“問題導學”下的教學設計與思考

陳婷婷

[摘要]“等比數列前n項和公式”是高中數學的一個典型課題，而“錯位相減法”是數列求和的基本方法，教學中怎樣將其合理呈現給學生是一個難點.如何以“問”導“學”，促進學生思維活動步步深入，提升學生的解決問題能力是“等比數列的前n項和公式”教學設計的關鍵.

[關鍵詞]問題導學；等比數列求和；錯位相減法

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）08000402

“等比數列的前n項和”是高中數學人教A版必修5第二章《數列》的內容，教材中介紹的推導方法是“錯位相減法”，如果學生沒有課前預習，是難以想到和發現這種方法的.怎樣通過“問題”引導，讓學生體驗、嘗試發現的過程，是本節課教學設計的關鍵.現筆者將自己的思考與設計呈現如下.

一、教學過程

1.新課引入

創設故事情境引入新課：國際象棋起源于古印度，相傳國王要獎賞國際象棋的發明者，問他想要什么.發明者說：“請在棋盤的第1個格子里放1顆麥粒，第2個格子里放2顆麥粒，第3個格子里放4顆麥粒，以此類推，每個格子里放的麥粒數都是前一個格子里的兩倍，直到第64個格子.”國王覺得這個要求不高，就欣然同意了.

問題1：國王總共需要給發明者多少顆麥粒？如何計算？

生1：1+2+22+23+…+263.

師：很顯然，每個格子的麥粒數構成了一個等比數列，首項是1，公比是2，由等比數列的通項公式an=a1qn-1可以很快寫出每個數據.事實上，這就是一個求等比數列前64項和的問題.這節課我們就一起來研究等比數列的前n項和.

2.概念形成

師：研究新知識之前，不妨先來回顧一下我們是如何推導等差數列的前n項和公式的.

問題2：如何推導等差數列的前n項和公式？

生2：倒序相加，通過再構造一個等式，兩式相加，把對應項的和轉化為a1+an.

師：實質上就是把對應項的和都轉化為同一項a1+an，把其余大量的項都消去，只保留a1，an，從而達到簡化公式的目的.得到求和公式后，我們就知道等差數列前n項和公式與a1，d，n，an有關.類比過來，即可推出等比數列的前n項和公式.

問題3：等比數列{an}的前n項和公式與哪些量有關呢？

生3：a1，q，n，an.

師：沒錯，等比數列前n項和公式就是用這幾個基本量來表示的.

生4：可以把Sn=a1+a2+a3+…+an寫成Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.

師：很好！根據等差數列前n項和公式的推導方法，我們要對這個式子進行化簡，實質上就是要把大量的項消去，使得式子最終只留下有限的幾個項.

問題4：如何消項？是否還可以用倒序相加？

生5：不可以，倒序相加后對應項的和不一定相等.

師：倒序相加后對應項的和不能轉化為相同的項，所以不行；兩式相加不行，那兩式相減可不可以消項呢？

生6：不可以，兩式相減后全部都消去了.

問題5：如何構造一個新的等式，使得兩式相減可以消去大量的項？

生7：兩個式子中必須要有一些項不同，其余的項相同.

師：如何構造相同的項呢？我們不妨來回顧一下等比數列的定義.

問題6：等比數列的定義是什么？

生8：從第2項起，每一項與前一項的比等于同一個常數q.

師：換句話說，每一項乘上q都等于后一項.是否可以圍繞定義構造一個新的等式，使得兩式有相同的項？

（學生探究）

生9：把式子的每一項都同乘以q，得到qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，兩式就出現了大量相同的項.兩式相減得（1-q）Sn=a1-a1qn，則

Sn=a1-a1qn1-q

.

師：除以“1-q”要注意什么？

生10：“1-q”不能等于0，即當q≠1時，Sn=a1-a1qn1-q

.

師：當q=1時呢？

生10：當q=1時，數列是常數列，其前n項和公式為Sn=na1.

師：到這里，我們就推導出了等比數列前n項和公式，即

Sn=

na1（q=1），

a1（1-qn）1-q（q≠1）.

用這個公式可以快速地求出任意等比數列的前n項和.在推導公式的過程中，是利用兩個等式相減的，并且是錯開相減的，所以我們把這種數列求和的方法叫作“錯位相減法”.

3.概念深化

師：推導出了公式后，我們還需要進一步深入地認識這個公式.下面課堂進入到第三個環節“概念深化”.

師：首先我們來分析公式的結構，當q≠1時它是分式的結構，分母不能為0，也就是q≠1，再來看分子，a1是首項，q是公比，n是總項數.

問題7：等差數列的前n項和公式，可以用a1、an、n表示，等比數列的前n項和公式是否也可以？

生11：當q≠1時，由通項公式an=a1qn-1可得Sn=a1-anq1-q.

師：很好！那么我們得到了公式的另一種形式.

問題8：這兩個公式分別適用于什么情況？

生12：已知a1、q、n用第一個公式，

已知

a1、q、an用第二個公式.

師：當q≠1時，第一個公式中有幾個量？

生13：四個.

師：在第一個公式中知道其中三個就可以求第四個，同樣在第二個公式中，也是有四個量，知道其中三個就可以求第四個.

4.應用探索

師：相信同學們已經學會了等比數列的前n項和公式，讓我們回到一開始提出的問題1中，請同學們計算一下國王總共需要給發明者多少顆麥子.

（學生計算得到1+2+22+23+…+263=

1×（1-264）1-2

=264-1

）

師：“264-1”這個數很大，約等于1.84×1019，這么多顆麥子計算重量的話已經超過了7000億噸，即便國王拿出全國的糧食，也不夠賞給發明者.如果國王學過等比數列的前n項和公式的話，就可以計算出來需要這么多的麥子，也就不會這么爽快地答應發明者的要求了.

師：看來同學們已經能夠熟練運用等比數列的前n項和公式解決問題了，接下來，我們將通過一些練習來鞏固對公式的理解和運用.

【例1】已知等比數列12，

14，18，…，（1）求前8項之和；（2）求第5項到第10項之和.

【例2】等比數列{an}中，若Sn=189，q=2，an=96，求a1、n.

5.總結歸納

師：通過這節課的學習，你能夠解決什么問題？我們是如何推導出等比數列的前n項和公式的？那

還有沒有其他推導等比數列前n項和公式的方法？請同學們課后思考.

二、教學思考

上述教學是圍繞“問題導學”教學法的五環節“新課引入、概念形成、概念深化、應用探索、總結歸納”來展開的，整個教學過程以問題為載體，引導學生推導公式并運用公式解決問題，收到了良好的教學效果.

第一環節“新課引入”，首先創設國際象棋與麥粒的

故事情境，然后再拋出問題1，激發學生的求知欲.在教師的引導下，學生要計算麥粒的總數，可把64個項逐一相加，但是運算量太大，學生難以計算，此時學生就會想知道有沒有其他簡便的計算方法，教師引入等比數列前n項和的問題就水到渠成了.

第二環節“概念形成”的主要任務是公式的推導，要注重引導學生理解公式推導過程的合理性.公式的推導實際就是化簡，難點在于如何想到要兩邊同時乘以公比q.知識不是平白無故產生的，如何讓公式的推導過程能夠自然合理地呈現給學生，需要教師通過問題來引導.問題2和問題3的目的是以舊引新，回顧等差數列前n項和公式以及推導過程，即利用倒序相加消去大量的項，達到簡化公式的目的，并且化簡后的公式是用基本量表示；類比過來，等比數列的前n項和公式也可以通過消項來達到化簡目的.通過這兩個問題，為公式的推導找到了方向，且明確了公式化簡的標志是能用基本量表示出來.接下來，要解決的問題是怎樣才能消項化簡，這是難點.根據已有經驗，學生很容易會想到繼續利用倒序相加法，因此提出問題4，學生嘗試后便會發現運用倒序相加法行不通.加減乘除是基本的運算法則，兩式相加不行，那相減呢？由此自然地提出了問題5，引導學生思考如何構造新的等式，再通過問題6復習等比數列的定義，學生就比較容易想到構造相同項的方法——每一項都同乘以公比q.至此，學生就可以順利地進行后續的推導了.通過這一系列問題的鋪墊，使學生的思維活動步步深入，充分感受到兩邊同乘以公比q的合理性，感悟錯位相減法的應用價值，提高了解決問題能力.

第三環節“概念深化”要注重挖掘公式的內涵與外延.通過問題引導學生對公式的結構、形式、適用范圍等進行深化認識，認清公式的本質特征，從而學會熟練地運用公式解決實際問題.在不少教學設計中，教師會向學生介紹其他的推導方法，本節課的重點是利用錯位相減法推導公式，錯位相減法是后續學習數列求和的重要方法之一，因此，教師應該重點介紹錯位相減法，讓學生掌握好這一方法，其他的方法可讓學生課后自主探究.

第四環節“應用探索”的主要任務是例題的講解，檢驗學生是否能夠運用公式解決問題.在這一環節中，教師要思考為什么要講這些題，目的是什么.筆者在教學中，首先回答前面提出的問題1，首尾呼應，在解決問題的過程中，學生可以充分體會到公式的作用，感受數學之美；接著是兩個例題，例1是正向運用第一個公式，例2是逆向運用第二個公式.通過兩個例題，讓學生充分體會“知三求一”以及兩個公式的適用情況，從而強化對公式的理解和運用.

最后在“總結歸納”環節，筆者先通過兩個問題引導學生總結本節課所學知識的重點和關鍵，然后留下課后思考題引導學生自主探索推導公式的其他方法.

綜上可知，精心設計好課堂問題，以問題為載體，啟發、引導學生理解知識發生和發展的必要性和合理性，并學會應用所學知識解決實際問題，對提高課堂教學效果和培養學生的能力十分重要.

（責任編輯黃春香）