混沌激光調(diào)制實現(xiàn)二次諧波系統(tǒng)混沌反控制與混沌同步

王萌，馮秀琴，姚治海，王曉茜

（長春理工大學(xué) 理學(xué)院，長春 130022）

隨著混沌動力學(xué)理論在保密通信、信息編碼以及信息存儲等方面應(yīng)用研究的逐漸深入，混沌反控制與混沌同步的研究成為重要的研究方向。混沌反控制是在混沌信號有用時刻意產(chǎn)生混沌或者使混沌行為加劇，混沌反控制又被稱為混沌生成或混沌合成。眾多學(xué)者對不同系統(tǒng)的混沌反控制與同步進行了深入研究。陳關(guān)榮等利用狀態(tài)反饋法，使閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生Devaney意義下的混沌［1］；Yang等研究了具有極限環(huán)的連續(xù)系統(tǒng)的混沌反控制問題［2］；汪小帆等利用時滯反饋法研究了最小相位系統(tǒng)的有關(guān)混沌的生成［3］；文獻［4，5］指出利用耦合法和參量調(diào)制法等討論研究了有關(guān)簡并光學(xué)參量振蕩器的混沌反控制與混沌系統(tǒng)的同步；文獻［6］研究了玻色愛因斯坦凝聚系統(tǒng)的混沌反控制；文獻［7］詳細闡述了使A類和B類激光器通過附加自由度產(chǎn)生混沌激光的方法。

光學(xué)二次諧波系統(tǒng)是典型的一種非線性光學(xué)系統(tǒng)，分析研究光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌控制與同步對更深一步研究其他非線性光學(xué)系統(tǒng)的混沌控制與同步及其應(yīng)用有著重要的指導(dǎo)意義。關(guān)于光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌動力學(xué)的研究已經(jīng)有了很多具有重要意義的成果［8-11］，張喜和等通過使用方波脈沖以及鋸齒波脈沖泵浦著重分析研究了光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌物理特性［12］；李建宇等利用延時反饋法也模擬實現(xiàn)了光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌控制與周期態(tài)同步［13，14］；常帥等研究了光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌耦合同步［15，16］；何軍等利用方波脈沖實現(xiàn)了二次諧波系統(tǒng)的混沌控制［17］；文獻［5］利用周期信號調(diào)制研究了光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌控制及其周期態(tài)同步，同時研究了光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌生成，至今未見更多關(guān)于二次諧波系統(tǒng)的混沌反控制與同步的研究成果報道。可見還可以對光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌反控制與同步進行更廣泛深入的研究，本方案利用混沌激光調(diào)制研究光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌反控制與混沌同步。

1 混沌激光調(diào)制泵浦場反控制二次諧波系統(tǒng)的混沌

利用雙環(huán)摻鉺光纖激光器輸出的混沌激光調(diào)制調(diào)制光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的泵浦場，在腔損耗較低的條件下，調(diào)制后系統(tǒng)的動力學(xué)方程［17，18］：

其中，（1）-（4）式為雙環(huán)摻鉺光纖激光器動力學(xué)方程，（5）-（6）式為光學(xué)二次諧波系統(tǒng)動力學(xué)方程，對應(yīng)變量及其參數(shù)表1。

當(dāng)二次諧波系統(tǒng)的泵浦為恒定值且F小于7.0時，系統(tǒng)參數(shù)為Δ1=Δ2=1.0時，二次諧波系統(tǒng)系統(tǒng)處于周期態(tài)，周期軌道和時間序列如圖1，從中可見系統(tǒng)處于周期態(tài)。為使二次諧波系統(tǒng)從周期態(tài)轉(zhuǎn)化為混沌輸出，利用雙環(huán)摻鉺光纖激光器輸出的混沌激光作為調(diào)制信號，使用混沌激光作為泵浦光。當(dāng)雙環(huán)摻鉺光纖激光器參數(shù)為η0=0.2，ga=10500,gb=4700，κa=κb=1000，Ipa=Ipb=4 時，雙環(huán)摻鉺光纖激光器輸出混沌激光［18］，用a環(huán)輸出的混沌激光Ea調(diào)制二次諧波系統(tǒng)的泵浦場，當(dāng)調(diào)制強度m＞0時，二次諧波系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為混沌輸出，實現(xiàn)二次諧波系統(tǒng)的混沌反控制，當(dāng)調(diào)制強度m=0.6時輸出的混沌行為通過吸引子和時間序列圖表征如圖2所示，圖2（a）和2（b）分別為基模和二次諧波模的混沌吸引子，圖2（c）為基模輸出的時間序列。

表1 （1）-（6）式參量及其含義對應(yīng)表

圖1 穩(wěn)恒泵浦二次諧波系統(tǒng)輸出的周期軌道與時間序列F=6.0，Δ1=Δ2=1.0

圖2 混沌泵浦二次諧波系統(tǒng)輸出的周期軌道與時間序列 F=6.0，Δ1=Δ2=1.0，m=0.6

利用（1）-（4）式輸出的混沌激光同時調(diào)制兩個二次諧波系統(tǒng)A和B的泵浦場，調(diào)制后同步系統(tǒng)A的動力學(xué)方程為（5）-（6）式表達，系統(tǒng)B的動力學(xué)方程為：

由于系統(tǒng)的初始條件不相同，而且混沌對系統(tǒng)的初始條件很敏感，A，B兩個系統(tǒng)不會產(chǎn)生同步。數(shù)值分析結(jié)果表明，通過調(diào)整調(diào)制強度可以實現(xiàn)混沌同步，發(fā)現(xiàn)當(dāng)調(diào)制增加到強度m=0.6時，系統(tǒng)B與C可以達到同步，隨著調(diào)制強度的增加，當(dāng)m＞0.6時，混沌輸出同步速度加快。當(dāng)初始條件為：A1=0.1+i0.1，A2=0.2+i0.2，B1=0.2+i0.2，B2=0.1+i0.1，耦合系數(shù)m=0.7時，系統(tǒng)的同步過程演化如圖3所示。從圖3（a）-（b）可見，系統(tǒng)B與C的基模和二次諧波模均達到完全同步，同步演化過程如圖3（c）。

圖3 混沌激光調(diào)制泵浦光學(xué)二次諧波系統(tǒng)混沌同步

2 混沌激光耦合調(diào)制實現(xiàn)二次諧波系統(tǒng)混沌同步

混沌激光耦合調(diào)制也可以實現(xiàn)二次諧波系統(tǒng)的混沌反控制與混沌同步，將雙環(huán)摻鉺光纖激光器輸出的混沌激光通過耦合器耦合到光學(xué)二次諧波系統(tǒng)中，并對基模調(diào)諧參數(shù)進行調(diào)制，耦合調(diào)制后的動力學(xué)方程為：

發(fā)現(xiàn)當(dāng)調(diào)制強度m＞0.02時，二次諧波系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為混沌輸出，通過耦合調(diào)制實現(xiàn)二次諧波系統(tǒng)的混沌反控制。當(dāng)F=6.0，F(xiàn)=6.0，Δ1=Δ2=1.0，調(diào)制強度m=0.6時輸出的混沌吸引子如圖4所示，從中可見二次諧波系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

如果將雙環(huán)摻鉺光纖激光器輸出的混沌激光同時耦合到兩個二次諧波系統(tǒng)里并同時對基模調(diào)諧參數(shù)進行調(diào)制，調(diào)制后同步系統(tǒng)A的動力學(xué)方程為（9）-（10）式表達，系統(tǒng)B的動力學(xué)方程為：

數(shù)值分析結(jié)果表明，通過調(diào)整耦合調(diào)制強度可以實現(xiàn)A和B系統(tǒng)的混沌同步，發(fā)現(xiàn)當(dāng)調(diào)制增加到強度m=0.94時，系統(tǒng)A與B可以達到同步，隨著調(diào)制強度的增加，當(dāng)m＞0.94時，混沌輸出同步速度加快。當(dāng)初始條件為，A1=0.1+i0.1，A2=0.2+i0.2，B1=0.2+i0.2，B2=0.1+i0.1，耦合系數(shù)m=0.95時，系統(tǒng)的同步過程演化如圖5所示。從圖5（a）-（b）可見，系統(tǒng)B與C的基模和二次諧波模均達到完全同步，同步演化過程如圖5（c）。

圖4 混沌激光調(diào)制二次諧波系統(tǒng)基模調(diào)諧參數(shù)后的混沌吸引子

圖5 混沌激光調(diào)制光學(xué)二次諧波系統(tǒng)調(diào)諧參數(shù)后的混沌同步

3 結(jié)論

利用混沌激光調(diào)制泵浦場，通過選擇合適的調(diào)制強度，可以把光學(xué)二次諧波系統(tǒng)由周期態(tài)控制到混沌態(tài)，以實現(xiàn)光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌反控制。研究結(jié)果表明，兩個或多個二次諧波系統(tǒng)的泵浦場同時被混沌激光信號調(diào)制，這些系統(tǒng)盡管初始條件不同，在確定的參數(shù)范圍內(nèi)，通過調(diào)整調(diào)制強度，可以實現(xiàn)兩個或多個二次諧波系統(tǒng)混沌同步。不但可以利用混沌激光調(diào)制泵浦場實現(xiàn)光學(xué)二次諧波系統(tǒng)的混沌反控制與同步，調(diào)制二次諧波系統(tǒng)基模調(diào)諧參數(shù)也可以實現(xiàn)二次諧波系統(tǒng)混沌反控制與同步。以上得到的同步結(jié)果與周期信號調(diào)制和延時反饋調(diào)制不同，周期信號調(diào)制和延時反饋調(diào)制實現(xiàn)的是周期態(tài)同步，存在同步和反向同步兩種同步方式。如果使用相同的混沌激光作為信號，以同樣的方式同時對兩個或多個二次諧波系統(tǒng)的泵浦場或基模調(diào)諧參數(shù)進行調(diào)制，再選取適當(dāng)?shù)恼{(diào)制強度，即可實現(xiàn)兩個或多個二次諧波系統(tǒng)的混沌同步，這對實現(xiàn)多路信號同時進行混沌保密通信有著一定的參考價值。

參考文獻

［1］ Chen G，Lai D.Feedback control of lyapunov exponents for discrete-time dynamical systems［J］.International Journal of Bifurcation& Chaos，1996，06（07）：1341-1349.

［2］ Ling Yang，Zengrong Liu，Guanrong Chen.Chaotifying a continuous-time system via impulsive input［J］.InternationalJournalofBifurcation & Chaos，2002，12（05）：1121-1128.

［3］ Wang X F，Chen G.Chaotification viaarbitrarily small feedback controls：theory，method，and applications［J］.International Journal of Bifurcation&Chaos，2000，10（03）：549-570.

［4］ 馮秀琴，姚治海，田作林，等.簡并光學(xué)參量振蕩器的混沌反控制與混沌同步［J］.光學(xué)學(xué)報，2010，30（3）：861-865.

［5］ 馮秀琴.光學(xué)參量振蕩器的超混沌控制與同步研究［D］.長春：長春理工大學(xué)，2006.

［6］ 王志霞.玻色—愛因斯坦凝聚的混沌動力學(xué)研究［D］.長春：長春理工大學(xué)，2008.

［7］ 沈柯.光學(xué)中的混沌［M］.東北師范大學(xué)出版社，1999.

［8］ Grygiel K，Szlachetka P.Hyperchaos in second-harmonic generation of light［J］.Optics Communications，1998，49（7）：1043-1056.

［9］ Savage C M，Walls D F.Optical chaos in second-harmonic generation［J］.Optica Acta International Journal of Optics，1983，30（5）：557-561.

［10］ Aceves A，Holm D D，Kova?i? G，et al.Homoclinic orbits and chaos in a second-harmonic generating optical cavity［J］.1997，233（3）：203-208.

［11］ Mandel P，Erneux T.Amplitude self-modulation of intracavity second-harmonic generation［J］.Journal of Modern Optics，1982，29（1）：7-21.

［12］ 張喜和，沈柯.調(diào)制脈沖泵浦相位共軛振蕩器的動力學(xué)行為［J］.長春理工大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1999，22（2）：1-6.

［13］ 姚治海，李建宇，馮秀琴，等.延時反饋調(diào)制泵浦場實現(xiàn)二次諧波的混沌控制與同步［J］.兵工學(xué)報，2011，32（6）：657-662.

［14］ Feng X Q，Jianyu L I，Yao Z H，et al.Chaotic control and synchronization in optical second-harmonic generation with parameter modulating by delay feedback［J］.Chaos An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science，2010，20（2）：023-120.

［15］ 常帥.光學(xué)二次諧波混沌控制與同步的研究［D］.長春：長春理工大學(xué)，2011.

［16］ 趙鳳艷，馮秀琴，常帥，等.光學(xué)二次諧波系統(tǒng)混沌同步研究［J］.北華大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，14（5）：530-533.

［17］ 何軍，李元杰.光學(xué)二次諧波混沌的控制［J］.物理與工程，2000，10（6）：39-42.

［18］ 王榮，沈柯.延時線性反饋法控制雙環(huán)摻鉺光纖激光器混沌［J］.物理學(xué)報，2001，50（6）：1024-1027.