全量測下的卡爾曼一致濾波算法中，以減輕通信系統的負擔。事件觸發機制是指僅在滿足一定條件時各探測器進行信息交互，其余時刻不交互。國內外研究現狀如下：Lu等[9]在無線傳感網絡中事件觸發機制下對合作目標的跟蹤問題進行了研究；Meng等[10]對無線傳感網絡中事件觸發機制下卡爾曼一致濾波問題進行了研究，給出了相應的估計算法，并就無噪聲干擾時的算法性質進行了研究；Yan等[11]對非線性離散時滯系統的事件觸發估計問題進行了研究，設計了一種事件觸發機制，并推導了相應的估計算法；Ding等[12]對移動傳感網絡中的事件觸發H∞濾波算法進行了研究。

為節約光電探測系統的通信資源，本文提出了一種事件觸發機制協調各節點間的信息交互過程。各探測器節點通過計算自身預測估計值與上一時刻接收到的鄰居節點估計值一步遞推值的相差程度，來決定本時刻是否需要發送信息至各鄰居節點。在保證網絡中各節點估計值一致性的同時，減輕通信網的負擔。

1 問題描述

在笛卡爾坐標系下，目標運動方程可描述為

xk+1=Φkxk+wk，

(1)

式中：xk∈Rn為狀態變量；Φk為狀態轉移矩陣；wk為過程噪聲，滿足wk～N(0,Q)，Q為過程噪聲協方差矩陣。

假設由M個探測器組成的探測器網絡對上述目標進行量測，第i個探測器的量測方程為

(2)

探測網絡通信拓撲可由無向圖G表示，L為G的拉普拉斯矩陣，若探測器i與探測器j可實現數據交互，則稱探測器i與探測器j互為鄰居。Ni表示探測器i的鄰居探測器集合。

不失一般性，以探測器i為例，參考文獻[7-8]，設計不完全量測下卡爾曼一致濾波器為

(3)

由(3)式可知，每個估計周期中各探測器均需獲知各鄰居節點關于目標的預測估計值來計算最終估計值。在某些時刻，各探測器節點的預測估計值與上一時刻最終估計值的一步遞推值相比變化不大，對鄰居節點的最終估計值影響不大，此時發送預測估計值，一方面會浪費網絡的通信資源，另一方面會在一定程度上增加各探測器被偵測到的幾率。因此本文引入事件觸發機制來管理各探測器關于預測估計值的通信過程，一方面可以節約探測器網絡的通信資源，另一方面在一定程度上可以減少探測器被偵測到的概率。

參考文獻[10]，對探測器i設計事件觸發機制為

(4)

參考文獻[10]中的事件觸發機制為

此時探測器i關于目標的最終估計值為

(5)

式中：

(6)

由(6)式可看出當探測器i不發送其預測估計值至其鄰居節點時，其鄰居節點可通過一步遞推計算此時探測器i關于目標的預測估計值，不會額外增加網絡的通信負擔。

2 不完全量測事件觸發最優卡爾曼一致濾波器設計

誤差間的協方差定義為

(7)

(8)

因此

證畢。

3 不完全量測事件觸發次優卡爾曼一致濾波器設計及性能分析

3.1 次優卡爾曼一致濾波算法

進一步可得次優卡爾曼一致濾波算法為

由次優卡爾曼一致濾波算法可得，其更新矩陣的算法復雜度為O(M)，而最優卡爾曼一致濾波算法更新矩陣的算法復雜度為O(M2)。隨著算法復雜度的降低，當節點數較大時，在計算量與計算時間上將更具有優勢。

3.2 次優卡爾曼一致濾波算法性能分析

定義1[13]若存在a,b,?∈R+滿足a,b>0、0

[‖ξk‖2]≤a‖ξ0‖2?k+b.

(9)

[Vk(ek)]=

(10)

進一步，

(11)

對于(10)式中第3項和第4項有

(12)

(13)

對于(10)式的第2項和第5項有

(14)

(15)

(10)式最后一項為

(16)

由事件觸發條件(4)式及假設2可得

式中：L=L?I；ζmax(X)表示矩陣X的最大特征值。

聯立(15)式和(16)式可得

(17)

聯立(11)式～(13)式和(17)式可得

[Vk(ek)]≤(1-β)[Vk-1(ek-1)]+μ,

證畢。

4 數值算例

為說明本文所提算法在估計精度、各節點估計值差異度、通信資源消耗等方面的優越性及觸發門限因子、不完全量測概率對算法性能的影響,設計數值算例如下。

考慮由M=20個探測器組成的探測器網絡對二維勻速直線運動目標進行量測。

目標運動方程為

探測器i對運動目標的量測方程為

探測器網絡拓撲圖如圖1所示。

各探測器事件觸發情況如圖3所示。由圖3可以看出在本文所提事件觸發機制下，各探測器僅在滿足條件時將其預測估計值發送至各鄰居節點，在一定程度上節約了探測器網絡的通信資源。隨著時刻k的增大，各探測器對目標狀態估計值逐漸趨于一致，觸發頻率會逐漸降低。

為進一步凸顯本文所提事件觸發機制的作用，將所提不完全量測下的事件觸發卡爾曼一致濾波算法與文獻[8]中的算法進行比較，如圖4和圖5所示。由圖4及圖5可以看出，本文算法與文獻[8]中算法相比，探測器網絡中各節點間通信量下降，同時探測器網絡估計精度略有下降。在實際應用中，可根據估計精度的指標要求選取合適的門限因子，獲取滿足指標要求的估計精度。

其中統計意義下的平均觸發頻率及各節點估計差異度平均為

由圖6可以看出，隨著門限因子的不斷增加，事件觸發機制的平均觸發頻率在不斷減小，各探測器節點間估計值差異度也在不斷增加。

為研究探測器不完全量測現象對本文算法性能的影響，保持事件觸發門限因子不變，探測概率由1.00逐漸降低至0.75，探測器網絡對目標的估計精度定義為各探測器估計精度的算術平均值。仿真結果如圖7所示。由圖7可以看出，隨著各探測器探測概率的降低，探測器網絡對目標狀態的估計精度隨之降低，這是由于探測器探測概率越低，探測器網絡所能獲取到的目標信息量越少，進而對估計精度影響越大。

5 光電探測網絡中的應用

為驗證本文所提算法應用于工程實際的可行性，考慮某一光電探測網絡(見圖8)對某保衛目標周圍的空情進行探測，來襲目標運動方程建模為

本文所提算法可運用到光電傳感網絡中，一方面可減少光電傳感網絡的通信量，另一方面可在一定程度上增強各光電探測器節點的隱蔽性。

運用兩條試驗航路數據對本節所提機制及相應算法進行仿真試驗。

各航路運動軌跡如圖9所示。航路A下各光電探測器節點對目標位置及速度估計精度如圖10所示。航路B下各光電探測器節點對目標位置及速度估計精度如圖11所示。

由圖10和圖11可以看出在航路A、航路B中各光電探測器運用本文算法均可較為精確地估計運動目標的狀態，且估計值隨時間的增大逐漸趨于狀態一致。

將本文所提事件觸發機制應用于光電傳感網絡中，網絡各節點估計差異度平均值及與不使用事件觸發機制相比，航路A、航路B下各探測器通信資源消耗比例分別如圖12和圖13所示。由圖12和圖13可以看出：應用本文所提事件觸發機制后，各光電探測器僅在需要時發送預測估計值至其鄰居節點；與不使用事件觸發機制相比，各探測器除探測器4外通信資源消耗均有較大幅度的下降，網絡中各節點估計差異度也逐漸減小。需要注意的是，由于探測器4鄰居節點較多，其對探測網絡估計精度影響較大，運用本文所提事件觸發機制后，其通信資源消耗下降不多，最大程度地保證了光電探測網絡的估計精度，可以更好地滿足工程實際的需求。

6 結論

本文針對卡爾曼一致濾波算法中各節點間通信量過大的問題，設計了一種事件觸發機制減少各節點間的通信量。推導了所提事件觸發機制下的卡爾曼一致濾波算法，證明了其估計誤差的有界性,通過數值算例說明了所提機制及算法的有效性。最后通過光電探測網絡應用實例驗證了所提算法在工程應用中的可行性。

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