基于奇異值分解和條件異方差的數字水印算法

劉紅梅 干 彬 劉金華 趙明峰

1(四川傳媒學院 四川 成都 611745)2(電子科技大學電子工程學院 四川 成都 611731)3(中國移動通信集團設計院有限公司四川分公司 四川 成都 610045)

0 引 言

在基于小波的圖像水印嵌入和檢測、圖像去噪、圖像復原等研究領域[1-3]中，一個關鍵的問題是建立小波系數的統計分布模型。常見的小波系數統計模型有高斯分布、柯西分布、混合高斯模型，以及Bessel K 分布模型等[4-10]，如文獻[6]采用了Bessel K分布模型進行水印的檢測，該分布是一類較為廣泛的統計分布，相對于高斯分布而言，Bessel K分布模型可以較好地擬合小波系數，但是Bessel K分布沒有考慮到小波系數尺度內和尺度間的關聯性。文獻[10]綜合利用了廣義高斯分布、柯西分布以及Rao分布模型與極大似然估計方法，提出了一種輕量級的小波域加性水印檢測方法。該方法取得了較好的檢測效果，但是該方法忽略了圖像本身的視覺感知特性，水印嵌入后的不可感知性將受到影響。此外，在刻畫小波系數時，如高斯分布、混合高斯分布等這些統計分布的均值假設都為零，主要是基于小波高頻子帶所有系數的特性來考量的，而圖像的突變區域(如邊緣和紋理區域)的小波系數均值往往具有較大的偏差，即它的直方圖中心往往遠離原點。

圖像的小波系數一般具有非高斯特性，表現在直方圖上也就是圖像的小波系數在尖峰兩端下降緩慢，諸如高斯、拉普拉斯分布類型的尖峰概率分布函數無法描述小波系數的非高斯性，導致圖像水印檢測算法的性能降低。近幾年來，許多研究學者提出了其他的統計分布模型，如alpha-stable 分布函數[11]、廣義高斯分布模型[12]，以及 Gauss-Hermite 分布模型[13]等。在水印的嵌入和檢測上，這些改進的統計模型取得了相對高斯、拉普拉斯模型更好的水印性能。但是，這些模型沒有考慮到圖像小波系數之間的相關性，以及圖像邊緣和紋理等區域小波系數的高階特性。

為此，本文利用條件異方差模型[14]對小波系數進行建模，并結合小波奇異值分解方法，提出了一種基于奇異值分解和條件異方差模型的數字水印方法。然后根據統計假設檢驗理論，對水印虛警概率與檢測概率之間的工作特性關系進行了分析和推導。最后以標準的測試圖像為研究對象，通過實驗仿真驗證了本文水印嵌入和檢測方法的有效性，并且分析了提出的水印方法在抗噪聲、JPEG壓縮、濾波、旋轉以及縮放等攻擊條件下的檢測性能。

1 條件異方差模型

設xij表示一個二維隨機變量，如果它有以下形式，則稱其服從二維條件異方差分布模型[14]即CH(p1,p2,q1,q2)，其中(p1,p2,q1,q2)是該模型的階。

(1)

(2)

式中：Λ1=k|0≤k≤q1,0≤≤q2,(k)≠(0,0)，Λ2=k|0≤k≤p1,0≤≤p2,(k)≠(0,0)，εij表示一個獨立同分布的二維隨機過程，且滿足標準正態分布，εij～N(0,1)。hij表示xij的條件方差。因此，二維隨機變量xij的條件分布為：

(3)

式中：ψij表示一個信息集，可表示為：

ψij=xi-k,j-k,∈Λ1,hi-k,j-k,∈Λ2

(4)

CH(p1,p2,q1,q2)的模型參數可表示為Γ=α0,α01,…,αq1q2,β01,…,βp1p2，并且可通過極大似然估計方法來估計這些參數。似然函數可形式化為：

(5)

式中：φ=ij|1≤i≤M,1≤j≤N表示為大小是M×N的樣本空間。

2 水印嵌入

本節利用小波變換和奇異值分解的方法進行水印嵌入。首先將圖像進行分塊處理，選取熵較大的圖像子塊作為水印嵌入空間，并對每個子塊進行小波分解。然后對低頻小波系數進行奇異值分解，對奇異值分解后的“U”成分進行加性水印嵌入。最后將嵌入水印的圖像塊和沒有嵌入水印的圖像塊進行組合，得到整個嵌入水印信息的圖像。其詳細步驟如下：

1) 將原始圖像劃分成互不重疊的子塊。根據式(6)計算每個圖像子塊的信息熵，按熵值降序排序，選取前K個熵值較大的圖像子塊作為水印嵌入空間。

(6)

2) 采用小波變換DWT對每個圖像子塊進行分解。

4) 提取小波低頻子帶圖像奇異值分解后的“U”成分即Uij，對其進行加性水印嵌入，記為X=(x1,x2,…,xr)，r表示Uij矩陣的元素個數，設S=(s1,s2,…,sr)由偽隨機生成器生成(i=1,2,…,r)，λ表示水印嵌入強度，那么水印信號為W=λS，嵌入過程可表示為：

Y=X+W

(7)

3 水印檢測

水印的檢測可作為一個二元假設檢驗問題，即：

(8)

式中：H1表示備擇假設，即待測圖像中存在水印H0表示零假設，即沒有水印。

一般來說，在信號檢測中通常采用紐曼皮爾遜(Neyman-Pearson)準則來檢測信號。因此，本節基于對數似然率來做水印信號的檢測，其目的是在給定虛警概率的條件下最大化水印的檢測率。對數似然率可表示為：

(9)

研究發現圖像的小波系數一般來說并不獨立同分布，在圖像中相似的位置中小波系數的幅度、方向和尺度存在高度相關關系[15]。因此，考慮到小波系數之間的異方差性，本節基于條件異方差模型來刻畫小波系數，即圖像的小波系數滿足二維條件異方差模型分布，對數似然率可進一步表示為：

(10)

式中：ψij和φ由式(4)和式(5)定義。根據式(3)，式(10)可以表示為：

(11)

將式(2)中的hij代入式(11)，經推導，對數似然率為：

(12)

由中心極限定理可知，lnΛ(y)滿足高斯分布。因此，虛警概率和檢測概率[13]的計算可分別表示為：

(13)

(14)

進一步，在盲檢測過程中，給定虛警概率Pf，檢測閾值可確定為：

T=μ0+σ0Q-1(Pf)

(15)

根據式(13)和式(14)，可得水印檢測的工作特性曲線關系ROC(Receiver Operating Characteristic):

(16)

式中：SNR(Signal -to-Noise-Ratio)表示信號噪聲比率，即SNR

4 仿真結果與分析

限于篇幅，本節仿真中對Barbara和Plane兩幅標準圖像進行水印嵌入和檢測，圖像的像素大小均為512×512。基本參數設置為：圖像塊大小16×16，小波濾波器“sym4”,文檔水印比值DWR為38 dB，選取的圖像子塊數為128，每個子塊中嵌入水印的低頻子帶系數為64個，水印的容量為8 192。仿真環境在CPU 2.6 GB，內存為8 GB的PC機下進行，采用的工具為Matlab2010。

對Barbara和Plane兩幅圖像進行水印嵌入后的結果如圖1所示。其中圖1中上邊部分是Barbara嵌入水印前后的圖像，下邊部分是Plane嵌入水印嵌入的圖像。圖1中的左邊表示宿主圖像，中間表示嵌入水印后的圖像，右邊表示宿主圖像與含水印圖像之間的差值圖像。Barbara和Plane圖像嵌入水印之后的圖像與對應原始圖像之間的峰值信噪比分別為52.261 8和50.861 3 dB。因此，嵌入水印信息后圖像的不可感知性能較好。其原因主要包括兩個方面:一方面是綜合考量了圖像的信息熵特性，這樣將水印信息嵌在圖像灰度密集度較為豐富的區域，提高了圖像水印的不可感知性；另一方面是對圖像子塊的小波低頻子帶進行了奇異值分解，對奇異值分解后的“U”成分進行加性水印嵌入，“U”成分能夠保留圖像的大部分信息，在該區域嵌入水印，較好地保持了圖像的保真度，增強了圖像水印的魯棒性。

(a) 原始圖像 (b) 嵌入水印后的圖像 (c) 差值圖像

圖2至圖7分別給出了文中提出的數字水印方法與Bessel K方法[6]、廣義高斯方法[12]以及線性相關方法[16]在未受攻擊和受攻擊下的檢測性能比較結果。限于篇幅，以嵌入水印的Barbara圖像為測試對象，文檔水印比值為35 dB。圖2對應的是無攻擊下的水印檢測結果；圖3對應的攻擊為加性高斯噪聲，噪聲方差為25；圖4對應的攻擊為JPEG壓縮，壓縮質量因子為50%；圖5對應的攻擊為中值濾波攻擊，窗口設置為5×5;圖6對應為椒鹽噪聲攻擊，噪聲密度為0.20；圖7對應為幅度尺度縮放攻擊，縮放因子為0.40。

圖2 無攻擊時的ROC曲線

圖3 AWGN攻擊下的ROC曲線

圖4 JPEG壓縮攻擊下的ROC曲線

圖5 中值濾波攻擊下的ROC曲線

圖6 椒鹽噪聲攻擊下的ROC曲線

圖7 縮放攻擊下的ROC 曲線

對于沒有受攻擊下的水印檢測來說，如圖2所示，提出的數字水印方法的檢測性能優于其他三種方法，而Bessel K方法和廣義高斯模型的檢測性能表現都較好，并且都優于線性相關檢測方法。

圖3至圖6為不同程度的攻擊下的水印檢測性能結果，從這些圖中可以看出，水印的檢測性能均有不同程度的下降，其中線性相關檢測方法的性能下降得最快。但綜合起來看，提出的水印方法檢測性能均優于其他三種數字水印方法。線性相關檢測方法的性能最差，主要是基于小波系數的統計分布為高斯分布進行考量，其原因是高斯分布難以刻畫小波系數的非高斯特性，因為圖像中的小波系數在尺度間和尺度內都存在著較強的相關性；另一方面雖然Bessel K檢測方法和廣義高斯方法能夠較好地對整個圖像小波系數進行統計建模，但是它們和線性相關檢測方法一樣，忽略了小波系數的異方差性，導致它們在抗水印攻擊下的檢測性能下降幅度較大。提出的水印方法采用條件異方差模型對小波系數進行統計建模，較好地克服了以上問題，水印檢測的性能表現較好，進一步提升了水印的魯棒性。

5 結 語

利用奇異值分解較好的能量保留性質和條件異方差模型方法較好的小波系數刻畫能力，提出了一種小波域圖像水印嵌入和檢測算法。該算法選取了圖像熵較大的子塊作為水印隱藏空間，并且利用了奇異值分解后的“U”成分矩陣進行加性水印嵌入，較好地保留了圖像的細節信息，提高了圖像水印的不可感知性和魯棒性。另一方面還利用了條件異方差模型的異方差特性，較好地描述了圖像的小波系數。文中對水印虛警概率和檢測概率之間的工作特性曲線關系進行了理論分析，最后通過實驗仿真驗證了水印嵌入方法的有效性以及在抗噪聲、JPEG壓縮、濾波、旋轉以及縮放等攻擊下的檢測性能。

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