一種改進(jìn)的Stewart平臺(tái)Newton-Euler動(dòng)力學(xué)模型

何兆麒， 薛冬新， 張 娟， 宋希庚

(1. 大連理工大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院， 遼寧 大連 116024; 2. 大連裝備職業(yè)技術(shù)學(xué)院 航海工程系， 遼寧 大連 116024)

自1965年，Stewart[1]發(fā)表了最早的將并聯(lián)機(jī)構(gòu)用作飛行模擬器的文章以來(lái)，由于結(jié)構(gòu)剛度大、承載能力強(qiáng)、誤差小、精度高、動(dòng)力性能好等一系列優(yōu)點(diǎn)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)在空間對(duì)接、并聯(lián)機(jī)床、隔振、高精密平臺(tái)等方面得到廣泛應(yīng)用[2-12]。但因并聯(lián)平臺(tái)是閉環(huán)多剛體結(jié)構(gòu)，使得運(yùn)動(dòng)學(xué)正解、動(dòng)力學(xué)分析更加復(fù)雜。目前，用于Stewart平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)建模方法主要有牛頓-歐拉法、Lagrange法、虛功原理以及Kane法等。其中Newton-Euler法是由牛頓第二定律直接推導(dǎo)出來(lái)的，方法直觀，應(yīng)用廣泛。Fichter在忽略運(yùn)動(dòng)支鏈的質(zhì)量和鉸鏈摩擦的情況下，給出了平臺(tái)驅(qū)動(dòng)與慣性力以及外力之間的關(guān)系。Do等[3]基于Newton-Euler法建立了忽略關(guān)節(jié)摩擦和支腿軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆動(dòng)力學(xué)模型。Dasgupta等在充分考慮Stewart動(dòng)平臺(tái)慣性、支腿慣性和關(guān)節(jié)摩擦的基礎(chǔ)上，提出了較為完善的Newton-Euler閉環(huán)動(dòng)力模型(下文以經(jīng)典模型指代)，在此后的研究中得到廣泛的應(yīng)用。但逐漸有學(xué)者指出，該經(jīng)典模型存在幾點(diǎn)不足，① 忽略了支腿繞其自身軸線的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；② 假設(shè)萬(wàn)向鉸處的約束力矩沿著支桿方向；③ 計(jì)算各結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)沒(méi)有正確考慮平行軸定理。雖然以上這些假設(shè)簡(jiǎn)化了模型，提高了計(jì)算效率，但這些假設(shè)不符合實(shí)際，會(huì)降低模型的準(zhǔn)確性。李長(zhǎng)春等[13]提出一種考慮支腿轉(zhuǎn)動(dòng)的逆動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)算例比較了忽略支腿繞自身轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的影響。Fu等[14-15]從不同的方面給出了修改建議，郭洪波[16]從能量的角度分析了忽略支腿繞自身軸線的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)對(duì)動(dòng)力學(xué)模型的影響。Pedrammehr等[17]綜合上述三方面，建立了改進(jìn)的牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)模型，逆動(dòng)力學(xué)計(jì)算結(jié)果表明改進(jìn)模型與Dasgupta的經(jīng)典模型有明顯的不同。

由理論力學(xué)的相關(guān)知識(shí)可知，利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示剛體的動(dòng)量矩時(shí)，矩心是否為剛體固連點(diǎn)，將影響動(dòng)量矩定理的具體表述形式。建立Stewart平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，通常將單個(gè)支腿簡(jiǎn)化為上、下支桿，分別關(guān)于下鉸點(diǎn)取矩。下支桿受力關(guān)于下鉸點(diǎn)的力矩平衡可認(rèn)為是對(duì)剛體固連點(diǎn)取矩，而上支桿受力對(duì)下鉸點(diǎn)的力矩平衡是對(duì)剛體外一點(diǎn)取矩，兩者應(yīng)做不同處理。但以往的研究忽略了這一點(diǎn)，因此，筆者認(rèn)為經(jīng)典模型除了以上三點(diǎn)不足外，還存在以下問(wèn)題，即：在建立支腿和動(dòng)平臺(tái)的歐拉方程時(shí)，沒(méi)有合理區(qū)分力矩簡(jiǎn)化中心是否固連于剛體。基于這一考慮，筆者在文獻(xiàn)[18]僅針對(duì)上支桿歐拉方程的建立，給出了修改建議。本文首先闡述改進(jìn)工作的理論依據(jù)，其次針對(duì)6-UPS型Stewart平臺(tái)，在前人研究成果的基礎(chǔ)上，區(qū)分矩心是否為剛體固連點(diǎn)，在第2、3節(jié)分別建立利用非質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示的兩種改進(jìn)閉環(huán)動(dòng)力學(xué)模型。最后通過(guò)求解文獻(xiàn)[4]的算例，比較本文改進(jìn)模型和經(jīng)典模型動(dòng)態(tài)響應(yīng)的不同，說(shuō)明改進(jìn)的必要性。

1 理論依據(jù)

如圖1所示，以O(shè)0為原點(diǎn)建立慣性坐標(biāo)系O0x0y0z0，C是剛體質(zhì)心，B點(diǎn)相對(duì)于慣性系作任意運(yùn)動(dòng)，關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理可表示為

(1)

圖1 剛體上質(zhì)量微元dm的矢量表示

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

當(dāng)點(diǎn)B靜止時(shí)，式(3)變?yōu)?/p>

(4)

(5)

當(dāng)B點(diǎn)固定時(shí)，式(5)仍然成立。

下文中為敘述方便，將式(3)稱(chēng)為依據(jù)一，式(5)稱(chēng)為依據(jù)二。

2 6-UPS型Stewart平臺(tái)動(dòng)力學(xué)分析

本文所研究的Stewart平臺(tái)結(jié)構(gòu)及第i支桿矢量表示如圖2所示。下平臺(tái)固定，連桿與上、下平臺(tái)分別采用球鉸、萬(wàn)向鉸連接，支桿為直線運(yùn)動(dòng)副，機(jī)構(gòu)具有六個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度。上、下平臺(tái)六個(gè)鉸鏈點(diǎn)中心分別為Pi、Bi(i=1,…,6)。為便于運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析，在上、下平臺(tái)的幾何中心點(diǎn)P、B處建立連體坐標(biāo)系{PX1Y1Z1}、參考坐標(biāo)系{BXYZ}。

圖2 Stewart平臺(tái)及第i支桿矢量圖

以下符號(hào)被用于平臺(tái)建模中：tp為上平臺(tái)參考點(diǎn)P在{B}中的位置矢量；ωp,αp為上平臺(tái)角速度、角加速度；Rp為RPY角描述的上平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；pi為上平臺(tái)各球鉸鉸心Pi在{P}中的位置矢量；bi為下平臺(tái)各萬(wàn)向鉸鉸心Bi在{B}中的位置矢量；Si為鉸心Bi到對(duì)應(yīng)Pi在{B}中的位置矢量；ei為第i根支桿單位矢量；ωli,αli為第i根支桿的角速度、角加速度；Iu0i,Id0i為上下支桿在各自質(zhì)心坐標(biāo)系(坐標(biāo)原點(diǎn)在上下支桿質(zhì)心處，方向與{D}相同)的慣量矩陣；Ip0：上平臺(tái)和質(zhì)量負(fù)載在質(zhì)心坐標(biāo)系(原點(diǎn)在上平臺(tái)綜合質(zhì)心，方向與{P}相同)的慣量矩陣。

2.1 第i個(gè)支桿運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

在Pi、Bi處建立上、下支桿局部坐標(biāo)系{U}、{D}，坐標(biāo)系{D}的x軸沿支桿方向，y軸沿萬(wàn)向鉸軸線方向，z軸由右手定則確定，{U}各軸與{D}相應(yīng)的軸線平行。此外，在Bi處還有支腿固定坐標(biāo)系{BiXBiYBiZBi}，方向與{B}平行。

(1) 上平臺(tái)鉸接點(diǎn)速度、加速度分析

由圖2可知，第i支桿的位置矢量

Si=tp+Rppi-bi=tp+qi-bi

(6)

則支桿長(zhǎng)度和沿支桿單位矢量可以表示為

(7)

ei=Si/Li

(8)

對(duì)式(6)兩端微分，得點(diǎn)Pi的速度、加速度為

(9)

(10)

(11)

(12)

(2) 支桿滑動(dòng)速度、加速度分析

由式(11)、式(12)，結(jié)合式(10)整理得支桿伸縮速度、伸縮加速度分別為

(13)

(14)

(3) 支桿角速度ωli、角加速度αli分析

如圖3所示，單位向量ki、yi、hi代表第i個(gè)萬(wàn)向鉸模型，ki沿著萬(wàn)向鉸的固定軸，yi沿著萬(wàn)向鉸的旋轉(zhuǎn)軸，hi垂直于ki、yi組成的平面。由結(jié)構(gòu)特點(diǎn)知，yi與ki共面且相互垂直，與支桿單位向量ei也相互垂直，xi、yi、zi代表上文的坐標(biāo)系{D}。因此，從{D}～{BiXBiYBiZBi}的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為

Ti=[xi,yi,zi]

(15)

由運(yùn)動(dòng)學(xué)約束知，ωli位于ki、yi組成的平面內(nèi)

ωli=ωkiki+ωyiyi

(16)

式中：ωki、ωyi分別為支桿角速度沿著ki、yi的分量。

圖3 萬(wàn)向鉸結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

文獻(xiàn)[4-5]假設(shè)支桿角速度ωli⊥ei，即要求支桿垂直于ki、yi組成的平面。由結(jié)構(gòu)特點(diǎn)知，這就要求必須忽略支桿繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)自由度，顯然這不符合實(shí)際，因此假設(shè)ωli⊥ei是不合理的。

將式(16)代入式(11)，整理得

(17)

(18)

對(duì)式(16)兩端求導(dǎo)，支桿角加速度αli表示為

αli=αkiki+αyiyi+ωyiωkihi

(19)

此外，ωli還可以分解為垂直于支桿的分量ω和沿著支桿方向的分量ωeiei，即

ωli=ω+ωeiei

(20)

將式(20)代入式(11)，可得到

(21)

因ωli位于ki、yi組成的平面內(nèi)，而hi垂直于該平面，所以ωli·hi=0。利用這一性質(zhì)，由式(20)得

ωei=-(ω·hi)/(ei·hi)

(22)

同樣，αli可以分解為垂直于支桿的分量α和沿著支桿方向的分量αeiei，即

αli=α+αeiei

(23)

將式(23)代入式(12)，整理得

α=(ei×api)/Li+U2i

(24)

由式(23)和式(19)整理得

αki=(α+αeiei)·ki

(25)

αei=[(α·ki)ki·ei+ωyiωkihi·ei]/1-

(26)

至此，將式(24)、式(26)代入式(23)得到支桿角加速度的完整表達(dá)

u2iei

(27)

(4) 上、下支桿質(zhì)心速度、加速度分析

上、下支桿質(zhì)心(圖2中的Gu、Gd)在{BiXBiYBiZBi}的位置矢量rui、rdi可表示為

rui=Ti(vi+ru0i)

(28)

rdi=Tird0i

(29)

因此，上、下支桿質(zhì)心的加速度可分別表示為

(30)

(31)

2.2 第i個(gè)支桿動(dòng)力學(xué)分析

應(yīng)用平行軸定理，上下支桿對(duì)點(diǎn)Bi的慣量矩陣為

圖4是單個(gè)運(yùn)動(dòng)支鏈的受力簡(jiǎn)圖，F(xiàn)si是球鉸處約束力，Cu和Cs是萬(wàn)向鉸和球鉸處的黏性阻尼系數(shù)。Fui、Mui分別為萬(wàn)向鉸處的約束力矢量和約束力矩幅值。因?yàn)槿f(wàn)向鉸在yi、ki兩個(gè)方向上有旋轉(zhuǎn)自由度，約束力矩只能沿著hi方向，因此約束力矩為Muihi，而不是經(jīng)典模型中的Muiei。

圖4 第i個(gè)支桿受力分析示意圖

根據(jù)第1節(jié)中依據(jù)一，結(jié)合受力分析，建立整個(gè)支桿關(guān)于Bi點(diǎn)的歐拉方程

-rui×muaDi+(mdrdi+murui)×g-(Idi+Iui)αli-

ωli×(Idi+Iui)ωli+Muihi+Si×Fsi-Cuωli-

fi=0

(32)

式中：fi=Cs(ωli-ωp)為球絞摩擦力矩；aDi為該瞬時(shí)，上支桿上與Bi點(diǎn)相重合的點(diǎn)的絕對(duì)加速度。

由運(yùn)動(dòng)學(xué)分析知

(33)

將式(14)代入式(33)整理得

aDi=(ei·api)ei+U3i

(34)

將式(32)改寫(xiě)為

Muihi+Si×Fsi=Ni

(35)

其中,

Ni=rui×muaDi-(mdrdi+murui)×g+

(Idi+Iui)αli+ωli×(Idi+Iui)ωli+Cuωli+fi

(36)

式(35)兩端點(diǎn)乘、叉乘ei，得到Mui及Fsi為

Mui=(Ni·ei)/(hi·ei)

(37)

Fsi=ei(ei·Fsi)+(Ni×ei-Muihi×ei)/Li

(38)

為了得到(ei·Fsi)，考慮上支桿沿支桿方向的受力平衡

(39)

式中：Facti、Cp分別為滑移鉸處支桿主動(dòng)力、黏性摩擦因數(shù)。

將式(37)、式(39)代入式(38)整理得

(40)

將式(36)代入式(40)，利用式(30)、式(14)、式(23)、式(33)，并結(jié)合矢量計(jì)算規(guī)則化簡(jiǎn)Fsi的表達(dá)式

(41)

其中

U4i=u1iei+U2i×rui+ωli×(ωli×rui)；

U5i=mu(rui×U3i)+(Idi+Iui)(U2i+u2iei)-

(mdrdi+murui)×g+ωli×(Idi+Iui)ωli+Cuωli+fi；

為了推導(dǎo)式(41)，需要用到以下矢量代數(shù)運(yùn)算規(guī)則

(a·b)c=(aTb)c=c(aTb)

2.3 上平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)分析

上平臺(tái)和質(zhì)量負(fù)載的綜合質(zhì)心在{B}中的位置矢量表示為

qc=tp+RpR0=tp+R

(42)

式中：R0為上平臺(tái)和質(zhì)量負(fù)載的綜合質(zhì)心在{P}中的位置矢量。

對(duì)式(42)進(jìn)行微分，得到綜合質(zhì)心的加速度

(43)

由平行軸定理，上平臺(tái)和質(zhì)量負(fù)載對(duì)點(diǎn)P的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(44)

式中：mp為上平臺(tái)和質(zhì)量負(fù)載的質(zhì)量之和。

圖5 上平臺(tái)受力分析簡(jiǎn)圖

上平臺(tái)的牛頓方程、相對(duì)點(diǎn)P的歐拉方程分別為

(45)

(46)

式中：Fext,Mext分別為外界作用于上平臺(tái)的作用力和作用力矩在局部坐標(biāo)系{P}中的表示。

將式(43)、式(41)代入式(45)、式(46)進(jìn)行整理

(47)

(48)

合并式(47)、式(48)，得到上平臺(tái)的完整動(dòng)力學(xué)方程

(49)

其中，

H=

3 質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示的6-UPS Stewart平臺(tái)閉環(huán)動(dòng)力學(xué)方程

文獻(xiàn)[4-5]建立的歐拉方程，包含了質(zhì)心加速度項(xiàng)，如果從這一角度推導(dǎo)方程，則方程中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量項(xiàng)的計(jì)算需要做出調(diào)整。為了評(píng)估此誤差，本節(jié)以第1節(jié)的依據(jù)二為基礎(chǔ)，利用質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量建立動(dòng)力學(xué)模型。這種表述形式下，對(duì)支桿和上平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析同2.1、2.3，不同在于各結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程的建立。

第i個(gè)支桿關(guān)于Bi點(diǎn)的歐拉方程為

(Idci+Iuci)αli-ωli×(Idci+Iuci)ωli+

Muihi+Si×Fsi-Cuωli-fi=0

(50)

采用同式(32)類(lèi)似的簡(jiǎn)化運(yùn)算，得到

(51)

其中,

(Idci+Iuci)(U2i+u2iei)

u1i,U2i,u2i的表達(dá)式同第2節(jié)。

上平臺(tái)和質(zhì)量負(fù)載關(guān)于質(zhì)心坐標(biāo)系(原點(diǎn)在綜合質(zhì)心，方向與{B}相同)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(52)

考慮上平臺(tái)相對(duì)點(diǎn)P的力矩平衡

(53)

將式(43)、式(51)代入式(53)進(jìn)行整理

mpR×[ωp×(ωp×R)-g]+ωp×Ipcωp+

(54)

合并式(47)、式(54)，得到上平臺(tái)的完整動(dòng)力學(xué)方程

(55)

其中，

4 計(jì)算實(shí)例

為了比較改進(jìn)模型與原模型的不同，筆者利用兩種改進(jìn)形式的Stewart平臺(tái)完整動(dòng)力學(xué)模型式(49)、式(55)求解文獻(xiàn)[4]的計(jì)算實(shí)例，并與原文的結(jié)果進(jìn)行比較。Stewart平臺(tái)的結(jié)構(gòu)參數(shù)、初始條件見(jiàn)附錄2。

同經(jīng)典模型一樣，采用基于任務(wù)空間運(yùn)動(dòng)狀態(tài)反饋的PD控制算法求解支桿主動(dòng)力，PD算法描述如下

(56)

式中：Kp=[4.0×1054.0×1054.0×1065.0×1045.0×1041.0×105]T;Kd=[1.0×1041.0×1042.0×1041.0×1031.0×1032.0×103]T。

4.1 第一種改進(jìn)模型式與經(jīng)典模型比較

根據(jù)式(49)求解支桿長(zhǎng)度、伸縮速度和上平臺(tái)位移、速度的響應(yīng)曲線，并與原模型計(jì)算結(jié)果一起顯示在圖6～圖9中，所有圖中實(shí)線、虛線分別為改進(jìn)模型、原模型的響應(yīng)結(jié)果。圖6、圖7的第一張小圖右上角展示了Leg1長(zhǎng)度和運(yùn)動(dòng)速度變化的局部放大曲線。可以觀察到響應(yīng)曲線的初始階段及峰值處，兩種模型下Leg1的長(zhǎng)度和速度值略有不同，其余支桿也呈現(xiàn)類(lèi)似的情況。

同樣，由圖8和圖9可見(jiàn)，改進(jìn)模型、原模型求解得到的上平臺(tái)位移、速度、轉(zhuǎn)角、角速度都具有相似的變化趨勢(shì)，但幅值不同。由于初始狀態(tài)和期望狀態(tài)線位移tp、角位移θp的X、Y方向分量為0，因此兩模型在這兩個(gè)方向上的差值數(shù)量級(jí)很低。而速度響應(yīng)在峰值處差值較為明顯。圖10描述了6根支桿所需的主動(dòng)力，每個(gè)圖中的小圖描述了兩種模型的差值，峰值處最大的誤差值達(dá)到了45.94%。所以，從整體上來(lái)看，改進(jìn)模型和原模型所有運(yùn)動(dòng)參數(shù)具有相似的變化趨勢(shì)，但在峰值處，幅值呈現(xiàn)較為明顯的不同。

4.2 第二種改進(jìn)模型式與經(jīng)典模型比較

經(jīng)計(jì)算，由(55)得到的響應(yīng)曲線與第一種改進(jìn)形式(49)的結(jié)果完全一致，因此，第二種改進(jìn)模型式(56)與經(jīng)典模型的比較同圖6～圖10。由于篇幅有限，此處不再展示。實(shí)際上，第1節(jié)中的依據(jù)一、二本質(zhì)上是一樣的，它們是動(dòng)量矩定理的兩種不同表述。因此，以此為基礎(chǔ)得到的兩種改進(jìn)形式本質(zhì)上也是一致的。

5 結(jié) 論

本文在考慮支桿繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)自由度、修正萬(wàn)向鉸約束力矩、合理應(yīng)用平行軸定理計(jì)算各部分轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、正確利用動(dòng)量矩定理建立支桿及平臺(tái)的歐拉方程的基礎(chǔ)上，對(duì)原有基于Newton-Euler法建立的Stewart平臺(tái)經(jīng)典閉環(huán)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行改進(jìn)。得到質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和非質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表示的兩種不同形式改進(jìn)模型，這兩種模型從本質(zhì)上是一致的，計(jì)算結(jié)果很好的說(shuō)明了這一點(diǎn)。

此外，從改進(jìn)模型與原模型的計(jì)算結(jié)果比較來(lái)看，所有參數(shù)變化趨勢(shì)相同，但所有時(shí)間點(diǎn)的響應(yīng)呈現(xiàn)不同程度的誤差，尤其是曲線峰值處。由于算例中設(shè)置的初始條件和期望狀態(tài)的差值很小，而且整個(gè)Stewart平臺(tái)結(jié)構(gòu)尺寸、重量也較小，因此最終的比較結(jié)果并沒(méi)有表現(xiàn)出特別顯著的不同。從理論推導(dǎo)的角度來(lái)看，改進(jìn)模型雖然只是對(duì)方程中某些項(xiàng)做了的修正，但提高了模型的準(zhǔn)確性。對(duì)大型的平臺(tái)結(jié)構(gòu)這些修正帶來(lái)的影響可能會(huì)更顯著，因此改進(jìn)工作是很有必要的，對(duì)后期的研究具有重要意義。

(a) Leg 1

(b) Leg 2

(c) Leg 3

(d) Leg 4

(e) Leg 5

(f) Leg 6

圖6 支桿長(zhǎng)度隨時(shí)間變化曲線

Fig.6 Time response curve of pod length

(a) Leg 1

(b) Leg 2

(c) Leg 3

(d) Leg 4

(e) Leg 5

(f) Leg 6

圖7 支桿速度的時(shí)間響應(yīng)曲線

Fig.7 Time response curve of pod velocity

(a)X

(a) Leg 1

(b) Leg 2

(c) Leg 3

(d) Leg 4

(e) Leg 5

(f) Leg 6

參 考 文 獻(xiàn)

[1] STEWART D. A platform with six degrees of freedom[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 1965, 180(1): 371-386.

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附錄

Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)參數(shù)(均采用國(guó)際單位制)負(fù)載平臺(tái)(包括質(zhì)量負(fù)載)的質(zhì)量：mp=40.0； 上、下支腿的質(zhì)量：mu=1.0，md=3.0；負(fù)載平臺(tái)(包括質(zhì)量負(fù)載)的綜合質(zhì)心在{P}的位置矢量：R0=[0.04 0.03 -0.06]T；上、下支腿的重心位置：ru0i=[-0.6 -0.08 0.08]T、rd0i=[0.4 0.14 -0.18]T；萬(wàn)向鉸、柱鉸和球鉸的黏滯阻尼系數(shù)：Cu=0.000 1，Cp=0.001，Cs=0.000 2。

虎克鉸固定軸的單位矢量

k=

支桿上、下連接點(diǎn)的在各自局部坐標(biāo)系的位置

上下支桿關(guān)于各自質(zhì)心坐標(biāo)系(坐標(biāo)原點(diǎn)在上下支桿質(zhì)心處，方向與{D}相同)的慣量矩陣

上平臺(tái)和質(zhì)量負(fù)載在質(zhì)心坐標(biāo)系(原點(diǎn)在綜合質(zhì)心，方向與{P}相同)的慣量矩陣

任務(wù)空間初始狀態(tài)和期望狀態(tài)

tp0=[0.1 0.0 0.395]T，θp0=[0.0 0.0 -0.2]T；

tpd=[0.1 0.0 0.4]T，θpd=[0.0 0.0 -0.2]T；

Fext=0，Mext=0。