當數學遇到音樂

李近朱

最近，聽到一首以“圓周率”數字為樂譜的鋼琴曲，雖奇特，卻優美。早在公元5世紀，中國南北朝時期的數學家祖沖之率先計算出“圓周率”小數點后7位的π值?？v觀數學史，從公元前20世紀計算出點后一位數，到公元20世紀，計算到點后億萬位數?！皥A周率”神奇無限，也讓藝術家們著迷。于是，才有了將若干位數演化為音符的奇想。

當數學遇到音樂，會怎樣？最直觀的是，作為記錄音樂的樂譜就以數字為基礎：五線譜以高低音符構筑，猶似數字的級進;簡譜所用的阿拉伯數字，從1到7，更體現出音樂在數字上的奇妙構成。

“圓周率”的琴聲未絕，眼前又浮現出古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯的身影。他認為，“萬物皆數”“數是萬物的本質”。他將其黃金分割公式置于“萬物”之中，并有一個音樂化的表述：太陽、月亮、星辰的軌道，與地球的距離之比，分別等于三種協和的音程，即八度音、五度音、四度音。更進一步，他以聲學的物理方式在一條弦上撥一個音，再在兩條弦上撥響它的第五度和第八度音。結論是：三條弦的長度之比為6：4：3。通過數學和物理現象之間的聯系，畢達哥拉斯認為：音程的和諧與宇宙星際的秩序相對應，音樂亦在“萬物皆數”的范疇中。這位數學家對琴弦長度與協和音程關系的演算，為后來音樂的“五度相生律”奠定了基礎。

17世紀，在西方巴洛克時期，巴赫的名作《十二平均律鋼琴曲集》運用了一個新的音律。這個音律，解析了自然存在的半音關系。從物理學上看，以頻率標注的音高，每升高一個八度，頻率翻番。比如1975年最終確認的國際標準音A，其震動為440Hz，升高一個八度就是880Hz。然后，從數學上看，將八度音程等分12份，于是，就有了半音。再做計算，相鄰半音的頻率比為：2的1/12次方。這就出現了音樂上的“十二平均律”。

這些計算，對數學家來說未必高端，但對于藝術家卻太過復雜。當然，音樂家不問計算。他們只是感到，帶有數學復雜性的半音，豐富了音樂的表現力。嚴謹的德國人巴赫注意到“十二平均律”的科學與藝術優勢，從1722年到1744年，他寫了24首鋼琴曲，組成兩卷本的《十二平均律鋼琴曲集》。在紛紜數字的背后，出現了被譽為“音樂圣經”的美妙樂音。

其實，在中國明代萬歷二十三年（1595年），律學家、歷學家、音樂家朱載堉就完成了他的《樂律全書》。其中，就論述到了“十二平均律”。還是在萬歷十一年（1584年），百年之后巴赫才誕生，這位明朝王子就已經作了“十二平均律”的演算——勻律音階的音程，可取2的12次方根。這是音樂史上的一個重大發現。來自西方的傳教士忙不迭地經絲綢之路，競相把朱載堉的“十二平均律”帶到西方。

巴赫未必知道這位中國王子。但這個音律帶來的深遠影響，卻在西方樂壇煥發出光彩，以至于寫出那部“音樂圣經”的巴赫，比中國的朱載堉還要出名。此刻，就連巴赫的鄉黨、德國物理學家赫爾姆霍茨也不得不公允地說句話了，中國王子朱載堉“在舊派音樂家的大反對中，倡導七聲音階。他把八度分成十二個半音以及變調的方法，是一個有天才和技巧的發明”。而今，“樂器之王”——鋼琴大行于世，但西方鋼琴制造的原理，卻來自于發現“十二平均律”的這位東方科學家。

那么，朱載堉是如何發現“十二平均律”的？答案是：數學計算。他用81檔的特大算盤，進行開平方、開立方計算。他提出“異徑管說”，設計并制造了弦準和律管，使十二樂音相鄰的兩個音，增幅或減幅相等。艱苦的探究破解了音樂史上的難題，橫空出世的一個數學公式：2開12次方，為“十二平均律”奠基。朱載堉在數學界和音樂界豎起了一座里程碑。

中國律學專家黃翔鵬先生說：“‘十二平均律不是一個單項的科研成果，而是涉及古代計量科學、數學、物理學中的音樂聲學，縱貫中國樂律學史，旁及天文歷算并密切相關于音樂藝術實踐的、博大精深的成果，是世界科學史和藝術史上的一大發明。”英國著名學者李約瑟認為，朱載堉是“世界上第一個平均律數字的創建人”，是“中國文藝復興式的圣人”。

當數學遇到音樂，無序的自然之聲成為有序的音樂之聲，讓原始聲音演化為有律樂音。于是，從玄妙的數學世界走到美妙的藝術世界，數學讓音樂更美麗。

我們發現，以枯燥演算得出的“十二平均律”經典公式，催生出許多美麗的音樂。巴赫的《十二平均律鋼琴曲集》與其說是一個科學的數字排列，不如說是一次絕美的數學藝術的演繹。其中，開篇第一首“C大調前奏曲”，雖只運用自然音體系的三和弦與七和弦，卻有著極致的優美，以至于讓后人以它作為典雅高潔、流暢動聽的圣歌《圣母頌》的鋼琴伴奏。

在醉人樂聲響起的那一刻，數學與音樂合成一道絢爛的霓虹——這就是當數學遇到音樂時，兩個領域共同煥發出的全部魅力。