基于S變換的簡支梁結構損傷檢測方法研究

劉 寧， 劉四新， 奚佳欣， 張雪冰， 姜立鑫

(1.吉林大學 地球探測科學與技術學院，長春 130026；2.吉林建筑大學 土木工程學院，長春 130118；3.吉林建筑大學 測繪與勘查工程學院，長春 130118)

土木工程結構的功能實現在很大程度上取決于其在服役期間的表現，然而土木工程結構在長達數十年的服役期間不可避免的會受到人為或自然因素的影響，導致結構損傷累積以及抗力衰減。結構損傷會導致結構物理性能的變化，主要體現在損傷位置剛度和阻尼的改變[1-2]。同時結構特性的改變影響其初始條件下的結構動態響應。因此，結構狀態評估中常見的做法是檢測結構的物理動態特征，以便在最初階段識別損傷。通過這種結構狀態評估方法不僅可以及時做出維修、恢復以及更換的決策，而且還可以提高重要基礎設施的運行效率并延長使用壽命，避免因未發現結構損傷而導致的人身財產損失[3-4]。

在結構損傷檢測研究領域，結構可以被模擬為具有輸入激勵信號和可測量輸出信號的系統。在這種情況下，損傷的出現被認為是導致結構內部能量流動和轉移的附加激勵，并改變了輸出信號[5-6]。近幾十年來，國內外學者已經提出了許多不同的結構損傷檢測方法，其中基于振動的損傷檢測方法是重要的分類之一[7-8]。利用結構振動信號進行損傷檢測可以獲取結構的整體損傷信息，并具有檢測費用低，無需中斷結構使用等特點，相對于傳統以靜力測試為主的結構損傷檢測方法具有較大優勢[9-11]。

近年來，許多時頻分析方法被應用在基于振動信號的結構損傷檢測方法研究中，包括短時傅里葉變換(Short Time Fourier Transform，STFT)、小波變換(Wavelet Transform，WT)、希爾伯特黃變換(Hilbert-Huang Transform，HHT)等，這些時頻分析方法在處理非穩態信號時可以提供更多傅里葉變換無法提供的細節信息[12-14]。S變換是在地球物理學領域發展起來的一種時頻分析方法，S變換結合了短時傅里葉變換和小波變換的優點，同時又具有更高的時頻分辨率[15-16]。在已有的基于S變換的結構損傷檢測方法研究中，Pakrashi等[17]利用S變換檢測一個線性單自由度系統在諧波激勵下剛度的突然退化以及用于檢測一個簡支損傷鋼筋梁中的局部開裂現象，結果表明了S變換的有效性并具有較好的抗噪性能。周奎等[18]利用S變換分析了一個單跨兩層鋼結構試驗模型節點損傷信號的時頻特性，并對不同節點損傷程度的信號進行了對比分析，發現當節點損傷程度加劇時，損傷信號能量最大值的極值先減小后增大。盡管S變換在結構損傷檢測領域的研究已有一定基礎，但目前仍未應用到鋼筋混凝土梁的結構損傷檢測中，因此，如何將S變換應用到實際的鋼筋混凝土梁結構損傷檢測工程當中，并獲得較好的損傷識別結果是一項既有挑戰又具有實際意義的工作。

1 理論基礎

1.1 S變換理論基礎

盡管整個時間序列的傅里葉變換包含了關于時間序列中的頻譜分量的信息，但通過傅里葉變換無法檢測到不同頻率的時間分布，所以對于非平穩信號處理的實際應用，選擇傅里葉變換并不合適。為了同時研究信號在時間域和頻率域里的局部性質，Gabor在傅里葉變換的基礎上提出了加窗傅里葉變換，也稱為短時傅里葉變換(STFT)。短時傅里葉變換應用最為廣泛，但由于固定窗口寬度的限制，短時傅里葉變換的時間分辨率和頻率分辨率相互制約，不具有自適應性。小波變換繼承和發展了短時傅里葉變換局部化思想，同時克服了窗口大小無法隨頻率變化等缺點，可以提供一個隨頻率改變的時頻窗口。但小波變換對噪聲敏感，并且傳統的小波變換不具有小波級數與頻率的對應關系。

1996年地球物理學家Stockwell在前人研究的基礎上提出S變換。S變換結合了短時傅里葉變換和小波變換的優點，S變換中頻率的倒數決定著高斯窗尺度的大小，具備小波變換多分辨的優點，并且S變換中存在相位因子，保留了每個頻率的絕對相位特征，這是小波變換所不具備的特性，同時S變換和傅里葉變換一樣具備無損可逆的特性。

一維連續S變換表達式為

(1)

式中：S為f(t)的S變換；t為時間；f為頻率；τ為控制時間軸上的高斯窗位置，相當于小波變換中的平移因子。S變換的原理結合了小波變換和短時傅里葉變換這兩種數學變換的元素同時又具有自己的特點。與小波變換相似的是，S變換的時窗寬度與頻率相關，而不同于小波變換與短時傅里葉變換相同的是，S變換通過使用一個時窗來局部化復雜的傅里葉正弦曲線。

一維連續S變換逆變換表達式為

(2)

S變換可以通過短時傅里葉變換或由連續小波變換推導得到。

1.2 定義時頻譜的能量

在不同荷載狀態下對獲取的振動數據進行S變換可以得到不同荷載狀態下相應數據的時頻譜。為了能夠量化時頻譜中能量的變化，我們引入弗羅貝尼烏斯范數(Frobenius Norm，F-范數)的概念，此范數可用不同的方式定義

(3)

式中：A*為A的共軛轉置；σi為A的奇異值，并使用了跡函數。F-范數與歐幾里得范數非常類似，可以表示為來自所有矩陣的空間上一個內積。

對于基于S變換得到的時頻譜S(t,f)，可以通過E來定義時頻譜的能量，表示為

(4)

式中：m、n分別為時頻譜中時間方向和頻率方向的時頻譜像素點數，可以由m=T·Pt，n=F·Pf來定義，T、F為時頻譜中時間方向和頻率方向的范圍，Pt、Pf為時間分辨率和頻率分辨率。

2 數值算例

為了綜合分析S變換應用在不同類型信號處理中的優勢，以雙chirp合成信號和交叉chirp合成信號為例，分別用S變換和短時傅里葉變換對這兩種合成信號進行處理和分析。

圖1(a)是由兩個調頻信號組成的雙chirp合成信號，圖1(b)和圖1(c)分別是經過短時傅里葉變換和S變換后的時頻譜。從圖中可以看出，相比于短時傅里葉變換，經S變換后的時頻譜在低頻處展現出更高的頻率分辨率，而在高頻處分辨率較低。從時間分辨率的角度來觀察，經S變換后可以看到能量隨時間存在較好的連續變化關系。相反，短時傅里葉變換則無法同時兼顧時間和頻率分辨率，當短時傅里葉變換為了提高時間分辨率，降低窗口寬度時，其頻率分辨率隨之降低，反之亦然。

(a)

(b)

(c)

相比于雙chirp合成信號，交叉chirp合成信號是一種更為復雜的合成調頻信號，如圖2(a)所示。從該信號短時傅里葉變換后得到的時頻譜中(圖2(b))可以看出，短時傅里葉變換僅能識別出交叉chirp信號，但時間和頻率分辨率都較低，尤其在時間80 s、110 s和190 s等處能量隨時間變化存在明顯的不連續現象，不利于在時頻域內對信號做進一步分析。同樣，經S變換后的時頻譜(圖2(c))在高頻部分頻率分辨率較低，這是由于在特定頻率下，S變換時頻窗相對細長，導致了時間分辨率提高的同時降低了頻率分辨率。然而相比于短時傅里葉變換，S變換后低頻處的頻率分辨率較高，并且時頻譜中能量隨時間連續變化，展現出更好的時頻分辨效果。

(a)

(b)

(c)

圖2 交叉chirp合成信號及其時頻譜

Fig.2 Cross-chirp synthetic signal and its time-frequency spectrum

3 試驗及數據處理

3.1 試驗材料參數及儀器裝置

實驗采用的鋼筋混凝土試驗梁長1 000 mm，凈跨900 mm，截面尺寸100 mm×150 mm。采用C20混凝土，受拉區縱筋2φ10，受壓區縱筋2φ6，箍筋率φ6@100，如圖3所示。

圖3 試驗梁配筋示意圖

圖4為試驗梁加載示意圖，簡支梁兩側支座距離梁端為50 mm。激勵源為人工力錘激勵，敲擊點分別位于簡支梁左側支座上方、左側1/4跨受壓縱筋上方以及左側上方距跨中50 mm處，為了盡可能保證激勵源的一致性，所選用的有效激勵大小都在140 N±10 N范圍內，典型力錘激勵信號如圖5所示。簡支梁上方右側布設2枚加速度傳感器，分別位于右側上方距跨中50 mm處和右側支座上方。

對簡支梁施加集中荷載的儀器為500 kN微機控制電液伺服結構試驗系統(圖6(a))，最大試驗力500 kN，試驗力精度≤±0.5%；振動信號采集系統采用的是動態信號測試分析系統(圖6(b))；激勵力錘為結構振動采集分析系統力錘(圖6(c))；2枚加速度傳感器采用壓電加速度傳感器，靈敏度約為100 mV/ms2，頻響范圍0.1 Hz～1 kHz。

圖4 試驗梁加載示意圖

圖5 典型力錘激勵信號

(a)(b)(c)

圖6 試驗現場儀器設備裝置

Fig.6 The equipment and devices of the test field

3.2 試驗數據處理

試驗過程中在跨中位置施加集中荷載，每級荷載增加5 kN，加至每級荷載后持荷2 min，卸荷后分別敲擊簡支梁左側的三個點并通過右側的兩個加速度傳感器接收振動信號，以此加載方式至簡支梁完全破壞后試驗結束。隨后利用S變換對獲取到的加速度振動信號進行處理及后續分析。由于試驗整體數據量較大，本文以敲擊點3和加速度傳感器1接收到的數據為例進行處理及分析。

圖7展示了簡支梁承受0 kN～40 kN集中荷載力，卸荷后加速度傳感器接收到的振動響應信號，集中荷載力逐級增加5 kN，圖中每段信號時長為1 s，采樣率為500 Hz。從圖7(a)～圖7(h)可以發現振動響應信號的最大幅值逐漸減小，并且信號的振動時間長度整體上呈現逐漸縮短趨勢。接下來對這9組數據進行傅里葉變換，觀察振動響應信號在頻率域的特征，如圖8所示。從圖8(a)～圖8(e)可以看出隨著荷載力的逐漸增加，主頻約100 Hz處的振幅值逐級遞減。但當荷載力超過20 kN后，主頻對應的振幅值逐漸增強。特別值得注意的是當荷載力加到40 kN時，簡支梁完全破壞，對應頻譜中(見圖8(i))高頻處振幅值顯著升高。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

為了進一步的觀察和研究在不同荷載力狀態下，振動響應信號在時間-頻率域中的變化特征。對9組時間域的振動響應信號進行S變換，得到從0 kN～40 kN荷載力狀態下，振動響應信號S變換后的時頻譜，如圖9所示。

從圖9(a)～圖9(h)能夠發現時頻譜中能量集中區域的頻帶范圍在60 Hz～250 Hz，隨著荷載力的逐漸增加，時頻譜中能量集中區域呈現逐漸縮小的趨勢。在圖9(g)和圖9(h)中可以看出200 Hz～250 Hz高頻處能量值明顯降低，這是由于隨著荷載力的增加簡支梁中出現裂縫，彈性波穿過時高頻成分快速衰減所導致。另外，圖9(i)與圖8(i)有較好的對應關系，圖9(i)中0.1 s～0.2 s內200 Hz～250 Hz高頻處的能量有所增強，這主要是由于集中荷載加到40 kN時簡支梁受拉區完全開裂，彈性波傳播的載體由以混凝土為主變為以鋼筋為主。并且隨著簡支梁中裂縫的發育，彈性波傳播時會產生多次反射和折射現象，因此加速度傳感器會接收到更為復雜的信號成分，具體體現在圖9(i)中0.2 s～0.4 s內的能量集中區域。

接下來，將經過S變換后得到的9組時頻譜疊加，以三維數據體的形式進行顯示，如圖10所示。圖10(a)和圖10(b)中，上剖面分別是三維數據體在100 Hz和240 Hz處切片的二維顯示；右側剖面分別是三維數據體在0.142 s和0.15 s時切片的二維顯示。從兩張圖的上剖面可以看出，隨著荷載力的加大，數據體中低頻和高頻在0.2 s～0.4 s內的能量都有所加強。在兩張右側剖面中，除40 kN荷載力時獲取的數據之外，整體上呈現時頻譜能量隨著荷載力的增大而逐漸減弱的趨勢。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(a)

(b)

為了量化時頻譜中的能量變化，通過F-范數計算出每一組時頻譜的能量E，如圖11所示?？梢园l現簡支梁承受的荷載力為0 kN～35 kN時，計算得到的時頻譜能量E呈逐漸減小趨勢，當簡支梁完全破壞時，時頻譜能量E顯著增大，與前文在時頻譜中觀察到的變化規律相符。

4 結 論

本文以簡支梁在跨中位置施加集中荷載以及通過力錘激勵獲取振動數據為基礎，將簡支梁結構損傷檢測問題與信號處理方法相結合進行研究。對簡支梁承受0 kN～40 kN集中荷載力，卸荷后接收到的9組振動信號分別在時間域、頻率域和經S變換后的時頻域進行分析，并通過F-范數量化了時頻譜中的能量變化，可以得出以下結論：

圖11 時頻譜能量E的變化

(1) 相比于傳統的時頻分析方法，S變換具有較高的時頻分辨能力，可以快速、有效的將時域振動信號變換到時頻域中進行分析。

(2) 隨著簡支梁承受的荷載力的逐漸加大，簡支梁跨中位置裂縫發育，0 kN～35 kN荷載力狀態下時頻譜中的能量集中區域逐漸減小，尤其高頻位置對應的能量衰減尤為明顯。同時，由于彈性波在含有裂縫的簡支梁中傳播時會產生多次反射和折射，導致時頻譜中0.2 s～0.4 s的能量增強。

(3) 當荷載力增加到40 kN時簡支梁完全破壞，彈性波傳播的主要載體發生變化，其對應的時頻譜在整個頻帶范圍內能量顯著增強。

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