轉子系統變剛度動力吸振器試驗研究

姚紅良， 王童照， 曹焱博， 聞邦椿

(東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819)

振動過大往往會威脅旋轉機械的穩定運行，嚴重時可導致停機甚至機毀人亡的重大事故。因此，從機理上分析轉子系統振動產生的原因，合理地對旋轉機械抑振[1]或吸振[2]是保證設備安全、穩定運行的關鍵。

變剛度控制是一種常用的振動控制方法，通?？梢圆捎秒姶欧椒╗3]、形狀記憶合金、磁流變彈性體[4]、壓電陶瓷等實現剛度調整。如文獻[5]采用電磁軸承控制轉子系統的不平衡振動；文獻[6-7]采用形狀記憶合金設計的變剛度減振來改變轉子系統的剛度，從而合理的避開臨界轉速區；文獻[8]采用壓電陶瓷改變滑動軸承的狀態，實現剛度的改變等。

除以上方法外，近年來永磁體逐漸被應用于結構的減振，以永磁體為基礎的減振設備具有耗能小、結構簡單等優點，因此比較適用于轉子系統的減振控制。

永磁體之間通過適當地配置可以形成剛度機構，且這種機構的剛度與磁鐵的間距有關[9]。因此，本文提出一種永磁變剛度動力吸振器，通過調節磁鐵的間距來改變吸振器的工作頻率范圍，進而對轉子系統的振動進行控制。通過理論分析和試驗，驗證了該吸振器的有效性。

1 變剛度動力吸振器結構及模型

1.1 變剛度動力吸振器結構

變剛度動力吸振器放置于轉軸之上，如圖1(a)所示。該吸振器由兩部分組成，第一部分是吸振器框架，通過對稱放置的彈簧安置于方形軸承座上，從而與轉軸相連，如圖1(b)所示；第二部分是永磁變剛度部分，分置于吸振器框架兩側，如圖1(c)所示。

理論上，當圖1(b)所示結構的固有頻率與轉子轉速相同時，轉子系統的振動將完全被吸收到吸振器上。但是轉子系統的轉速可能會發生變化，從而導致吸振器的效率下降。為解決此問題，可以調整永磁變剛度機構的剛度，使吸振器的固有頻率隨轉速變化而變化。表1給出了主系統與吸振器的相關參數。

(a) 吸振器放置位置

(b) 吸振器框架結構

(c) 吸振器整體結構

參數數值參數數值主系統質量m11吸振器質量m20.1主系統阻尼c13吸振器阻尼c21主系統剛度k19吸振器剛度k22吸振器阻尼cm0吸振器剛度km可調

1.2 永磁剛度計算方法

負剛度機構由圓形永久磁鐵產生，詳細原理見文獻[10]。這里僅做簡單介紹：該結構中的外磁鐵與吸振器框架相連，內磁鐵通過軸承與轉軸相連。由于內外磁鐵磁極相反，因此內外磁鐵之間形成徑向相斥力Fy。該相斥力對內外磁鐵徑向位移e求導即可以形成內外磁鐵間的非接觸連接剛度

(1)

圖2 永磁剛度機構結構

該剛度為負剛度，其大小與內外磁鐵的間距有關系，間距大時剛度小，間距小時剛度大。文獻[10]的計算表明，在內外磁鐵間距較大時產生的負剛度線性度較好，可以近似按線性計算。

1.3 變剛度動力吸振器工作原理

半主動動力吸振器可以通過改變自身的動力特性參數(質量、剛度、阻尼)，使其固有頻率跟蹤主系統外干擾頻率，從而擴大吸振器的有效工作范圍。本文設計的就是這樣一種可調剛度的動力吸振器。

圖3 轉子-吸振器系統的動力學模型

因為常規轉速下單盤轉子系統的動力學行為主要決定于第一階臨界轉速，因此將轉子-吸振器系統簡化為圖3所示的動力學模型，建立振動微分方程為

(2)

式中:m1、k1和c1為轉子系統的質量、剛度和阻尼;m2、k2和c2為吸振器框架的質量以及彈簧的剛度和阻尼;km和cm為永磁變剛度機構的剛度和阻尼;主質量m1受到了幅值大小為F1的正弦激勵作用;r1和r2分別為轉子和吸振器的徑向位移;me和δ為轉子系統的偏心質量和偏心距。ω是轉子系統的轉速。

因為系統中阻尼一般很小，忽略阻尼后，式(2)可以簡化為式(3)

(3)

由式(3)可得轉子系統和吸振器的振幅如式(4)所示

(4)

由式(4)可以看出，只要k2+km-m2ω2=0，就有

(5)

因此可以調整永磁變剛度機構中內外磁鐵的間距，使系統實時滿足式(5)，從而達到最好吸振效果。此時，吸振器具有最佳的吸振效果。激振力的頻率滿足式(6)

(6)

若永磁式變剛度機構的剛度變化范圍為km min～km max，根據式(7)和式(8)可以得出永磁式變剛度機構吸收振動頻率的最小值和最大值滿足

(7)

(8)

則通過連續改變吸振器剛度，吸振器的可在(ωmin,ωmax)頻率范圍內有效減振。據此，我們可以得出結論：隨著外激勵的頻率ω發生變化，可以通過改變吸振器的外置磁彈簧的剛度km使得k2+km-m2ω2=0，此時主系統的振幅B1=0恒成立，從而可以在較寬的頻域范圍內達到吸振的目的。

2 試驗臺及控制策略

2.1 試驗臺結構

轉子-永磁變剛度吸振器試驗臺如圖4(a)所示。實驗臺整體二維機械圖如圖4(b)所示。吸振器(見圖4(c))通過滾動軸承與轉子相連接，方形軸承座通過彈簧與吸振器的外框相連接，同時用緊定螺釘將內側磁鐵固定于吸振器上來實現變剛度機構的內側磁鐵配置，外側磁鐵固定于由步進電機驅動的絲杠機構上。

吸振器安裝在轉軸上，通過步進電機可以調節動靜磁鐵的間距來改變吸振器的剛度，同時依靠同步帶來保證兩電機轉動的同步以防止驅動機構卡死。實驗通過電渦流傳感器來測量轉子在豎直和水平方向的振動信號，通過加速度傳感器測量吸振器的信號。

(a) 試驗臺整體結構

(b) 試驗臺二維機械圖

(c) 吸振器結構

圖4 轉子-永磁變剛度吸振器試驗臺

Fig.4 Rotor-permanent magnet tunable stiffness vibration absorber test-rig

2.2 PID控制的LabView編程

永磁變剛度動力吸振器的控制部分主要由PC機、CompactRIO系列控制卡、步進電機及其驅動器、永磁變剛度吸振器等組成。其中PC機用于顯示和存儲數據；CompactRIO系列控制卡通過編寫實現數據采集、PID(Proportion Integration Differentiation)控制過程運算并且輸出信號控制步進電機；步進電機通過絲杠將圓周運動轉換為外磁鐵的直線往復運動，使外磁鐵靠近或者遠離，達到變剛度的目的。

理論上，如果結構參數等能準確辨識出，可以辨識出轉子工作轉速后直接調節永久磁鐵機構的間距來達到反共振點。但是實際中結構參數很難辨識的完全準確，因此采用PID方法實現控制過程，它主要由采集硬件、控制策略、輸出硬件、執行機構、控制目標等五部分組成，其流程圖如圖5所示，其中E(k)是設置的振動閾值。

圖5 PID控制器流程圖

程序界面如圖6所示，可以直接將控制過程的振動狀態顯示出來。

程序主要由數字濾波模塊、偏差比較及顯示模塊、方向控制模塊、鎖定模塊和PID算法控制模塊等組成。

圖6 程序界面

(1)數字濾波模塊。

數字濾波模塊主要是為了保證測得的振動振幅的準確性。通過將每個采樣周期采集到的振動數據平均分為N份，求出每一份中的最大值作為振動的幅值。最后將求得的N個幅值相加后除以份數N求得均值。這樣可以排除瞬間激勵對轉子振動產生的擾動，增強控制系統的穩定性。

(2)振動偏差比較及顯示模塊。

其功能是計算振動的實際值與指定值之間的偏差,并實時顯示振動幅值變化曲線。方法為將設定的振動值與采集到的振動值比較,其差值為振動偏差,將此偏差作為PID控制算法的輸入。同時，將轉子系統的幅值用波形圖控件顯示出來，以便于實時觀察振動控制效果。

(3)PID控制算法模塊。

為了方便起見，在此采用LabView中的PID模塊中自帶的PID VI，采用位置式PID算法的方式進行編寫。該模塊的輸入量為轉子的振動幅值與設定值之間的偏差，輸出量為脈沖個數，用來控制步進電機的轉動角度。同時，PID的三個參數可以通過前面板的輸入控件進行調節，輸出信號的范圍也可以進行設置。

通常，PID的輸出值有正負之分，但是由于系統采用脈沖個數來控制步進電機的運行位移,且脈沖的個數不能為負值,故要將PID算法得到的輸出量轉變為脈沖個數,就應該對其取絕對值。

(4)方向控制模塊。

步進電機的轉向可以分為正轉和反轉。電機的正反轉則由上一次采集的幅值和最新一次采集獲得的幅值相比較而獲得。倘若測得的偏差滿足E(k)-E(k-1)≤0，說明電機轉向使得轉子振動趨于減小，則保持上一次的轉向不變；倘若測得的偏差滿足E(k)-E(k-1)≥0，說明電機轉向使得轉子振動趨于增大，則改變電機的轉向。

為了給電機提供足夠的執行時間，對采集到的振動值采取了延時1 s的處理，即每隔1 s獲取一次系統的振動值。僅當振動幅值更新時，步進電機才啟動執行一次。

(5)自鎖模塊。

在實際應用中，振動信號的實際值不可能與設定值達到完全相等，倘若為了追求絕對的相等就會使得系統陷入無盡的微調而影響系統的穩定性，此時就應該對其設置合適的閾值。當偏差滿足|E(k)|≤閾值時，將步進電機驅動器的自鎖控制端輸入信號T，這時系統將自動忽略小于閾值的偏差，以避免步進電機過小的微調而導致系統陷入不穩定的狀態。

3 試驗結果

3.1 永磁變剛度機構有效性驗證

為了驗證變剛度機構減振效果，首先應該測量不安裝任何結構時，轉子系統的振動信號，測得轉子系統的幅頻特性曲線如圖7所示。同理，可測得安裝變剛度機構后，不同磁鐵間距下，轉子系統的幅頻特性曲線如圖8所示。

圖7 未加變剛度機構Fig.7 No variable stiffness mechanism

圖8 加變剛度機構Fig.8 Variable stiffness mechanism

由圖7可知，轉子系統的幅頻特性曲線在59 Hz左右存在一個共振峰，這個頻率就是轉子系統的固有頻率。

從圖8可以看出，在增加變剛度機構后，轉子系統的固有頻率總體減小且振幅有下降的趨勢。未加變剛度機構時，轉子系統的固有頻率為59 Hz，添加變剛度機構后轉子系統的固有頻率的變化范圍為52～55 Hz。當磁鐵間距在5～20 mm內變化時，系統臨界轉速隨磁鐵間隙的減小而減小。因此，通過安裝永磁變剛度機構能夠實現平穩過共振。

3.2 掃頻吸振效果驗證

其次進行掃頻時進行吸振效果驗證。測得轉子-吸振器系統在不同磁鐵間距下的幅頻特性曲線如圖9所示。

圖9(a)為測得轉子系統幅頻特性曲線?？梢钥闯觯S著磁鐵的間距減小，轉子-吸振器系統的反共振點位置逐漸減小。當磁鐵的距離由15 mm減小到5 mm時，反共振點的位置也由58 Hz減小到了45 Hz左右。

圖9(b)為吸振器的幅頻特性曲線。由圖可知，吸振器的幅頻特性曲線與轉子的相似，但是吸振器的振動幅度遠大于轉子的振動。這表明吸振器吸收了大部分的振動能量，從而使轉子的振動降下來。

為了更為直觀的分析磁鐵間距對吸振效果的影響，圖9(c)從時域角度對其進行了分析?？梢钥闯?，若激勵的頻率為45 Hz，系統在磁鐵間距為5 mm時處于反共振狀態，此時轉子系統的振幅約為0.018 mm。此時，無論如何改變磁鐵的間距，系統的振幅都將增大。

以上試驗分析表明，當磁鐵的間距在有效范圍內連續變化時，永磁變剛度動力吸振器可以在較寬的頻率范圍內減小轉子的振動。

(a) 轉子系統

(b) 吸振器

(c) 時域信號

3.3 轉子定轉速控制試驗驗證

為了驗證PID控制算法對轉子-永磁變剛度吸振系統在45～60 Hz任意轉速下的吸振效果，下面以55 Hz為例來說明，結果如圖10和圖11所示。

圖10 PID控制過程振幅變化圖

圖11 PID控制前后時域對比圖

在PID控制之前，轉子系統的振幅高達1.16 mm。隨著控制過程的進行，轉子的振幅逐漸減小。當振幅下降到0.07 mm時，振動達到最小值并穩定在該處。在整個控制過程中，每當電機啟動的時候，轉子振動的瞬間增大并產生尖銳的峰值，但是從總體上來看，轉子系統的幅值發生了較大的減小的趨勢是正確的。

為了更加直觀的看出吸振的實際效果，試驗測試了控制前后轉子系統的時域信號如圖11所示。在控制之前，磁鐵的間距保持3～18 mm的任意一個值，轉子振幅較大時，觀察效果明顯，調整磁鐵間距，當振幅在1.16 mm左右時，施加控制作用，磁鐵的間距自動進行調整，調整后轉子系統的振幅降至0.07 mm。

由以上的分析可見，通過PID控制算法可以控制永磁變剛度吸振器調整自身的剛度來降低轉子系統的振動，因而具有較寬的吸振范圍。

4 結 論

試驗驗證了動力吸振器的有效性，其設計方法和理論可以為生產實際提供思路參考，為日后探究實用性意義打下基礎。本文提出了以永磁變剛度機構作為彈性元件的動力吸振器模型及結構，搭建了永磁變剛度吸振器-Bently轉子試驗臺和控制系統，并對吸振器的效果進行試驗驗證，所得主要結論如下：

(1)固定頻率下吸振器的吸振效果測試表明永磁變剛度機構在本吸振器中有效，可以通過調整磁鐵間距實現吸振器處于反共振狀態。

(2)掃頻試驗表明，當磁鐵的間距在有效范圍內連續變化時，永磁變剛度動力吸振器可以在較寬的范圍內減小轉子的振動。

(3)基于PID控制策略對永磁變剛度吸振器進行控制。通過對定轉速下轉子系統的控制實驗可以得出結論：永磁變剛度吸振器可以在45～60 Hz內有效降低轉子系統的振動。

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