一種特殊擺的研究

王艷海 魏江南 孟義昌 張玉 馬乾偉 擺永強

摘 要：為了解決交通運輸和工業行業中移動重物的起重機動臂和支撐點不穩定的擺動幅度問題，采用一個懸掛點在水平面內做圓周運動的擺球系統模型來模擬這一問題的動力學過程。應用拉格朗日方程推導了擺球運動的微分方程，采用四階龍格-庫塔算法進行了數值求解，得到了給定懸掛點圓周運動半徑、頻率和擺長的條件下，擺球做穩定圓周運動的擺角，計算了擺球的穩定運動軌跡，并將計算結果與實驗進行了對比，理論計算和實驗結果精確吻合。研究內容在科研和工程技術領域有著廣泛的應用，研究結果對起重機的機械吊臂設計有重要的參考價值。同時，文中所用到的理論建模、計算機編程、數值計算、實驗設計等也可以作為一個非常好的教學案例，培養學生應用所學理論解決實際問題的能力。

關鍵詞：理論力學；圓周運動；拉格朗日方程；四階龍格-庫塔算法

中圖分類號：O311.3 文獻標志碼：A

文章編號：1008-1542（2018）03-0238-05

在一個力學擺的系統中，如果擺球的懸掛點在水平面內做圓周運動，在某些給定的初始條件下，擺球將會做半徑更小的穩定的圓周運動，這一研究題目來自第二十九屆國際青年物理學家錦標賽IYPT第二題：滯后的擺。對該問題的研究，無論在科研、工程技術領域和教學中都有著廣泛的應用，有助于對起重機吊臂的設計[1-3]，也可以作為理論力學教學的補充，增強學生對理論力學相關理論知識的理解，提高學生將物理理論應用到實際問題中去的能力[4-6]。

1 理論模型

一根長為R的硬質桿，桿的一端固定在o點，另一端s繞o點作水平圓周運動，并在硬質桿的s端連接一根長度為l的細繩，細繩的下端懸掛一個金屬擺球，繩子的伸縮和質量不計。s端開始運動后，小球開始擺動，如圖1所示（擺球的三維坐標系，xoy平面為水平面）。給定不同的初始條件，小球會呈現出不同的運動軌跡，研究擺球做半徑小于R的穩定的圓周運動的條件。該系統所受的約束是完整約束，可以應用拉格朗日方程進行求解[1-2，7-14]。

3 實驗驗證

實驗器材包括：交流變壓器（0～300 V，可調），風扇（55 W），單擺小球，轉速測量儀，米尺，視頻拍攝儀，細繩。

實驗過程如下：在風扇葉片上距離轉軸15 cm處鉆一個小孔，把半徑為1 cm的擺球用細繩系在風扇小孔處，把風扇轉動面放置為水平并固定好，調節交流變壓器電壓控制風扇轉速，用轉速測速儀測量風扇的實際轉速，用視頻拍攝儀拍攝小球的運動軌跡。根據數值模擬部分設定的初始條件進行實驗，采用運動軌跡分析軟件Tracker恢復擺球的軌跡，將實驗結果與計算結果進行對比，如圖5所示。實線為實驗數據，擺球軌跡非常接近于圓（離心率很小的橢圓）。偏離圓軌跡的原因有二：其一是由于在實驗中初始條件非常難以控制，很難達到其理想值；其二是拍攝的角度稍微偏離了豎直方向（這是為了避開風扇葉片對擺球的遮擋），導致用Tracker軟件恢復擺球軌跡時帶來誤差。圖5中虛線為初始條件θ=11.6°，其他值與數值模擬計算部分相同時的擺球的理論計算軌跡，從圖中可以看出數值模擬計算的軌跡與實驗軌跡符合的很好。擺球做圓周運動時擺線與豎直方向平均夾角的實驗值為11.02°，與理論值的平均夾角（11.6°）的相對誤差約為6.2%，誤差很小，理論計算與實驗結果吻合的很好。懸掛點和擺球的運動步調如圖6所示，圖中實線和虛線分別表示懸掛點和擺球的運動步調。兩點的運動步調剛好相反，說明擺球的運動步調滯后于懸掛點，滯后的相位為π，實驗中也確實如此。

4 結 語

本文研究了懸掛點在水平面內做勻速圓周運動時擺球的運動規律，應用保守力系的拉格朗日方程推導了擺球運動的微分方程，并采用python語言進行數值模擬計算，理論計算結果與實驗結果精確吻合。研究表明當滿足一定的初始條件時，小球也將在水平面內做穩定的半徑更小的勻速圓周運動，而且相位滯后懸掛點為π，該運動對初值非常敏感，如果偏離特定的初始條件，擺球的運動軌跡將變得混亂，其緊鄰的軌道是多個自由度簡諧振動的疊加。研究結果可以作為理論力學教學的一個極佳的案例，將物理學原理應用到具體的實際問題中去，涉及到理論推導、計算機編程模擬計算和實驗驗證，將單純枯燥的理論與計算和實驗相結合，有助于激發學生的學習興趣，提高學生的學術研究能力。同時，本文的理論結果和數值模擬程序也可以應用到起重機的吊臂設計等相關機械設計的實際問題當中[18-20]。

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