用紙片折出特殊的多邊形

毛亞玲 郝四柱

同學(xué)們，我們都會(huì)折紙.那么如何用一張紙片折出平行四邊形呢？

下面，讓我們一起進(jìn)入“做”數(shù)學(xué)的天地.

圖1

圖2

活動(dòng)1：給出一個(gè)任意的三角形或者四邊形紙片，你能折出平行四邊形嗎？首先你能折出兩條平行的線嗎？如圖1，使AB邊對(duì)折兩次（第一次使得A與B重合，然后再對(duì)折一次），得到的兩個(gè)折痕（DE和FG）就是一組平行線.同理，用四邊形紙片折也是如此.

其實(shí)，不需要對(duì)折也是可以的.只要折后點(diǎn)A落在AB所在的直線上，那么得到的折痕就平分了AB邊所在的平角，得到兩個(gè)相等的角.同樣，再按相同原理折一次就得到了一組平行線.

如圖1，在得到一組平行線后，只需要再將三角形的另一條邊BC對(duì)折兩次，再得到一組平行線（IH和MN），則這兩組平行線圍成的圖形即為所求的平行四邊形.同理，用四邊形紙片折也是如此.

活動(dòng)2：在不規(guī)則的紙片中折出平行四邊形.

由活動(dòng)1的經(jīng)驗(yàn)，只要折出兩組相交的平行線即可.

圖3

圖4

圖5

第一步：如圖4，在不規(guī)則的紙片中折一道折痕MN，以此為邊，視這條邊為平角，折兩次，均使得平角的邊重合，即得到一組平行線.

第二步：重復(fù)第一步操作得到第二組平行線.兩組平行線相交得到平行四邊形ABCD.

活動(dòng)3：在不規(guī)則的紙片中折出矩形.

如圖6，在活動(dòng)2第一步的基礎(chǔ)上，只要再折出折痕MN的平行線即可.將折痕IP視為平角，折一次使得I落在平角的邊上，再將紙片沿著MN折一次，得到折痕EF，此時(shí)便得到了矩形GHWX.

圖6

圖7

活動(dòng)4：在不規(guī)則的紙片中折出菱形.

在活動(dòng)2的基礎(chǔ)上，構(gòu)造平行四邊形的一組鄰邊相等即可得到菱形.

圖8

圖9

第一步：如圖8，在活動(dòng)2的基礎(chǔ)上先折出兩條平行線CD和EF.

第二步：如圖9，任意折一道折痕GH，使得GH與兩條平行線CD、EF分別相交于G、H.

第三步：如圖9，以G為頂點(diǎn)，使得GH與EF邊重合，得到折痕GM，并且GM交CD于M.接著，沿著HM再折一次便得到了點(diǎn)N.則四邊形GHMN即為所求的菱形.

活動(dòng)5：在不規(guī)則的紙片中折出正方形.

在活動(dòng)2的基礎(chǔ)上，只要使得矩形的鄰邊相等即可.

圖10

圖11

第一步：如圖10，由活動(dòng)2先得出一組垂直于AB的平行線CD與EF，設(shè)CD與EF分別交AB于M、H.

第二步：如圖11，以H為頂點(diǎn)，使得HM與HE重合，得到折痕HN.過(guò)N點(diǎn)折GH的垂線NG即可得到正方形.

活動(dòng)6：利用平行線先折出等邊三角形，再折出正六邊形.

圖12

圖13

圖1414

第一步：如圖12，利用前面的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，先折出兩條平行線AB與CD，再對(duì)折，使得AB與CD所在折痕重合，得到折痕EF.設(shè)GH與AB、CD相交于M、N.

第二步：如圖13，過(guò)M點(diǎn)將MN向上翻折，使得N點(diǎn)落在EF上，得到折痕RS和點(diǎn)O，同理得到折痕PQ.

第三步：如圖14，過(guò)O點(diǎn)折出GH的平行線UV，則UV交折痕PQ、RS于X、W.

第四步：沿著UV將紙片對(duì)折，再將紙片沿MN折一次，得到折痕YZ，此時(shí)YZ與AB、CD分別相交于Y、Z.由此得到正六邊形MNWZYX.

同學(xué)們，對(duì)于活動(dòng)5和活動(dòng)6，你知道為什么這么折嗎？