高三專題復習
———數形結合思想

■鄭州市教研室 段全慶

數形結合思想是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來,使代數問題幾何化,幾何問題代數化,通過數與形的互相轉化來解決數學問題的一種重要的數學思想方法。

數形結合思想主要包括“以形助數”和“以數輔形”。“以形助數”指借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系,即以形作為手段,數作為目的,例如,應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質。

“以數輔形”指借助于數的精確性、規范性和嚴密性來闡明形的某些屬性,即以數作為手段,形作為目的,例如,應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。

運用數形結合思想分析解決問題時,要遵循三個原則：

(1)等價性原則。在數形結合時,代數性質和幾何性質的轉換必須是等價的,否則解題將會出現漏洞。有時,由于圖形的局限性,不能完整地表現數的一般性,這時圖形的性質只能是一種直觀而淺顯的說明,要注意其帶來的負面效應。

(2)雙方性原則。既要進行幾何直觀分析,又要進行相應的代數抽象探究,僅對代數問題進行幾何分析容易出錯。

(3)簡單性原則。不要為了“數形結合”而數形結合。具體運用時,一要考慮是否可行和是否有利;二要選擇好突破口,恰當設參、用參、建立關系、做好轉化;三要挖掘隱含條件,準確界定參變量的取值范圍,特別是運用函數圖像時應設法選擇動直線與定二次曲線。

在高考試題中,選擇題、填空題由于不要求寫出解答過程,我們可以應用數形結合思想,通過數與形的轉化,找到簡捷的思路,快速而準確地作答;對于要求完整地寫出解題過程的解答題,數形結合的思想主要用于思路分析、化簡運算及推理的過程,快速準確地分析問題、解決問題。

數形結合思想方法可以解決很多數學問題,比如,在解析幾何中與斜率、距離、截距、定義等相關的問題,在函數中與零點、單調性、比較數值大小等相關的問題,還可以運用數形結合思想解不等式、三角函數、集合、線性規劃、立體幾何等相關的問題。

在運用數形結合思想分析問題和解決問題時,需做到以下四點：

(1)要徹底明白一些概念和運算的幾何意義,以及曲線的代數特征;

(2)要恰當設參,合理用參,建立關系,做好轉化;

(3)要正確確定參數的取值范圍,以防重復和遺漏;

(4)精心聯想“數”與“形”,使一些較難解決的代數問題幾何化,幾何問題代數化,以便于問題的求解。

很多數學概念都具有明顯的幾何意義,善于利用這些幾何意義,往往能收到事半功倍的效果。

【方法講解】

一、數形結合在集合和函數中的應用

1.集合。

在集合的學習過程中也常常利用V e n n圖和數軸來解決與集合有關的運算問題。但需要注意的是用V e n n圖和數軸表示時要表現出集合的三個重要性質(無序性、確定性、互異性)。

例1 有4 5名學生,要求每人至少參加一個活動小組,參加數、理、化小組的人數分別為2 7、2 4、1 4,同時參加數、理小組的有8人,同時參加數、化小組的有6人,同時參加理、化小組的有7人,問：同時參加數、理、化小組的有多少人?

解析：在V e n n圖中,我們可用圓A、B、C分別表示參加數、理、化小組的人數(如圖1),則三圓的公共部分表示同時參加數、理、化小組的人數。

圖1

用c a r d表示集合中元素的個數,則有c a r d(A)+c a r d(B)+c a r d(C)-c a r d(A∩B)-c a r d(A∩C)-c a r d(B∩C)+c a r d(A∩B∩C)=4 5,即2 7+2 4+1 4-8-6-7+c a r d(A∩B∩C)=4 5,故c a r d(A∩B∩C)=1,即同時參加數、理、化小組的有1人。

當兩個集合的解集是不等式形式時,要求其交集或并集,常借助于數軸,把不等式的解集在數軸上表示出來,通過數軸便可直觀地觀察它們的交集或并集。

例2 已知集合A={x|-2＜x＜6},B={a＜x＜3a(a∈R)}。

(1)若A?B,求a的范圍。

(2)若B?A,求a的范圍。

解析：(1)在數軸上表示出集合A,要使A?B,則集合B應該覆蓋集合A,如圖2所示,從而有此時a值不存在。

圖2

(2)要使B?A,當a＞0時,集合A應該覆蓋集合B,則有成立,即0＜a≤2。當a≤0時,B=?,B?A顯然成立。故B?A時a的取值范圍為a≤2,如圖3所示。

圖3

通過上面的例子我們可以知道,一般對于比較復雜的集合運算題,涉及求一些參數取值或范圍的題我們都可以用數形結合的方法求解。

2.對稱問題。

例3 已知函數f(x)(x∈R)滿足f(-x)=2-f(x),若函數與y=f(x)圖像的交點為(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),則

A.0 B.m C.2m D.4m

解析：函數f(x)滿足f(-x)=2-f(x),即f(x)關于點(0,1)對稱,也關于點(0,1)對稱,所以交點(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)也兩兩關于點(0,1)對稱。

所以m=m。

點評：函數圖像問題有用的結論：如果函數f(x)(x∈D),滿足?x∈D,恒有f(a+x)=f(b-x),那么函數的圖像有對稱軸;如果函數f(x)(x∈D),滿足?x∈D,恒有f(a-x)=-f(b+x),那么函數的圖像有對稱中心。利用函數圖像的對稱性轉化問題。

例4 設α、β分別是方程l o g2x+x-4=0和2x+x-4=0的根,則α+β=____。

解析：依題意,分別作出函數y=x-4、y=2x及y=l o g2x的圖像,如圖4所示,則點

圖4

B、A的橫坐標即為α、β,可知B、A關于直線y=x對稱,由方程組得點 的坐C標為(2,2),所以α+β=4。

點評：利用原函數與反函數的圖像性質進行數形結合,以數助形可巧妙求解。

例5 (2 0 1 8年鄭州市第一次質量預測理科1 2)已知函數f(x)=x3-9x2+2 9x-3 0,若實數m,n滿足f(m)=-1 2,f(n)=1 8,則m+n=( )。

A.6 B.8 C.1 0 D.1 2

解析：由題意知f'(x)=3x2-1 8x+2 9=3(x-3)2+2,而f(3)=3,所以f(x)關于點(3,3)對稱。因為f(m)+f(n)=6,所以m+n=6。

結論：一般的三次函數f(x)=a x3+b x2+c x+d(a≠0)的對稱中心是下面給出證明。

證法1：二次函數通過配方可以消去一次項。類似地,三次函數通過配方可以消去二次項。

證法2：設函數f(x)=a x3+b x2+c x+d(a≠0)的對稱中心為(m,n)。

按向量a=(-m,-n)將函數的圖像平移,則所得函數y=f(x+m)-n是奇函數,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化簡得(3m a+b)x2+a m2+c m+d-n=0。①

式①對x∈R恒成立,故3m a+b=0,得m

所以函數f(x)=a x3+b x2+c x+d(a≠0)的對稱中心是

可見,y=f(x)圖像的對稱中心在導函數y=f'(x)的對稱軸上,且又是兩個極值點連線的中點。

3.零點問題。

例6 已知函數f(x)=其中m＞0,若存在實數b,使得關于x的方程f(x)=b有三個不同的根,則m的取值范圍是____。

解析：由題意畫出函數圖像如圖5所示,要滿足存在實數b,使得關于x的方程f(x)=b有三個不同的根,則4m-m2＜m,解得m＞3,故m的取值范圍是(3,+∞)。

圖5

點評：本題主要考查二次函數的圖像與性質、函數與方程思想、分段函數的概念。解答本題,關鍵在于能否利用數形結合思想,通過對函數圖像的分析,轉化得到代數不等式。本題能較好地考查考生對數形結合思想、轉化與化歸思想的掌握情況,以及他們的基本運算求解能力。

例7 已知函數f(x)=|l nx|,g(x)則方程|f(x)+g(x)|=1的實根的個數為____。

解析：由|f(x)+g(x)|=1,得g(x)=±1-f(x)。如圖6所示,交點個數為4,即|f(x)+g(x)|=1有4個實根。

圖6

點評：(1)在運用函數圖像解決問題時,首先要正確理解和把握函數圖像本身的含義及其表示的內容,熟悉圖像所能夠表達的函數的性質。(2)在研究函數性質特別是單調性、最值、零點時,要注意用好其與圖像的關系,結合圖像研究。

例8 設定義域為R的函數f(x)=則關于x的方程f2(x)+b f(x)+c=0有7個不同實數解的充要條件是( )。

A.b＜0,c＞0

B.b＞0,c＜0

C.b＜0,c=0

D.b≥0,c=0

解析：設f(x)=t,方程t2+b t+c=0應有2個根,由f(x)的圖像可知,如圖7所示,要使方程有7個解,應有t2+b t+c=0的2個解t1=0,t1＞0,所以

圖7

點評：復合函數有多個解的問題,可以用換元法分析方程的根,再結合函數圖像尋找相應的x。

4.抽象函數。

例9 設定義在R上的函數f(x)是最小正周期為2 π的偶函數,f'(x)是f(x)的導函數。當x∈[0,π]時,0≤f(x)≤1;當x∈(0,π)且f'(x)＞0。則函數y=f(x)-s i nx在[-3 π,3 π]上的零點個數為( )。

A.4 B.5 C.6 D.8

解析：因為當x∈[0,π]時,0≤f(x)≤1,f(x)是最小正周期為2 π的偶函數,所以當x∈[-3 π,3 π]時,0≤f(x)≤1。

因為當x∈(0,π)且時,所以當時,f(x)為單調減函數;當時,f(x)為單調增函數。

因為當x∈[0,π]時,0≤f(x)≤1,定義在R上的函數f(x)是最小正周期為2 π的偶函數,在同一坐標系中作出y=s i nx和y=f(x)的草圖,如圖8所示。

圖8

由圖知y=f(x)-s i nx在[-3 π,3 π]上的零點個數為6,故選C。

5.與其他知識的交匯問題。

例1 0 已知數列{an}滿足an=最大時,n=____。

解析：考慮函數y=的圖像,如圖9,注意到x∈N*,有n=9時,an最大。

圖9

例1 1 如圖1 0,在直角三棱柱A B C-A1B1C1中,,A B=A C=A A=

11,已知G與E分別為A1B1和C C1的中點,D與F分別為線段A C和A B上的動點(不包括端點),若G D⊥E F,則線段D F的長度取值范圍為 。

圖1 0

分析：由題可知三棱柱A B C-A1B1C1是底面為直角三角形的直三棱柱,且∠B A C=可以以點A為坐標原點建立空間直角坐標系A-x y z,接著寫出空間圖形內的幾個要點、向量的坐標。以數助形,通過坐標系內的向量關系將異面的線段關系轉化為數量關系。

解：建立坐標系A-x y z,如圖1 1所示,

圖1 1

二、數形結合在解析幾何中的應用

1.斜率問題。

例1 2 在區間[-1,1]上隨機地取一個數k,則事件“直線y=k x與圓(x-5)2+y2=9相交”發生的概率為____。

解析：直線y=k x與圓(x-5)2+y2=9相交,需要滿足圓心到直線的距離小于半徑,即而k∈[-1,1],所以所求概率

點評：本題是高考常考知識內容,考查幾何概型概率的計算。本題綜合性較強,具有“無圖考圖”的顯著特點,涉及點到直線的距離的計算。本題能較好地考查考生分析問題、解決問題的能力及基本計算能力等。

圖1 2

解析：作出不等式組所表示的可行域,如圖1 2中的陰影部分所示(包括邊界),其中A(2,1),B(1,2),令,根據t的幾何意義可知,t為可行域內的點與坐標原點連線的斜率,連接O A,O B,顯然O A的斜率最小,O B的斜率2最大,即由于函數在上單調遞增,所以,即的取值范圍是

例1 4 (2 0 1 8年鄭州市高三第一次質量預測)設函數f(x)=|x+3|,g(x)=|2x-1|。

(1)解不等式f(x)＜g(x)。

(2)若2f(x)+g(x)＞a x+4對任意的實數x恒成立,求a的取值范圍。

解析：(1)由已知可得|x+3|＜|2x-1|,即|x+3|2＜|2x-1|2,則有3x2-1 0x-8＞0,解得或x＞4。故所求不等式的解集為

(2)由已知,設h(x)=2f(x)+g(x)=2|x+3|+|2x-1|=作出h(x)和y=a x+4的圖像,如圖1 3所示。

圖1 3

直線l：y=a x+4恒過點C(0,4),當l在兩條虛線之間時,有2f(x)+g(x)＞a x+4對任意的實數x恒成立。此時kAC＜a≤4,所以-1＜a≤4。

2.截距問題。

例1 5 在平面上,過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影。由區域中的點在直線x+y-2=0上的投影構成的線段記為A B,則│A B│=( )。

A.2 2 B.4 C.3 2 D.6

圖1 4

解析：如圖1 4,△P Q R為線性區域,區域內的點在直線x+y-2=0上的投影構成了線段 R1Q1,即 A B,而 R1Q1=R Q,由得Q(-1,1),由得R(2,2),所以|A B|=|Q R|=故選C。

點評：先根據不等式組畫出可行域,再根據題目中的定義確定|A B|的值。畫不等式組所表示的平面區域時要注意通過特殊點驗證,防止出現錯誤。

例1 6 設有函數f(x)=a+已知x∈[-4,0]時恒有f(x)≤g(x),求實數a的取值范圍。

解析：先將不等式f(x)≤g(x)轉化為作出y=的圖像,移動使其滿足圖像在y=上方即可。

y=表示以(-2,0)為圓心,半徑為2的圓的上半圓;表示斜率為,縱截距為1-a的平行直線系,如圖1 5所示。

設直線A T與半圓相切,傾斜角為α,t a nα=,s i nα=,所以直線A T的橫截距為,所以a=-5。

圖1 5

要滿足需要直線上方,即直線的縱截距1-a≥1-(-5),所以a≤-5。

3.距離問題。

例1 7 已知P是直線l：3x+4y+8=0上的動點,P A,P B是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線,A,B是切點,C是圓心,則四邊形P A C B面積的最小值為____。

圖1 6

解析：從運動的觀點看問題,如圖1 6,當動點P沿直線3x+4y+8=0向左上方或右下方無窮遠處運動時,越來越大,從而S也

四邊形PACB越來越大;當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時,S四邊形PACB變小,顯然,當點P到達一個最特殊的位置,即C P垂直直線l時,S四邊形PACB應有唯一的最小值,此時|P C|=從 而|P A|=所以(S四邊形PACB)min

例1 8 若函數f(x)=(x-m)3+(x-mem-1)3-a x(m∈R)在(-∞,+∞)上為單調遞增函數,則a的最大值為____。

解析：因為f(x)在(-∞,+∞)上為單調遞增函數,所以f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立。

可以將(x-m)2+(x-mem-1)2看成直線y=x上一點P(x,x)與曲線y=xex-1上一點Q(m,mem-1)之間距離平方的最小值。

設y=x+t與y=xex-1相切于(x0,y0),令y'=(x+1)ex=1得x0=0,則切點為(0,-1),|P Q|min為(0,-1)到直線y=x的距離,即,所以

點評：本題考查函數單調性,分離參數后轉化為平方和的最值問題,利用數形結合思想將問題轉化為求兩點間的距離問題,最后將難題化解。

例1 9 已知函數f(x)=x3+a x2+b x+c在區間(-1,0)上單調遞減,則a2+b2的取值范圍為____。

解析：由題意得f'(x)=3x2+2a x+b≥0在區間(-1,0)上恒成立,即畫出可行域,如圖1 7所示,則點(a,b)到原點的距離最小值為所以(a2+b2)min=所以(a2+b2)的取值范圍為

圖1 7

【反思歸納】如果等式、代數式的結構蘊含著明顯的幾何特征,就要考慮用數形結合的思想方法來解題,即所謂的幾何法求解,比較常見的類型有：

(1兩點連線的斜率;

(2)n)兩點之間的距離;

(3)a2+b2=c2?a,b,c為直角三角形的三邊;

(4)f(a-x)=f(b+x)?f(x)圖像的對稱軸為

“數”與“形”是數學研究中最古老、最重要的兩個方面。它們一直都是一對矛盾體。正如矛和盾一樣總是同時存在,有“形”必有“數”,有“數”必有“形”。數形結合思想是重要的數學思想之一,它可以使某些抽象問題具體化,體現了轉化與化歸的思想,有助于把握數學問題的本質。因此,在整個數學學習中應注重運用數形結合思想,提高自身的思維能力和數學素養。

我國著名的數學家華羅庚先生曾用“數缺形時少直觀,形離數時難入微;數形結合百般好,隔裂分家萬事休”形象生動地闡述了數形結合的意義。在解決數學問題時,根據問題的條件和結論,借助形來觀察,從而解決數的問題。而對于形的問題也可以借助數來思考。它的主要特點就是：以形助數、以數輔形。數形結合是我們必備的數學解題技能,我們要讓數形結合成為一種數學學習習慣!

【數形結合配套練習題】

一、選擇題

Aa.＜b＜c Ba.＜c＜b

Cb.＜c＜a Db.＜a＜c

2.設函數若f(x0)＞1,則x0的取值范圍是( )。

A.(-1,1)

B.(-1,+∞)

C.(-∞,-2)∪(0,+∞)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

3.已知直線l1：4x-3y+6=0和直線l2：x=-1,那么拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是( )。

4.設D 是由所確定的平面區域,記“平面區域D被夾在直線x=-1和x=t(t∈[-1,1])之間的部分的面積”為S,則函數S=f(t)的大致圖像為圖1 8中的( )。

圖1 8

5.設奇函數f(x)在(0,+∞)上為增函數,且f(1)=0,則不等式的解集為( )。

A.(-1,0)∪(1,+∞)

B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

D.(-1,0)∪(0,1)

6.已知點P在拋物線y2=4x上,那么當點P到點Q(2,-1)的距離與點P到拋物線焦點的距離之和取得最小值時,點P的坐標為( )。

7.已知函數函數g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函數y=f(x)-g(x)恰有4個零點,則b的取值范圍是( )。

8.已知函數f(x)=|x-2|+1,g(x)=k x,若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根,則實數k的取值范圍是( )。

C.(1,2) D.(2,+∞)

9.若定義在R上的函數f(x)滿足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]時,f(x)=1-x2,函數g(x)則函數h(x)=f(x)-g(x)在區間[-5,5]內零點的個數是( )。

A.5 B.7

C.8 D.1 0

1 0.設P是圓(x-3)2+(y+1)2=4上的動點,Q是直線x=-3上的動點,則|P Q|的最小值為( )。

A.6 B.4

C.3 D.2

1 1.已知圓C1：(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2：(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動點,P為x軸上的動點,則|PM|+|PN|的最小值為( )。

1 2.已知函數 f(x)=若|f(x)|≥a x,則a的取值范圍是( )。

A.(-∞,0] B.(-∞,1]

C.[-2,1] D.[-2,0]

1 3.若f(x)=(m-2)x2+m x+2m+1的兩個零點分別在區間(-1,0)和區間(1,2)內,則m的取值范圍是( )。

1 4.設f(x)=m i n{2x+4,x2+1,5-3x},則f(x)的最大值是( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

1 5.若a,b,c均為單位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,則|a+b-c|的最大值為( )。

二、填空題

1 6.A B是過橢圓b2x2+a2y2=a2b2的中心弦,F(c,0)為它的右焦點,則△F A B面積的最大值是____。

1 7.已知y=f(x)是以2為周期的偶函數,當x∈[0,1]時,f(x)=x,如果在區間[-1,3]內,關于x的方程f(x)=k x+k+1(k∈R,k≠1)有4個根,則k的取值范圍為____。

1 8.若不等式的解集為區間[a,b],且b-a=2,則k=____。

1 9.已知y=f(x)=若不等式(x)≥2x-m f恒成立,則實數m的取值范圍是____。

2 0.若 函 數 f (x)=(,且)的值域是a＞0a≠1[4,+∞),則實數a的取值范圍是____。

2 1.已知定義在R上的奇函數f(x),滿足f(x-4)=-f(x),且在區間[0,2]上是增函數,若方程f(x)=m(m＞0)在區間[-8,8]上有4個不同的根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=____。

2 2.已知函數f(x)=|x2+3x|,x∈R。若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4個互異的實數根,則實數a的取值范圍為____。

2 3.過點引直線l與曲線y=相交于A,B兩點,O為坐標原點,當△A O B的面積取最大值時,則直線l的斜率為____。

2 4.方程l gx=s i nx的實根的個數為____。

2 5.若方程l g(k x)=2 l g(x+1)僅有一個實根,則k的取值范圍是____。

三、解答題

2 6.(1)已知x,y滿足條件求y-3x的最大值與最小值。

(2)已知實數x,y滿足不等式組求函數的值域。

2 7.不等式x2+|2x-4|≥p對所有的x都成立,求實數p的最大值。

2 8.已知a＞0,函數f(x)=x|x-a|+1(x∈R)。

(1)當a=1時,求所有使f(x)=x成立的x的值;

(2)當a∈(0,3)時,求函數y=f(x)在閉區間[1,2]上的最小值;

(3)試討論函數y=f(x)的圖像與直線y=a的交點個數。

2 9.已知a,b∈R+且x2+a x+2b=0,x2+2b x+a=0都有實根,求a+b的取值范圍。

【數形結合配套練習題答案】

一、選擇題

1.D 2.D 3.A 4.B 5.D 6.A 7.D 8.B 9.C 1 0.B 1 1.A 1 2.D 1 3.C 1 4.B 1 5.B

二、填空題2

32 4.2 2 5.(-∞,0)∪{4}

三、解答題

2 6.(1)令y-3x=b,則y=3x+b,原問題轉化為在橢圓上找一點,使過該點的直線斜率為3,且在y軸上有最大截距或最小截距。

由圖1 9可知,當直線y=3x+b與橢圓相切時,有最大截距或最小截距。

將y=3x+b代入得1 6 9x2+9 6b x+1 6b2-4 0 0=0。

令Δ=0,解得b=±1 3。

所以y-3x的最大值為1 3,最小值為-1 3。

(2)由解析幾何知識可知,所給的不等式組表示圓x2+y2=4的右半圓域(含邊界),可改寫為y+3=z(x+1),把z看作參數,則此方程表示過定點P(-1,-3),斜率為z的直線系。

那么所求問題的幾何意義是：求過半圓域x2+y2≤4(x≥0)內或邊界上任一點與過點P(-1,-3)的直線斜率的最大、最小值。

圖1 9

由圖2 0可知,過點P和點A(0,2)的直線斜率最大,則

過點P向半圓作切線,切線的斜率最小。設切點為B(a,b),則過點B的切線方程為a x+b y=4。

因點B在半圓周上,點P在切線上,則有

圖2 0

2 7.構造函數f(x)=x2+|2x-4|=

作出函數y=f(x)的圖像,如圖2 1所示。

圖2 1

由圖像知f(x)的最小值為3,所以p≤3,即p的最大值為3。

2 8.(1)當a=1時,f(x)=x|x-1|+1=x,所以x=-1或x=1。

(2)f(x)=其示意圖如圖2 2所示。

圖2 2

①若0＜a≤1,當x≥1≥a時,f(x)=x2-a x+1,對稱軸,所以函數y=f(x)在區間[1,2]上遞增,f(x)min=f(1)=2-a。

②若1＜a≤2,當x=a時,函數f(x)min=f(a)=1。

③若2＜a＜3,當x≤2＜a時,f(x)=-x2+a x+1,對稱軸,f(1)=a,f(2)=2a-3。因為(2a-3)-a=a-3＜0,所以函數f(x)min=f(2)=2a-3。

(3)因為a＞0,所以,則y1=x2-a x+1在[a,+∞)上遞增;y2=-x2+a x+1在上遞減。

因為f(a)=1,所以當a=1時,函數y=f(x)的圖像與直線y=a有2個交點。

又f,當且僅當a=2時,等號成立。

所以,當0＜a＜1時,函數y=f(x)的圖像與直線y=a有1個交點;

當a=1時,函數y=f(x)的圖像與直線y=a有2個交點;

當1＜a＜2時,函數y=f(x)的圖像與直線y=a有3個交點;

當a=2時,函數y=f(x)的圖像與直線y=a有2個交點;

當a＞2時,函數y=f(x)的圖像與直線y=a有3個交點。

2 9.依題意得a2-8b≥0,b2-a≥0,即a2≥8b,b2≥a。 (*)

則滿足(*)式的點(a,b)在如圖2 3所示的陰影區域內。

圖2 3

設z=a+b,則z=a+b所表示的直線系中,過點A(4,2)的直線在b軸上的截距即為滿足(*)式的z的最小值。

所以(a+b)min=4+2=6,故a+b≥6。