基于小波分析與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)融合算法對(duì)地磁信號(hào)降噪處理的應(yīng)用

汪偉明　賀巍

摘要：本文擬應(yīng)用MATLAB軟件對(duì)容易受到外界環(huán)境干擾和由于儀器自身干擾的影響，對(duì)地磁信號(hào)進(jìn)行降噪處理。通過(guò)小波分析和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)融合算法，同時(shí)將該方法與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法兩者進(jìn)行對(duì)比分析，并且計(jì)算出降噪后信號(hào)相對(duì)于含噪信號(hào)的均方誤差的值，然后對(duì)其不同算法的降噪信號(hào)的處理結(jié)果與未受干擾的原始正常信號(hào)進(jìn)行對(duì)比分析，分別求其信噪比的大小，綜合考慮兩種算法對(duì)地磁含噪信號(hào)處理的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)。進(jìn)而得出小波分析與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法對(duì)地磁信號(hào)的降噪處理，能最大化的減少信號(hào)的失真程度，保留其原始形態(tài)。為以后批量處理地磁觀測(cè)的干擾數(shù)據(jù)提供新方法和新思路，同時(shí)也能抑制對(duì)地磁信號(hào)的干擾和提高觀測(cè)數(shù)據(jù)的內(nèi)在質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：MATLAB軟件；降噪處理；小波分析；數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)；均方誤差；信噪比

中圖分類號(hào)：TN911.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9416（2018）02-0122-03

隨著數(shù)學(xué)信號(hào)處理技術(shù)的不斷提升，基于MATLAB軟件對(duì)地磁信號(hào)降噪處理的方法也越來(lái)越多，截止目前為止，降噪處理的方法主要有：基于fft硬件濾波法，信號(hào)相關(guān)法，自適應(yīng)濾波法，圖譜識(shí)別法，有限沖激響應(yīng)濾波法和小波變換法等等。對(duì)于先前已有的降噪方法，均有明顯的缺點(diǎn)，主要表現(xiàn)在對(duì)降噪信號(hào)處理不徹底，或者波形容易失真等。所以開(kāi)始對(duì)地磁信號(hào)研究新的降噪方法非常重要。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法其主要應(yīng)用于算法開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境[1]。該算法將一個(gè)含噪的信號(hào)分解成具有物理意義的各個(gè)部分，然后將其背景剝離，從而有效抑制含噪信號(hào)的毛刺和縫隙，保留原始信號(hào)的主要形態(tài)。應(yīng)用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的算法處理含噪信號(hào)時(shí)，不容易發(fā)現(xiàn)本身微弱信號(hào)的尖峰和毛刺，同時(shí)由于含噪信號(hào)因其有振蕩衰減的特點(diǎn)，所以在含噪信號(hào)特別微弱的時(shí)候，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法很難在形態(tài)上區(qū)分是振蕩衰減的信號(hào)還是信號(hào)的尖峰和毛刺。因此單純應(yīng)用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法對(duì)地磁信號(hào)的降噪處理無(wú)法取得理想效果。小波分析對(duì)地磁信號(hào)的研究較為廣泛，因其本身具有可以調(diào)整時(shí)間窗和頻率窗的特點(diǎn)，可以精確找到某一段地磁信號(hào)的突變點(diǎn)，對(duì)地磁信號(hào)的降噪算法研究具有深刻意義。通過(guò)小波分析，進(jìn)行門(mén)限閾值量化處理后進(jìn)行小波重構(gòu)，進(jìn)而抑制信號(hào)的噪聲。結(jié)合小波分析和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)兩者算法的優(yōu)點(diǎn)，將其兩者融合，來(lái)對(duì)地磁信號(hào)進(jìn)行降噪處理，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)抑制地磁信號(hào)的干擾信息，最大化，最有效的恢復(fù)原始的地磁真實(shí)信號(hào)。

本文利用小波分析與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)融合算法對(duì)地磁的高頻干擾信息進(jìn)行降噪處理，同時(shí)將該方法與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法進(jìn)行對(duì)比分析，綜合分析兩者的濾波效果，達(dá)到消除地磁信號(hào)因外界環(huán)境受到的高頻干擾信息，兩者通過(guò)定量對(duì)比分析其均方誤差值和信噪比的大小，分析其優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)，最大化的提取真實(shí)地磁信號(hào)的初步分析和探討。

1 基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法的混合濾波器設(shè)計(jì)

1.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法介紹

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是積分幾何研究成果的基礎(chǔ)上創(chuàng)立的，是基于集合論的數(shù)學(xué)分支，它提供了非常有效的非線性濾波技術(shù)[2]。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的運(yùn)算主要包括腐蝕Θ，膨脹，形態(tài)開(kāi)OC和形態(tài)閉CO的級(jí)聯(lián)組合。對(duì)于地磁信號(hào)而言，以GM4儀器為例，記錄到的值屬于一維的離散信號(hào)f（j）。其主要包括地磁真實(shí)信號(hào)x（j）和含噪信號(hào)y（j），其表達(dá)式為：

所以對(duì)于地磁信號(hào)所有的高頻干擾含噪信號(hào)而言，其主要就是平滑和抑制峰值和谷底的噪聲，由此引出來(lái)開(kāi)-閉OC濾波器和閉-開(kāi)CO濾波器，兩者任意一個(gè)濾波器均可以實(shí)現(xiàn)對(duì)地磁信號(hào)高頻干擾的降噪處理。單個(gè)的濾波器雖然可以消除高頻干擾信息，但是開(kāi)-閉OC濾波器和閉-開(kāi)CO濾波器因分別具有開(kāi)運(yùn)算的收縮性和閉運(yùn)算的擴(kuò)張性，會(huì)使地磁信號(hào)的濾波輸出結(jié)果偏大或者偏小，進(jìn)而影響其濾波效果。因此本文擬采用開(kāi)-閉OC濾波器閉-開(kāi)CO濾波器輸出結(jié)果的平均值來(lái)組成混合濾波器，通過(guò)混合濾波器的設(shè)計(jì)，對(duì)地磁信號(hào)進(jìn)行降噪處理，可以更好地消除高頻干擾。得到的濾波效果會(huì)更接近真實(shí)信號(hào)，其表達(dá)式為：

1.3 結(jié)構(gòu)元素的確定

設(shè)計(jì)好混合濾波器的算法后，組成混合濾波器的結(jié)構(gòu)元素直接影響其地磁信號(hào)的濾波結(jié)果。常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)元素有余弦，直線，三角，半圓等。本文擬采用余弦結(jié)構(gòu)和直線結(jié)構(gòu)分別對(duì)高頻干擾信息進(jìn)行消除。此余弦結(jié)構(gòu)的的形狀由幅值S和寬度W共同決定，而直線結(jié)構(gòu)的形狀僅有寬度W決定。所以應(yīng)用表達(dá)式（8），選取不同結(jié)構(gòu)元素的形狀，對(duì)于含有地磁行的高頻干擾進(jìn)行消除，對(duì)地磁信號(hào)進(jìn)行降噪處理。分析其不同種類的結(jié)構(gòu)元素，對(duì)其濾波的效果。

2 小波分析與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法的融合濾波器設(shè)計(jì)

基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法的混合濾波器設(shè)計(jì)后，接著開(kāi)始設(shè)計(jì)小波分析與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法相融合的濾波器，其主要包括以下幾個(gè)步驟：

①選擇合適的小波基db和尺度p，確定小波分解層數(shù)N，并將含有高頻信息的地磁信號(hào)f（j）分解，分解后提取每一層的小波系數(shù)WT（p1，k1）；

②然后利用已經(jīng)設(shè)計(jì)好的混合濾波器對(duì)每一層的小波系數(shù)WT（p1，k1）濾波，得到新的小波系數(shù)WT”（pn，kn）；

③確定閾值的λp，對(duì)小波系數(shù)WT”（p，k）進(jìn)行閾值處理。在閾值前乘系數(shù)k（0

λp是第p層小波分解的閾值；mp是第p層的小波分解系數(shù)的中值；np時(shí)第p層的小波系數(shù)的個(gè)數(shù)。

④重構(gòu)第③步處理后的小波系數(shù)WT”（p，k），通過(guò)重構(gòu)小波系數(shù)，還原濾波后的地磁信號(hào)。得到的結(jié)果即為小波分析與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)融合濾波器的濾波結(jié)果。

3 基于兩種不同算法所設(shè)計(jì)濾波器濾波效果的衡量標(biāo)準(zhǔn)

對(duì)于含噪地磁信號(hào)分別通過(guò)基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的混合濾波器和小波分析與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)相融合算法的濾波器，輸出濾波結(jié)果，通過(guò)得到濾波后的曲線，計(jì)算其地磁信號(hào)濾波的均方誤差ESE的值和信噪比SNR的大小，進(jìn)而綜合分析考慮兩者的濾波效果。其計(jì)算公式如下：

4 仿真分析

為驗(yàn)證兩種算法所設(shè)計(jì)的濾波器對(duì)地磁高頻干擾信息的濾除效果，擬采用MATLAB軟件進(jìn)行仿真分析。

4.1 不同結(jié)構(gòu)元素選取對(duì)地磁信號(hào)降噪處理的仿真分析

如2017年11月1日榆林臺(tái)GM4-1儀器記錄到Z分量正常的地磁信號(hào)，選取世界時(shí)00時(shí)00分-16時(shí)00分時(shí)段的波形曲線，將該曲線加入高斯白噪聲干擾，然后分析余弦結(jié)構(gòu)和直線結(jié)構(gòu)兩種不同結(jié)構(gòu)元素下，所設(shè)計(jì)的混合濾波器對(duì)榆林臺(tái)高斯白噪聲的降噪效果情況。對(duì)于兩種不同結(jié)構(gòu)元素，最優(yōu)的S和W組合時(shí)的濾波效果如表1可知，由此可知對(duì)于不同結(jié)構(gòu)元素，余弦結(jié)構(gòu)降噪后最大信噪比SNR=28.139dB，最小均方誤差ESE=2.523X10-2。而對(duì)于直線結(jié)構(gòu)降噪后最大信噪比SNR=10.589dB，最小均方誤差ESE=1.492X10-2。同時(shí)由圖1可見(jiàn)對(duì)于高斯白噪聲而言，雖然余弦結(jié)構(gòu)元素的混合濾波器能得到最大的信噪比，但是地磁信號(hào)嚴(yán)重失真，反而對(duì)于直線結(jié)構(gòu)元素，均方誤差值較小，信噪比較大，最大化的還原真實(shí)的地磁信號(hào)，對(duì)高斯白噪聲的降噪效果較好。

4.2 兩種不同算法的濾波器對(duì)地磁信號(hào)降噪的仿真分析

松江佘山臺(tái)FGE[K]儀器記錄到的地磁信號(hào)的Z分量的變化，因受到地鐵高頻干擾，地磁信號(hào)嚴(yán)重失真。同樣選取2017年11月1日世界時(shí)00時(shí)00分-16時(shí)00分時(shí)段的波形曲線，因其榆林臺(tái)與松江佘山臺(tái)基本在同一緯度上，地磁的日變化曲線基本一致，但存在一定的相位差。如下圖2所示，松江佘山臺(tái)在該時(shí)間段內(nèi)，Z分量受到高頻干擾，地磁信號(hào)曲線嚴(yán)重失真，而榆林臺(tái)地磁信號(hào)的Z分量未受干擾，能較好的還原地磁信號(hào)的真實(shí)形態(tài)。所以可以應(yīng)用這兩種不同算法所設(shè)計(jì)的濾波器，對(duì)該臺(tái)的高頻干擾信息降噪處理，降噪處理的結(jié)果同榆林臺(tái)同時(shí)段的曲線做對(duì)比分析，最后通過(guò)仿真結(jié)果綜合分析兩種算法所設(shè)計(jì)的濾波器對(duì)高頻干擾的降噪效果情況。

由表2可知，對(duì)于高頻干擾信息的濾除，余弦結(jié)構(gòu)的混合濾波器的信噪比明顯優(yōu)于直線結(jié)構(gòu)的混合濾波器，并且兩種結(jié)構(gòu)的均方誤差比較接近。因此選余弦結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)混合濾波器和小波分析與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)相融合的濾波器兩者做對(duì)比分析，分析其降噪效果情況。

由表3可知，對(duì)于兩種不同算法所設(shè)計(jì)的濾波器，小波分析與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)相融合所設(shè)計(jì)濾波器的降噪后最大信噪比SNR=250.621dB，最小均方誤差ESE=3.8519X10-2。而對(duì)于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)混合濾波器的降噪后最大信噪比SNR=260.893dB，最小均方誤差ESE=3.8327X10-2。由此可見(jiàn)，小波分析與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)融合算法的濾波器對(duì)高頻干擾信息的處理要優(yōu)于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)混合濾波器。同時(shí)由圖3可見(jiàn)，對(duì)于松江佘山臺(tái)受高頻干擾的處理結(jié)果而言，小波分析與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法相融合的濾波器明顯最大化的保留地磁的原始形態(tài)，與榆林臺(tái)在同一時(shí)間段的地磁信號(hào)變化曲線基本一致。

5 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)MATLAB軟件對(duì)兩種不同算法所設(shè)計(jì)的濾波器進(jìn)行仿真測(cè)試，分析其地磁信號(hào)受到高頻干擾的外界環(huán)境干擾時(shí)，對(duì)其降噪處理，所得到的濾波結(jié)果明顯有差異，經(jīng)分析，得出小波分析與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)相融合算法的濾波器的明顯優(yōu)于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法的濾波器。小波分析與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法相融合算法設(shè)計(jì)的濾波器能保證信號(hào)最大化且無(wú)失真還原地磁真實(shí)信號(hào)，其濾波得到的結(jié)果信噪比高，均方誤差值也小。為以后批量處理地磁干擾數(shù)據(jù)提供新思路和新方法，同時(shí)也有助于提高地磁相對(duì)觀測(cè)資料的內(nèi)在質(zhì)量。

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