高校高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的探索研究

楊冠

摘 要 高等數(shù)學(xué)乃高校教學(xué)過程中必不可少的一門課程，然而其內(nèi)容多，邏輯性強，抽象性高等特點，導(dǎo)致教學(xué)過程變成“教師教，學(xué)生學(xué)”的狀態(tài)，為了緩和這種僵硬的教學(xué)模式，現(xiàn)對高校高等數(shù)學(xué)教學(xué)的改革做了一些探討。本文利用符號計算軟件Mathematica，對高等數(shù)學(xué)工科類的教學(xué)課時做了簡單的分配，同時在各章節(jié)中的極限、導(dǎo)數(shù)、積分分別舉了例子，學(xué)習(xí)Mathematica的命令語句編寫，函數(shù)調(diào)用等格式，并介紹引入數(shù)學(xué)建模案例在教學(xué)中的重要性。

關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) Mathematica 數(shù)學(xué)建模

中圖分類號：G640 文獻標識碼：A

0引言

如今，學(xué)生的綜合素質(zhì)能力和創(chuàng)新能力是我們所關(guān)注和著重培養(yǎng)的，而對于數(shù)學(xué)這類基礎(chǔ)性學(xué)科，普遍學(xué)生學(xué)習(xí)起來既枯燥又抽象，若能結(jié)合計算機軟件方面的實現(xiàn)，使得數(shù)學(xué)知識更直觀、更容易理解便成了一個重要的課題。高等數(shù)學(xué)是我校大一新生入校后就開設(shè)的重要基礎(chǔ)課程，課程內(nèi)容多，教學(xué)課時少，且邏輯性比較強，具有高度的抽象性，而學(xué)生的基礎(chǔ)參差不齊，有的基礎(chǔ)較好，掌握的內(nèi)容可以多樣化，除了教材上要求掌握的內(nèi)容之外，還可以穿插一些考研試題在內(nèi)，讓學(xué)生更深入了解數(shù)學(xué)的定義、實例，以及能運用到實際生活中；而有的學(xué)生基礎(chǔ)較差，對于書本知識可以聽懂、會做課后練習(xí)就已經(jīng)是最好的效果，然而日復(fù)一日，通過常規(guī)的教學(xué)后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性在逐漸消退，這對我們教師的教學(xué)也就提出了挑戰(zhàn)。針對這些狀況，近幾十年來許多院校對高等數(shù)學(xué)課程的改革進行了一些討論研究，提出了調(diào)整優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容和體系，開設(shè)數(shù)學(xué)實驗和數(shù)學(xué)建模課的設(shè)想，還有許多文獻研究了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗的系統(tǒng)模式，對如何通過這門注重理論聯(lián)系實際的課程培養(yǎng)學(xué)生的想象力、洞察力、直覺思維、發(fā)散思維、動手能力，以及應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力進行了探索。由于高等數(shù)學(xué)課程本身所具有的特點，在教學(xué)實踐的過程中不能完全拋棄傳統(tǒng)的教學(xué)方式來進行推理、論證，因此試行將數(shù)學(xué)軟件融入教材內(nèi)容、教學(xué)過程、學(xué)習(xí)過程、實踐與評估過程等的教學(xué)改革中。

1數(shù)學(xué)軟件的介紹

Mathematica是美國Wolfram研究公司開發(fā)的符號計算系統(tǒng)，是Mathematica產(chǎn)品家族中最大的應(yīng)用程序，內(nèi)容豐富并功能強大的函數(shù)覆蓋了初等數(shù)學(xué)、微積分和線性代數(shù)等眾多的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，是一個做數(shù)學(xué)和學(xué)數(shù)學(xué)的軟件。Mathematica是模塊化系統(tǒng)，能夠支持任意精度的數(shù)值計算、符號運算及可視化功能，其執(zhí)行運算的內(nèi)核（Kernel）與處理用戶交互的前端（FrontEnd）是相互分離的。與同類軟件Matlab相比，其安裝方便、啟動快捷、編程簡單，因此作者選擇Mathematica軟件作為主要工具來研究。

2 Mathematica軟件嵌入教學(xué)課時分配方案

由于高等數(shù)學(xué)課程分為兩個學(xué)期來教學(xué)，其中上學(xué)期占的學(xué)時重，基礎(chǔ)內(nèi)容多，下學(xué)期相對教學(xué)學(xué)時少，內(nèi)容主要集中于多元函數(shù)方面，在Mathematica嵌入教學(xué)過程中時，需占據(jù)部分傳統(tǒng)教學(xué)課時，作為一門計算工具，它又不能超越教材而只注重軟件的使用介紹，故能對課時做合理的安排是非常關(guān)鍵的，現(xiàn)對教學(xué)課時分配如表1，僅供參考。

在原課時的基礎(chǔ)上，對其中部分章節(jié)多加入0.5-1個學(xué)時，增加數(shù)學(xué)建模示例的課堂講解，通過Mathematica軟件的一些計算，使得高等數(shù)學(xué)的課程更充實、更具有挑戰(zhàn)性，不僅對教師，也對學(xué)生提出更高的要求。

3利用數(shù)學(xué)軟件的基礎(chǔ)知識來豐富教學(xué)內(nèi)容

數(shù)學(xué)軟件Mathematica的基礎(chǔ)命令調(diào)用較容易，操作簡單，課堂上對該軟件的功能做簡介后，主要在以下幾個方面來簡要闡述如何進行嵌入教學(xué)。

3.1函數(shù)極限的體驗教學(xué)

3.1.1 一元函數(shù)極限的體驗教學(xué)

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)至今， 一元函數(shù)極限的手工計算一直以來都是大家所推崇的，然而對于一些抽象的或證明稍長的極限，基礎(chǔ)較差的學(xué)生并不愿意去深入研究它的過程，所以若能直觀的得出想要的結(jié)果，利用數(shù)學(xué)軟件來實現(xiàn)更能得到學(xué)生的親睞。

例1 單調(diào)有界數(shù)列必有極限的存在準則證明了重要極限二（1+）=，教學(xué)過程中調(diào)用計算函數(shù)極限的命令： [f[x]，x→x_{0}]，驗證其極限值。調(diào)用函數(shù)格式為Limit[（1+1/x）^x，x->Infinity]或者Limit[（1+x）^（1/x），x->0]，運行結(jié)果均為e。

例2 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理發(fā)現(xiàn)，sin極限不存在也不為無窮大。通過作圖命令Plot[Sin[1/x]，{x，-Pi/10，Pi/10}]，得圖1。很顯然，當(dāng)x無限接近于0時，sin（1/x）在數(shù)值1附近無限次震動，沒有任何趨近某個固定常數(shù)的趨勢，結(jié)論得證。通過該示例告訴我們，圖形是教學(xué)中很好的輔助解釋。

3.1.2二元函數(shù)極限的體驗教學(xué)

二元函數(shù)極限的計算較一元函數(shù)極限計算難，對自變量（，）→（，）的要求較高，但若某個二元函數(shù)的極限存在，計算過程卻類似于一元函數(shù)，當(dāng)學(xué)生對一元函數(shù)極限掌握較好時再算二元函數(shù)的極限也是容易的。所以，二元函數(shù)極限的難點在于證明極限不存在的情況。可采取如下做法：二元函數(shù)z=的圖形是一張曲面，通過數(shù)學(xué)軟件做出二元函數(shù)的圖形，觀察已知點處的極限，再結(jié)合證明過程進行分析。

3.2導(dǎo)數(shù)計算示例

本小節(jié)主要對隱函數(shù)和參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)進行探討。

3.2.1隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算

隱函數(shù)即因變量不一定能用自變量直接表達，而是由類似于方程所確定的函數(shù)。通過公式手動計算方程兩端的導(dǎo)數(shù)可以得出，借助于數(shù)學(xué)軟件的操作卻略顯繁瑣，在Mathematica中求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由求導(dǎo)和解方程兩個步驟組成。

例3 求方程+ln=所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，步驟如下：

大學(xué)的教育還包括鍛煉學(xué)生的自學(xué)和自我思考的能力，在沒有教師指導(dǎo)的情況下需要他們自己會驗證結(jié)果的正確性，雖然該過程需分兩步進行，但也是值得學(xué)生去操作和學(xué)習(xí)的，并且還可以考慮高階導(dǎo)數(shù)如何繼續(xù)利用Mathematica求解。

3.2.2參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)計算

參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)為因變量對參數(shù)的導(dǎo)數(shù)除以自變量對參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)教學(xué)大綱的要求，工科類學(xué)生至少掌握到參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)，但公式的記憶是學(xué)生容易混淆的，通過示例的講解，能加深記憶。

例4 計算由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。

最后一行通過化簡可得。從示例可見，利用軟件求解參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)時，不僅會調(diào)用求導(dǎo)命令外，還需學(xué)生先記住導(dǎo)數(shù)公式，在輸入變量、參數(shù)等過程中同時也加深了對公式的掌握，另數(shù)學(xué)公式的記憶不能靠死記硬背，其中的原理必居首位。

3.3符號計算系統(tǒng)中的積分

3.3.1不定積分

不定積分的題目類型眾多，教材課后練習(xí)、各種習(xí)題集中的題目讓學(xué)生看得眼花繚亂，使得不定積分的積分方法忘記得一干二凈，并且積分結(jié)果的不唯一性也給學(xué)生帶來巨大的困難，常常導(dǎo)致否定自己的計算結(jié)果。在Mathematica強大的符號運算功能前面，各種積分方法顯得微不足道，通過不定積分的語法Integrate[被積函數(shù)，積分變量]或利用工具欄按鈕即可求出。

3.3.2定積分

高等數(shù)學(xué)最重要、最具有代表性的概念—定積分，定積分概念是高等數(shù)學(xué)中的一個精華，它體現(xiàn)了應(yīng)用微積分的思想和方法，它幾乎涵蓋了所有的自然學(xué)科。對定積分的計算是高等數(shù)學(xué)課程中的重要知識點之一。它在符號計算系統(tǒng)軟件Mathematica中的語法區(qū)別于不定積分，僅增加了積分變量及積分上下限。例如計算。

重積分的計算中，首要解決的問題是做出積分區(qū)域 的圖形，通過對平面圖形或空間圖形的分析和積分區(qū)域的確定，借助積分的計算命令可得結(jié)果。例如三重積分的一個例子：，其中 由拋物面及所圍成。立體積分區(qū)域的確定是至關(guān)重要的，若在黑板上作圖，不能保證作圖的準確性，給學(xué)生理解造成困難。若利用Mathematica作圖，命令語句和圖形（如圖2）顯示如下：

4利用數(shù)學(xué)軟件的綜合知識來提高教學(xué)效果

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模的思想可以給學(xué)生直觀上的感受，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，還可以使得學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識作為工具去解決實際問題。Mathematica能求解線性與非線性的常微分方程（組）的準確解，能求解的類型大致覆蓋了人工求解的范圍，功能很強。例如在講解常微分方程這一章節(jié)時，可以插入數(shù)學(xué)建模的思想，通過對實際問題的分析，建立模型，引入數(shù)學(xué)軟件Mathematica求解，這一系列的過程可以讓學(xué)生逐漸享受數(shù)學(xué)、享受建模。

例5 設(shè)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點做直線運動。從速度等于零的時刻起，有一個與運動方向一致、大小與時間成正比（比例系數(shù)為k1）的力作用于它，此外還受一與速度成正比（比例系數(shù)為k2）的阻力作用。求質(zhì)點運動的速度與時間的函數(shù)關(guān)系。

解答：根據(jù)牛頓定律，得出方程m=k1t k2v，可化簡為一階線性微分方程+v=t，利用軟件求解如下：

為了語句編寫方便，其中記k1→M，k1→m。v（t）的通解、特解都與通過常數(shù)變易法的結(jié)果一致。該示例難易程序低，教師可根據(jù)學(xué)生層次提高題目難度（例如如何求出數(shù)值解等）、分析過程加長、程序增多等方法來提高教學(xué)效果。

5結(jié)束語

本文在極限和積分部分考慮了一元和多元的情形，結(jié)合圖形分析求解可以提高教學(xué)的準確性，給學(xué)生傳達知識的方式呈現(xiàn)多元化，也給手動計算結(jié)果提供了驗證方法。

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生出現(xiàn)的狀況多種多樣，由于篇幅有限，文章僅討論了學(xué)生學(xué)習(xí)中易錯、難記等方面的實例，并且只針對高等數(shù)學(xué)工科學(xué)生，未增加實踐學(xué)時，這乃其中一大缺陷，希望在今后的教學(xué)中能有所改善。

參考文獻

[1] 高潔，周瑋.在高等數(shù)學(xué)課程中開展數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的探索與研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015（24）.

[2] 張韻華，王新茂. Mathematica 7實用教程[M].中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2014.

[3] 趙楠. Microsoft Mathematica軟件輔助高等數(shù)學(xué)教學(xué)的探討[J].天津職業(yè)院校聯(lián)合學(xué)報，2013：105-108.

[4] 李根強.MATLAB及Mathematica軟件應(yīng)用[M].北京：人民郵電出版社，2016.

[5] 余敏，葉佰英.微積分基礎(chǔ)[M].上海：華東理工大學(xué)出版社，2016.

[6] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014.

[7] 喬樹文.用Mathematica演繹高等數(shù)學(xué)概念[J].湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報.2006：89-94.

[8] 康衛(wèi)，荊科.幾個數(shù)學(xué)建模案例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院學(xué)報，2017（34）：190-192.