基于兩層壓縮感知的頻率—角度聯合估計方法

魏爽 陶春貴 李莉 蔣德富

摘要： 介紹了一種基于兩層壓縮感知的頻率/角度聯合估計方法，第一層壓縮感知算法采用單快拍模型求解方向波數，第二層壓縮感知算法利用方向波數形成的參數逆矩陣求解頻率參數，以此求得角度.為驗證所提方法的性能，利用3路不同頻率和角度的信號分別在不同信噪比（SNR）、快拍條件下對信源頻率/角度進行估計.仿真實驗結果表明：該方法在少快拍條件下可對信源的頻率和角度進行精確估計.

關鍵詞：

兩層壓縮感知； 頻率估計； 角度估計； 方向波數； 信源定位

中圖分類號： TN 911文獻標志碼： A文章編號： 10005137（2018）02017907

Frequency and DOA joint estimation method based on

twolayer compressed sensing

Wei Shuang1，2， Tao Chungui2， Li Li1， Jiang Defu2

（1.The College of Information，Mechanical and Electrical Engineering，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China；

2.College of Computer and Information，Hohai University，Nanjing 211100，China）

Abstract：

A frequency and angle joint estimation method based on twolayer compressed sensing is introduced.The first layer uses single snapshot model to solve the direction wave number，and the second layer uses the inverse of the parameter matrix to solve the frequencies，so as to obtain angel parameters.In order to verify the performance of the proposed method，signals of three different frequencies and angles were used to estimate the source frequency/angle under different singal noise ratio （SNR） and snapshot conditions.Experiments results show that in the condition of few snapshots，the proposed method can obtain the accurate estimation of the source frequency and angle.

Key words：

twolayers compressed sensing； frequency estimation； angel estimation； directional wave number； source location.

收稿日期： 20180201

基金項目： 國家自然科學基金（61401145）；江蘇省自然科學基金（BK20140858）

作者簡介： 魏爽（1983-），女，副教授，主要從事多維信號估計與檢測，智能優化和數據挖掘算法，目標定位與識別方面的研究.Email：weishuang@shnu.edu.cn

引用格式： 魏爽，陶春貴，李莉，等.基于兩層壓縮感知的頻率-角度聯合估計方法 [J].上海師范大學學報（自然科學版），2018，47（2）：179-185.

Citation format： Wei S，Tao C G，Li L，et al.Frequency and DOA joint estimation method based on twolayer compressed sensing [J].Journal of Shanghai Normal University （Natural Sciences），2018，47（2）：179-185.

0引言

信源定位是信號處理領域的一個重要問題，在實際應用中，為準確對信源進行定位，常涉及對頻率、多普勒頻移、波達時間、波達頻率等參數的估計.隨著通信技術的飛速發展，波達方向和頻率聯合估計技術廣泛應用于雷達、勘探、射電天文、移動通信等領域，成為了信號處理領域的一個熱點問題[1-6].

自從波達方向和頻率的聯合估計方法問世以來，學者們提出了許多同類方法.文獻[7]提到一種基于空域濾波的頻率和方向波數配對方法，該方法具有簡單可行的優點.為提高方向波數估計精度，文獻[7-9]提出基于信號奇異值分解的壓縮感知方法，使空域濾波法在低信噪比（SNR）條件下的穩健性大大增強.

壓縮感知理論（CS）是一種新的高分辨求解算法，大量文獻研究表明該方法在低信噪比、少快拍數條件下對參數估計的穩健性較好[10-13]，基于此，本文作者提出了一種兩層壓縮感知的頻率/角度估計方法.通過利用壓縮感知理論對方向波數和頻率的求解，提高算法在低信噪比、少快拍條件下對信源定位的精確度.

1信號模型

假設有P個遠場信號分別以θ1，θ2，θ3，…，θP角度入射到陣元數為N，陣元間距為d的均勻線陣上[1-8，14]，信號對應的中心頻率分別為f1，f2，f3，…，fP，則第i個信號（i=1，2，3，…，P）角度和頻率的二維導向矢量

a（θi，fi）=[1exp[（-j2πfidsinθi）/c…exp[（-j2π（N-1）fidsinθi）/c]]T，（1）

其中，c=3×108 m/s表示光速，由于含有角度和頻率信息，求解導向矢量是一個二維求解問題，為將其轉化為一維求解問題，設共同含有頻率和角度的因子Ki=fisinθi/c，（i=1，2，3，…，P），稱K=[K1K2…KP]為方向波數.那么，

a（Ki）=[1exp（-j2πdKi）…exp（-j2π（N-1）dKi）]T，（2）

其中，dKi表示第i個信號在相鄰陣元間之間的相位差，方向波數對應的陣列流型

A=[a（K1）a（K2）…a（KP）]，（3）

其中A為N×P維矩陣.那么第t個快拍時刻線陣接收到的信號為

x（t）=As（t）+w（t），（4）

其中，x（t）N×l為第t個快拍時刻陣列接收的信號矢量，s（t）P×1=[sf1（t）sf2（t）…sfP（t）]T為第t個快拍時刻空間信號矢量，sfi（t）=exp[j2πfit/fs]，t=1，2，…，L，fs是采樣頻率，w（t）N×1為第t個快拍時刻高斯白噪聲.由（4）式可得在總共L個快拍中接收到的信號

X=AS+W，（5）

其中，XN×L=[x（1）x（2）…x（L）]為陣列接收信號，SP×L=[s（1）s（2）…s（L）]為L次快拍接收到的空間信號，WN×L為高斯白噪聲.

2算法原理

2.1基于壓縮感知的方向波數求解

利用聯合估計的思想，將二維的頻率/角度問題轉換為一維的方向波數求解問題，可以大大簡化計算復雜度.一些學者們研究發現，若要得到精確的角度估計必須先得到精確的方向波數估計值，雖然以多信號分類（MUSIC）算法為代表的經典譜估計方法[15-16]已能對方向波數進行高分辨估計，但這類算法所需快拍大，計算復雜.壓縮感知方法[17-18]以分辨率高，所需快拍數少，利用很少的數據信息即可對信號進行精確恢復的特點，在信號處理領域得到廣泛關注.

CS指出當信號具有（或在某個域具有）稀疏性特點時，可利用一個低維矩陣對該稀疏信號進行觀測，抽取其中的一部分信息，將高維信號轉化為低維信號，通過尋優求解的方法求出最優值.本研究中，方向波數在整個方向波數域內是稀疏的，因此只需利用潛在可能的方向波數值構造出過完備的正交稀疏字典，構造方法為：將整個方向波數域進行等格離柵，分為β個等份，以每一個離柵格點的導向矢量作為變換基矩陣的一個列，構造一個N×β維的變換基矩陣

Ψ=[a（K—1）a（K—1）…a（K—β）]，（6）

其中，K—i（i=1，2，…，β）為等格劃分后潛在可能的方向波數值，a（K—i）=[1exp（-j2πd—Ki）…exp（-j2π（N-1）dK—i）]T為構造的潛在方向波數導向矢量，那么第t個快拍時刻線陣接收到的信號可被稀疏表示為

x（t）=Ψy（t）+e（t），（7）

其中，y（t）β×1為第t個快拍時刻線陣接收到的信號的稀疏表示，e（t）為高斯白噪聲.

高斯隨機矩陣能很好地滿足約束等距性條件（RIP），被廣泛應用于壓縮感知方法，因此利用高斯隨機矩陣ΦM×N對信號進行觀測，觀測信號

z（t）=Φx（t）=ΦΨy（t）+Φe（t）=Ty（t）+Φe（t），（8）

其中，z（t）M×1為第t個快拍時刻線陣接收到的信號經過壓縮觀測后的觀測信號，TM×LN為壓縮感知恢復矩陣.

在信號滿足壓縮感知的條件下，通過求解l1范數對（8）式進行求解，數學表達式為

mins-ΦΨy—2+λy—1

（9）

求解模型（9）的算法有多種，本文作者所用信號稀疏度均為已知，以正交匹配追蹤（OMP）算法對信號方向波數進行求解.

2.2方向波數和頻率的配對算法

在求出信號方向波數后，只需求出信號的頻率，然后將頻率與方向波數進行配對，即可求出信號頻率/角度的二維信息.對于信號頻率的求解，有學者提出了基于空域濾波的頻率和方向波數匹配的方法[8]，利用自適應波束形成算法分別對所求方向波數所對應的信號進行空域濾波并對輸出信號利用傅里葉變換（FFT）進行測頻，獲得每個方向波數所對應信號的頻率，即實現信號頻率與方向波數的匹配.實驗結果表明：此方法可對頻率和角度進行較為精確的估計[7-8].

本文作者提出一種基于壓縮感知的方向波數和頻率配對的估計算法，利用所求方向波數構造方向波數參數矩陣（以下簡稱參數矩陣）[19]

B=b（K^1）b（K^2）…b（K^P）」，

（10）

其中，b（K^i）=[1exp（-j2πdK^i）…exp（-j2π（N-1）dK^i）]T為求解方向波數導向矢量.用BN×P對陣列接收信號進行改寫，改寫后的信號（以下簡稱加參信號）

X^=XT（BT）^+=STAT（BT）^++WT（BT）^+，（11）

其中，X^L×P為加參信號，（BT）^+N×P為BN×P轉置的廣義逆矩陣，W^L×P為噪聲信號，ΩP×P是一個近似于單位矩陣的方陣，稱為干擾矩陣，當求解的方向波數越精確，ΩP×P越接近單位矩陣，此時對信號干擾越小，X^L×P就越接近原始信號空間信息.

（11）式所得的加參信號只含有頻率信息，且目標頻率在整個頻域范圍內具有稀疏的特性，因此適用于CS理論，可對整個頻域進行等格離柵劃分，以每一個離柵格點的導向矢量作為變換基矩陣的一個列，構造一個α×L維的變換基矩陣

Ψ^=[s^（1）s^（2）…s^（L）]，（12）

s^（t）=[exp（j2πf—1t/fs）exp（j2πf—2t/fs）…exp（j2πf—αt/fα）]T，（13）

其中，f—i（i=1，2，…，α）為等格劃分后潛在可能的頻率值，s^（t）為潛在頻率導向矢量.

均勻線陣經歷L個快拍接收到的空間信號頻率信息

X^=Ψ^TY^+E^，（14）

其中，Y^α×P為經歷L個快拍時刻線陣接收信號的稀疏表示，E^α×P為噪聲.利用高斯矩陣對信號進行降維觀測得

Z^=Φ^X^=Φ^Ψ^TY^+Φ^E^=T^Y^++Φ^E^

（15）

其中，Z^M×P為L快拍期間線陣接收到的空間信號經過壓縮觀測后所得觀測信號，T^M×α為壓縮感知恢復矩陣.由于所得觀測空間信號是矩陣形式，且Y^α×P每列只包含一個有用頻率信息，只需對每列分別利用OMP算法求解即可得到相應的頻率信息.

當求出完整的頻率信息后還需對所求頻率和方向波數進行匹配，以求解出相應的角度信息，利用所求頻率構造匹配矩陣QL×P，將匹配矩陣QL×P中的每個元素與加參信號X^L×P中元素配對，找出最接近兩矩陣的匹配矩陣模型，即完成信號頻率與方向波數匹配，該匹配方法可以描述為：

minX^-QF

s.t.Q=[q（Y—z（1））q（Y—z（2））…q（Y—z（P））]

，（16）

其中，Y—Z=randperm（f—1f—2…f—P），f—i為所求信號頻率（i=1，2，…，P），q（Y^z（i））=[exp（j2πf—i/fs）exp（j2πf—i2/fs）…exp（j2πf—iL/fs）]T為所求頻率構造的導向矢量.

根據所求方向波數及頻率的匹配情況，即可求出信號角度信息

θ—i=arcsin（K—ic/f—i），（17）

其中，K—i、f—i為相匹配的方向波數和頻率.

圖1為所提出方法的流程圖.

3仿真與分析

為衡量算法性能優劣，以空域濾波法為對照，設計了在不同快拍數、信噪比條件下對信號角度和頻率進行聯合估計的仿真實驗，結果表明：所提方法可在信噪比較低的條件下，利用較少的快拍數對信號角度和頻率進行精確估計.

為準確評價算法性能采用蒙特卡羅方法對算法進行仿真，利用均方根誤差（RMSE）來描述算法的誤差.

對實驗中所涉及數據做如下規定，角度范圍為[-90°，90°]，頻域范圍為0～100 MHz，采用陣元數N=40的均勻線陣，分別選取角度為-20°、20°、45°，頻率為40、60、80 MHz的信源，則真實的方向波數分別為-0.0456、0.0684、0.1886.利用單快拍壓縮感知模型，采用OMP算法對方向波數進行求解，在求得方向波數后，分別利用相關性匹配、空域濾波及快速傅里葉變換相結合的方法對頻率進行估計，在頻率求解時以高斯矩陣作為壓縮感知測量矩陣，變換基矩陣的維度為100，空域濾波過程中的傅里葉變換離散值取1 024.

3.1實驗一

為直觀比較所提算法與空域濾波算法對頻率估計的性能，先采用OMP算法獲得相同的方向波數，再分別用空域濾波法和所提方法估計出信號頻率參數.圖2（a） 信噪比為30 dB，快拍數L=100，圖2（b）中信噪比為10 dB，快拍數L=10.

觀察圖2（a）、2（b）可發現，空域濾波后用傅里葉變換的方法與本方法均能準確求出信號的頻率，在較低信噪比和較小快拍數條件下，空域濾波所得信號頻譜能量分散，譜峰不夠尖銳，而本算法在相同條件下，依然可以得到較為穩定的頻率值.

3.2實驗二

為驗證本算法在不同信噪比條件下的性能，在快拍數L分別為10、100時，分析不同信噪比對信源頻率的誤差.不失一般性地，對數據進行500次蒙特卡羅循環.

從圖3、4中可以發現，L=10、L=100兩種情況對頻率、角度估計誤差均隨著信噪比增大而減小.觀察圖3發現，同等條件下，兩種方法在快拍數較大時對頻率估計更加精確，且快拍數較大時，所提方法對頻率估計精度優于空域濾波；觀察圖4 發現，快拍數增加會導致角度估計誤差略有增大，而所提方法在兩種快拍條件下對角度估計均優于空域濾波法.

對比圖3、4發現，同等條件下，所提方法在小快拍數條件下，雖然頻率估計誤差比空域濾波法略大，但角度估計比空域濾波法更加精確.這是因為方向波數求解過程只用了一個快拍數據，快拍數的多少對方向波數求解沒有影響，因此方向波數誤差在信噪比相同時，幾乎是固定的；方向波數的誤差影響角度的求解，對于同一個方向波數值，當頻率求解精確時必然導致角度求解誤差增大，當頻率求解誤差大時，角度求解誤差小.

4結束語

提出了一種基于兩層壓縮感知的頻率和角度聯合估計方法，首先僅使用單快拍信號，結合壓縮感知方法求出方向波數估計值，構造方向波數參數矩陣，對參數矩陣求逆，得到信號空間信息.此時空間信息在頻域內具有稀疏特性，再利用壓縮感知對該空間信息求解得到信源的頻率信息，最后需要利用相似性匹配完成方向波數和頻率的配對，求出角度參數.該方法可在小快拍數的條件下對信源角度和頻率進行精確估計，對于目標探測與識別、水下聲吶系統、無線通信等問題的研究具有一定參考意義.

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（責任編輯：顧浩然，包震宇）