Hilbert空間中g-R-對偶的一些性質

龐橋森，楊守志

（汕頭大學數學系，廣東 汕頭 515063）

0 引言

Hilbert空間中的框架概念由Duffin和Schaeffer[1]在研究非調和Fourier級數時提出.之后很多學者對其做了廣泛的研究，使得框架理論應用于信號處理，信號采樣，圖像處理，系統模型等諸多領域，隨著對框架理論研究的不斷深入，許多學者對框架理論進行了各種推廣，孫文昌教授[2]首先提出了一種更為一般的框架概念即g-框架，并對g-框架的性質進行了一些研究.為了在Gabor分析中得到更具一般性的對偶原則，Casazza，Kutyniook和Lammers[3]于2004年首次提出了框架的R-對偶（第一類R-對偶）的概念，并討論了框架R-對偶的一些性質.之后Christensen[4]于2015年提出了第二類R-對偶、第三類R-對偶、第四類R-對偶的概念，進一步豐富了框架的R-對偶的內容.

在文獻[5]中，Osgooei和Najati首先把R-對偶的內容推廣到g-框架，并研究了Hilbert空間上g-框架的第一類g-R-對偶的某些性質.在文獻[6]中，Khosravi和Takhteh又把第二類R-對偶、第三類R-對偶、第四類R-對偶的概念推廣到g-框架上，同樣也討論了這三類R-對偶在g-框架上的一些性質，并且根據第一類g-R-對偶，給出了對偶g-框架的一個刻畫.本文在此基礎上，討論了g-框架上第一類g-R-對偶的一些新的性質，并且根據第三類g-R-對偶給出對偶g-框架的一個刻畫.

在本文中，H是復的可分Hilbert空間，其內積為＜·，·＞，I是整數集的子集，{Hi}i∈I是H的閉子空間序列，B（H，Hi）表示H到Hi的所有有界線性算子的全體.

1 預備知識

定義1序列Λ＝{Λi∈B（H，Hi）:i∈I}稱為Hilbert空間H關于{Hi}i∈I的g-框架，如果存在A，B＞0，對任意的f∈H有

成立，稱A，B分別為g-框架的下界和上界.

若僅有右邊不等式成立，則稱Λ是界為B的g-Bessel序列.

若A＝B，則稱為緊g-框架.若A＝B＝1，則稱為g-Parseval框架.

如果{Λi}i∈I是的一個g-框架，則稱為g-框架序列.

定義線性空間：

和內積〈·，·〉

則是一個Hilbert空間.

如果Λ＝{Λi}i∈I是一個g-Bessel序列，那么Λ的合成算子為

它的共軛算子，即分析算子為

g-Bessel序列 Λ＝{Λi}i∈I的框架算子 SΛ定義為：

因此有如果Λ＝{Λi}i∈I是H的一個界為A，B的g-框架，那么g-框架算子SΛ是有界的，自伴的且可逆的.它的典范對偶定義為其中也是 H 的一個g-框架，框架界為B-1，A-1，并且

定義 2 設 Λ＝{Λi}i∈I和 Θ＝{Θi}i∈I是 H 關于{Hi}i∈I的兩個 g-Bessel序列，如果

成立，則稱Λ和Θ互為對偶g-框架.

定義3 序列Λ＝{Λi}i∈I稱為Hilbert空間H關于{Hi}i∈I的g-標準正交基，如果滿足下列兩個條件：

定義4 序列Λ＝{Λi}i∈I稱為Hilbert空間H關于{Hi}i∈I的g-Riesz基，如果滿足下列兩個條件：

（1）{Λi}i∈I是 g-完備的，即{f∈H:Λif＝0，i∈I}＝{0}；

（2）存在正數A，B使得對任意有限集合I1∈I和任意gi∈Hi，i1∈I1有

注1如果{Λi}i∈I是一組g-標準正交基，那么根據定義有

則有

設Λ＝{Λi∈B（H，Hi）:i∈I}和Θ＝{Θi∈B（H，Hi）:i∈I}是g-Bessel界為B，C的兩個g-Bessel序列，定義算子：

那么根據文獻[8]有特別地

定義5[6]設Λ＝{Λi∈B（H，Hi）:i∈I}是H的一個g-框架，S為g-框架算子.

（1）令Γ＝{Γi∈B（H，Hi）:i∈I}和Υ＝{Υi∈B（H，Hi）:i∈I}是g-標準正交基，Λ與（Γ，Υ）相關的第一類 g-R-對偶是其中

（2）令Γ＝{Γi∈B（H，Hi）:i∈I}和Υ＝{Υi∈B（H，Hi）:i∈I}是g-標準正交基，Λ與（Γ，Υ）相關的第二類 g-R-對偶是其中

（3）令是g-標準正交基，M:HH是一個滿足的有界可逆算子，Λ與（Γ，Υ，M）相關的第三類g-R-對偶是其中

（4）令是g-Riesz基，Λ與（Γ，Υ）相關的第四類 g-R-對偶是其中

注2在第三類g-R-對偶中，M的選擇有無窮多種.顯然是成立的，那么也成立，其中U為任意酉算子.

定義6[7]設Λ和Θ是H的兩個g-框架

（1）如果存在一個有界線性可逆算子T:HH，使得Θi＝ΛiT，?i∈I，則稱Λ和Θ相似.

（2）如果存在一個酉線性算子T:HH，使得Θi＝ΛiT，?i∈I，則稱Λ和Θ酉等價.

引理1[7]設Λ和Θ是H的兩個g-框架，那么當且僅當Λ和Θ相似.

引理 2[5]設 Λ＝{Λi}i∈I為 Hilbert空間 H 關于{Hi}i∈I的 g-Bessel序列，表示Λ 的第一類 g-R-對偶，那么對所有的有

其中

引理 3[5]設 Λ＝{Λi}i∈I為 Hilbert空間 H 關于{Hi}i∈I的 g-Bessel序列表示 Λ 與g-標準正交基 Γ＝{Γi}i∈I和 Υ＝{Υi}i∈I相關的第一類 g-R-對偶，對有下列結論成立：

引理4[6]設Λ＝{Λi∈B（H，HI）:i∈I}是H的一個g-框架序列，其g-框架算子為S，Γ＝{Γi∈B（H，HI）:i∈I}和 Υ＝{Υi∈B（H，HI）:i∈I}是 g-標準正交基，是 Λ 與（Γ，Υ）相關的第一類g-R-對偶，那么下面兩個結論等價：

（1）Θ是Λ的一個對偶g-框架；

（2）存在一個g-Bessel序列使得對每個gj∈Hj，j∈I都有

2 主要結論

在這部分，首先給出第一類g-R-對偶的幾個性質，最后再根據第三類g-R-對偶給出對偶g-框架的一個刻畫.

性質1 如果 Λ＝{Λi}i∈I是Hilbert空間H關于{Hi}i∈I的g-Bessel序列，Λ 的g-框架算子為表示 Λ 與 g-標準正交基 Γ＝{Γi}i∈I和 Υ＝{Υi}i∈I相關的第一類 g-R-對偶，則有

特別地，即酉等價.

證明：根據第一類g-R-對偶和g-標準正交基的定義，有

當j＝k時，有故存在酉算子U，使得因為是自伴的，所以可得即酉等價.

性質 2 如果 Λ＝{Λi}i∈I和 Θ＝{Θi}i∈I是 Hilbert空間 H 關于{Hi}i∈I的 g-框架，和分別表示Λ和Θ的第一類g-R-對偶，則下列兩個結論等價.

（1）Λ和Θ相似.

證明：因為RT*＝（kerT）⊥，所以由引理1知Λ和Θ相似當且僅當kerTΛ＝kerTΘ，然后根據引理3得證.

性質 3 如果 Λ＝{Λi}i∈I和 Θ＝{Θi}i∈I是 Hilbert空間 H 關于{Hi}i∈I的 g-框架，和分別表示Λ和Θ的第一類g-R-對偶，則下列兩個結論等價.

（1）Λ和Θ酉等價.

（2）ΦΛ的 g-框架算子 SΦΛ和 ΦΘ的g-框架算子SΦΘ相同.

證明：Λ和Θ酉等價當且僅當，對?{gi}i∈I∈kerTΛ，

由引理2，上式等價于

對所有的成立.又因為

所以可得g-框架算子相同.

性質 4 如果 Λ＝{Λi}i∈I和 Θ＝{Θi}i∈I是 Hilbert空間 H 關于{Hi}i∈I的 g-框架，和分別表示Λ和Θ的第一類g-R-對偶，則下列兩個結論等價.

（1）Λ和Θ的g-框架算子相同.

（2）ΦΛ和ΦΘ酉等價.

證明：若是 Λ＝{Λi}i∈I與（Γ，Υ）相關的第一類 g-R-對偶，那么 Λ＝{Λi}i∈I是與（Υ，Γ）相關的第一類 g-R-對偶，見文獻[6]的引理 3.3.再由性質 3 可證.

下面將根據第三類g-R-對偶，給出對偶g-框架的一個刻畫，為了證明的方便，我們先討論第一類g-R-對偶和第三類g-R-對偶的一個關系.

定理1設 Λ＝{Λi∈B（H，H）i:i∈I}是H的一個g-框架序列，其g-框架算子為S，Γ＝{Γi∈B（H，H）i:i∈I}和 Υ＝{Υi∈B（H，H）i:i∈I}是g-標準正交基，M:HH是一個滿足的有界可逆算子，記為 Λ 與（Γ，Υ，M）相關的第三類g-R-對偶，那么Λ是g-框架當且僅當ΦΛ是g-Riesz序列.

證明：由g-框架的知識得到，是g-Parseval框架，ΥM是g-Riesz基，若其g-Riesz界為見文獻[8].假設Λ是一個界為0＜A1＜A2的g-框架，那么對任意有限子集F∈I，有

同理可得

所以ΦΛ是g-Riesz序列.

若ΦΛ是H上的g-Riesz序列，其g-Riesz界為0＜D1＜D2，令g-Riesz基的 g-Riesz 界為 0＜B1＜B2，假設則有一個有限子集F∈I和{gj∈Hj:j∈F}，使得

所以有

同理可得

因為所以Λ是H的g-框架.

注3以上的定理給出了g-框架與它的第三類g-R-對偶的一個充要條件，因為任意的g-標準正交基都是g-Riesz基，所以它是文獻[6]中定理2.5的一個特例.

定理2設Λ＝{Λi∈B（H，Hi）:i∈I}是H的一個g-框架序列，其g-框架算子為S，是g-Riesz序列，Γ＝{Γi∈B（H，Hi）:i∈I}和Υ＝{Υi∈B（H，Hi）:i∈I}是g-標準正交基，是一個滿足的有界可逆算子，那么下面兩個結論等價：

（1）Λ 與（Γ，Υ，M）相關的第三類 g-R-對偶是 ΦΛ；

（2）與（Γ，Υ）相關的第一類 g-R-對偶是

證明：（1）?（2）由第三類 g-R-對偶的定義有

所以

即與（Γ，Υ）相關的第一類 g-R-對偶是{ΦΛjM-1}j∈I.

（2）?（1）同理易證.

定理3設 Λ＝{Λi∈B（H，H）i:i∈I}是H的一個g-框架序列，其g-框架算子為S，Γ＝{Γi∈B（H，H）i:i∈I}和 Υ＝{Υi∈B（H，H）i:i∈I}是g-標準正交基，M:HH是一個滿足的有界可逆算子，是 Λ 與（Γ，Υ，M）相關的第三類g-R-對偶，那么下面兩個結論等價：

（1）Θ是Λ的一個對偶g-框架；

（2）存在一個g-Bessel序列使得對每個gj∈Hj，j∈I，都有

其中表示序列與（Γ，Υ）相關的第一類 g-R-對偶.

證明：首先證明Θ是Λ的一個對偶g-框架是的一個對偶g-框架.若對?f∈H，有則有

所以有

即

故是的一個對偶g-框架.充分性的證明類似可證.

由定理2可知與（Γ，Υ）相關的第一類 g-R-對偶是因為是g-Parseval框架，所以其g-框架算子是單位算子I，若記序列與（Γ，Υ）相關的第一類 g-R-對偶為則根據引理 4 有，是的一個對偶g-框架?（2），所以（1）?（2）.得證.

注4定理3是根據第三類g-R-對偶，給出對偶g-框架的一個刻畫，它是文獻[6]中定理2.9的一個推廣，當Λ＝{Λi}i∈I是g-Parseval框架，M＝I時，其中I是單位算子，定理3與文獻[6]中定理2.9是一致的.

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